Связь вида нормы и геометрии минимальных сетей (1104796), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это значит, что слева и справа от точкиφ0 6∈ I коэффициенты функции f при cos(φ) и sin(φ) совпадают; получается, чтосовпадение коэффициентов происходит на всем множестве I. Но f — непрерывна, ивсюду, кроме конечного числа точек, выполнено f (φ) = a·cos(φ)+b·sin(φ), поэтомуформула остается верна и на дополнении к I. В частности, для любого φ выполнено f (φ + π) = −f (φ) .
Поскольку r(φ) — график единичной окружности нормы в20полярных координатах, имеем r(φ + π) = r(φ), следовательно f (φ + π) = f (φ). Получаем из этого f ≡ 0, из чего по определению функции f после сдвига аргументана2π3следует, что для любого φ верно r(φ) = r(φ −2π).3В работе [7] доказано, что для банаховых пространств размерности больше двухимеет место следующий критерий:Теорема 1.3 Пусть дано банахово пространство размерности больше двух.
Оноявляется гильбертовым тогда и только тогда, когда для любых трех векторовверно, что хотя бы одна точка Ферма треугольника, составленного из концовэтих трех векторов, лежит в аффинной плоскости треугольника.Рассмотрим банахово пространство размерности больше двух. Пусть оно и гильбертово пространство той же размерности F3 -неразличимы. Тогда для любых трехточек их точка Ферма по норме банахова пространства лежит в аффинной плоскости трех точек, и отсюда, благодаря теореме 1.3, следует гильбертовость рассмотренного банахова пространства. В двумерном же случае, по теореме 1.1, данное пространство, F3 -неразличимое с гильбертовым пространством, не обязательноявляется гильбертовым.
Соответственно, имеет место следующее следствие:Следствие 1.1 Существуют негильбертовы пространства размерности 2, F3 неразличимые с гильбертовым пространством; гильбертовы пространства размерности больше 3 F3 -различимы с негильбертовыми.Пример такого негильбертова пространства размерности 2 приведен после доказательства теоремы 1.1.212Различимость нормированных пространств по устройству минимальных сетей Штейнера2.1Необходимые определения и предварительные результатыВведем необходимые определения и обозначения.Пусть X — нормированное пространство, γ : [a, b] → X — некоторая непрерывная кривая.
Кривая γ называется спрямляемой, если существует конечный предел`(γ) длин ломаных, вписанных в эту кривую, при стремящемся к нулю диаметреразбиения отрезка [a, b] прообразами вершин ломаных. Число `(γ) называется вэтом случае длиной кривой γ.Норма в нормированном пространстве называется строго выпуклой, если единичный шар в этой норме является строго выпуклым множеством.Норма в нормированном пространстве называется дифференцируемой, если онаявляется дифференцируемой функцией в Rn \{0}. Методами математического анализа несложно показать, что в конечномерном случае из поточечной дифференцируемости нормы следует ее непрерывная дифференцируемость в Rn \{0} (это напрямую следует из [12, Proposition 13.7] — в конечномерном случае это предложение формулируется как «дифференциал любой непрерывной выпуклой функциив нормированном пространстве непрерывен на множестве ее дифференцируемости»), так что далее в работе выражение дифференцируемая норма (или гладкаянорма) следует читать как «C 1 -гладкая норма».
Дифференцируемость нормы равносильна тому, что единичная сфера в этой норме является C 1 -гладким подмногообразием в Rn с введенной евклидовой нормой (см. [12, Proposition 13.14]).Следующие определения представлены в статье [4], здесь же приведем необходимые выдержки.Топологический граф — это топологическое пространство, склеенное из набораотрезков по некоторой эквивалентности, заданной на множестве концевых точках22этих отрезков. В дальнейшем все рассматриваемые топологические графы предполагаются склеенными из конечного числа отрезков. Для краткости будем называть топологические графы просто графами.
Точки графа, соответствующиеконцевым точкам порождающих его отрезков, называются вершинами, а связныекомпоненты дополнения до множества вершин — ребрами графа. Ясно, что каждое ребро — это внутренность некоторого отрезка. Границей графа G называетсяпроизвольное фиксированное подмножество ∂G его вершин. Если такое подмножество фиксировано, то граф называют графом с границей. Отметим, что нашиопределения объединяют комбинаторные и топологические свойства графов, поэтому в дальнейшем, там, где это не вызовет недоразумений, будем применять кактопологическую, так и комбинаторную терминологии.Пусть X — конечномерное линейное пространство с некоторой нормой ρ. Непрерывное отображение Γ связного графа G в пространство X называется сетью.Граф G в этом случае называется параметризующим графом рассматриваемойсети, или ее типом, или ее топологией.
Ограничения отображения Γ на ребра(вершины, границу) параметризующего графа называются ребрами (соответственно, вершинами и границей) сети Γ. Если M ⊂ X — образ границы ∂Γ сети Γ, тоговорят, что сеть Γ соединяет множество M по граничному отображению ∂Γ. Вершины графа (сети), входящие в границу, называются граничными, а все остальные— подвижными. Также граничными называются ребра, инцидентные граничнымвершинам.Каждое ребро сети продолжается по непрерывности до отображения замкнутого отрезка в пространство X. Полученное отображение называется замкнутымребром сети.
Ребро сети называется вырожденным, если оно представляет собойотображение в точку. Сеть без вырожденных ребер называют невырожденной. Далее, сеть Γ : G → X называется гладкой (кусочно-гладкой, регулярной, кусочнорегулярной), если каждое ее замкнутое ребро является кривой соответствующейгладкости в нормированном пространстве X. Сеть назовем квазирегулярной, есликаждое ее ребро или регулярно, или вырождено.23Пусть Γ — произвольная квазирегулярная сеть на X. Рассмотрим все вершины,инцидентные вырожденным ребрам.
Разрежем сеть по этому множеству вершин,получим множество подсетей и уберем из рассмотрения подсети, состоящие из одного вырожденного ребра. Оставшиеся подсети назовем невырожденными компонентами Γ.Пусть Γ — произвольная сеть на X с ребрами — спрямляемыми кривыми. Тогда длиной сети Γ назовем сумму длин ее ребер. Сеть Γ, соединяющая множествоM ⊂ X , называется кратчайшей, или минимальным деревом Штейнера, или минимальной сетью Штейнера, если ее длина не превосходит длины любой сети, соединяющей M .
Кратчайших сетей может быть несколько, обозначим их множествочерез SM T (M ). Там, где контекст подразумевает рассмотрение одной кратчайшейсети, а не множества кратчайших сетей, будем подразумевать под SM T (M ) любуюиз кратчайших сетей.Сеть Γ : G → X называется линейной, если все ее ребра — прямолинейныеотрезки.Пусть Γ : G → X — некоторая сеть. Непрерывное однопараметрическое семейство Γt , t ∈ [0, 1], сетей Γt : G → X, такое что Γ0 = Γ называется деформацией сетиΓ. Каждая деформация Γt — это непрерывное отображение Γt : G × [0, 1] → X.
Если исходная сеть Γ является гладкой, то дополнительно предполагается, что длякаждого ребра e параметризующего графа отображение Γt : e × [0, 1] → X является гладкими (аналогично для кусочно-гладкой, регулярной, кусочно-регулярнойсети Γ = Γ0 ). Определенные только что деформации называются сохраняющимитопологию. Все деформации сетей, рассматриваемые ниже, будут принадлежатьэтому классу.Сеть Γ называется экстремальной относительно заданного класса деформаций, если для любой деформации Γt , t ∈ [0, 1], где Γt=0 = Γ (из заданного классадеформаций), выполнено соотношениеd `(Γt ) ≥ 0.dt t=0+24Напомним, что деревом называется связный ацикличный граф. Дерево с границей будем называть бинарным, если степень всех его граничных вершин равна1, а всех подвижных — 3.При поиске SM T (M ) в нормированном пространстве X для конечного M можно рассматривать только сети с топологиями — бинарными деревьями, и ребрами— отрезками в X (возможно, вырожденными).
Можно зафиксировать топологиюи граничное отображение, тогда появляется задача минимизации длины графа порасположению подвижных вершин. По аналогии с минимальной сетью Штейнера,для связного графа G и граничного отображения ∂Γ назовем сеть Γ, соединяющуюмножество M ⊂ X по граничному отображению ∂Γ, минимальной параметрической сетью типа (G, ∂Γ) (или минимальным параметрическим деревом типа(G, ∂Γ) в случае, если G является деревом), если ее длина не превосходит длинылюбой сети топологии G с граничным отображением ∂Γ, соединяющей M .
Обозначим множество минимальных параметрических сетей типа G, соединяющих M пограничному отображению ∂Γ, через P M T (G, ∂Γ). Будем также опускать параметры (G, ∂Γ), если они понятны из контекста, и сокращать словосочетание «минимальная параметрическая сеть» до P M T .Напомним, что банахово пространство — это полное нормированное векторноепространство, а гильбертово пространство — это банахово пространство, нормакоторого порождена скалярным произведением.Будем называть угол на нормированной плоскости неразвернутым, если найдется развернутый угол (то есть такой угол, стороны которого образуют прямую)с той же вершиной, в котором данный угол строго содержится.Последующие определения вводятся в нормированном пространстве.Тройником будем называть три луча с общим началом такие, что для любойтройки точек (по одной на каждом луче) общее начало лучей является их точкойФерма.
Общее начало лучей будем называть началом тройника.Единичным тройником будем называть три отрезка с общим началом такие,что отрезки лежат на лучах тройника, и длины отрезков равны 1.25Тройник и единичный тройник будем называть соответствующими, если отрезки единичного тройника лежат соответственно на лучах тройника.Далее нам потребуются определения и результаты из статьи [4], касающиесяпервой вариации нормы отрезка.Субградиентом выпуклой вниз функции F : Rn → R в точке x ∈ Rn называетсятакой ковектор ξ ∈ Tx∗ Rn , чтоξ(y − x) ≤ F (y) − F (x) для всех y ∈ Rn .Далее, если S ⊂ Rn — выпуклая поверхность, т.е. граница некоторого выпуклогоподмножества X ⊂ Rn , и x ∈ S — произвольная ее точка, то проходящая через x гиперплоскость Π называется опорной плоскостью поверхности S (а такжемножества X) в точке x, если S лежит в одном из замкнутых полупространств,ограниченных Π.
Нормаль к опорной гиперплоскости, направленную в то из ограниченных этой гиперплоскостью полупространств, внутренность которого не пересекается с S, назовем внешней нормалью к поверхности S в точке x. МножествоNx S всех внешних нормалей к поверхности S в точке x называется нормальнымконусом.Пусть теперь в Rn фиксирована некоторая норма ρ. Отметим, прежде всего,что функция ρ : Rn → R является выпуклой, чем и объясняется наш интерес квыпуклым функциям. Обозначим через Σ единичную сферу в (Rn , ρ), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
