Связь вида нормы и геометрии минимальных сетей (1104796), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть есть две различные точки Ферма O1 и O2 вершин невырожденного треугольника A1 , A2 , A3 . Рассмотрим O3 —середину отрезка O1 O2 . Рассмотрим множество лучей [A1 O1 i, [A2 O1 i, [A3 O1 i; еслиO1 совпадает с какой-то из вершин треугольника, уберем из рассмотрения соответствующий вырожденный луч. Среди оставшихся лучей найдется хотя бы один,которому не принадлежит точка O2 , без ограничения общности это луч [A2 O1 i.Поскольку норма строго выпукла, имеем:k A1 O3 k≤k A1 O1 k + k A1 O2 k,2k A2 O1 k + k A2 O22k A3 O1 k + k A3 O2k A3 O3 k≤2k A2 O3 k<kk,,k A1 O1 k + k A2 O1 k + k A3 O1 k=k A1 O2 k + k A2 O2 k + k A3 O2 k .Сложив неравенства и использовав равенство, получим, что сумма расстояний доA1 , A2 , A3 от O3 меньше, чем от O1 , противоречие.Случай вырожденного треугольника A1 A2 A3 рассматривается еще проще: точка Ферма O в нем — это средняя из трех вершин на прямой.
Сумма расстояний отлюбой другой точки O0 до трех вершин треугольника больше, чем такая сумма отO как минимум на величину k OO0 k.14Доказательство теоремы 1.1. Докажем, что для любой данной нормы ρ, единичная окружность которой — строго выпуклая фигура, симметричная относительно поворота на π3 , точки Ферма на любых трех точках в данной и евклидовойнорме — совпадают.Возьмем любой единичный по норме ρ вектор u, а также его образы v и wпри поворотах на2π3и4π.3Покажем, что точка Ферма точек — концов векторов{u, v, w} единственна и равна 0.
Будем называть все треугольники, полученныетаким образом, треугольниками типа T S.По лемме 1.4, в случае строго выпуклой нормы точка Ферма любых трех точекединственна. Предположим, что точка Ферма точек {u, v, w} — это t 6= 0. Тогдасовершим поворот относительно 0 на угол2π.3При этом преобразовании вектора{u, v, w} перейдут друг в друга по циклу, а преобразование будет изометрией (таккак единичная окружность симметрична относительно поворота на π3 ). Это означает, что образ t при повороте является точкой Ферма образов {u, v, w}. Получается,что у {u, v, w} есть по крайней мере две точки Ферма, противоречие.Исходя из леммы 1.1, имеем, что все треугольники uvw, внутри которых естьточка t, из которой все стороны треугольника видны под углами2π,3имеют точкуt точкой Ферма. Действительно, в этом случае на лучах Rtu , Rtv , Rtw можно найтиточки {ũ, ṽ, w̃}, являющиеся вершинами параллельно перенесенного треугольникатипа T S, для которого, по уже доказанному, точка t является точкой Ферма.
Тогдапо лемме 1.1 точка t является точкой Ферма и для треугольника uvw.Легко видеть, что такая точка внутри треугольника существует, и она совпадаетс евклидовой точкой Ферма, тогда и только тогда, когда все углы треугольникаменьше2π.3Осталось доказать совпадение точек Ферма в евклидовой и данной норме длятреугольников, один из углов которых больше2π.3Для евклидовой нормы точкойФерма в этом случае станет вершина тупого угла; покажем то же для даннойнормы, для этого нам потребуется лемма 1.3.Предположим, что точка Ферма t некоторого треугольника с вершинами {u, v, w}15и углом при вершине v, больше либо равным2π,3не совпала с v. Покажем сначала,что точка t не могла совпасть с вершинами u и w.
Предположим обратное: пусть,без ограничения общности, t совпала с u. Возьмем на лучах Rtv , Rtw точки ṽ, w̃,соответственно, так, чтобы отрезки uṽ, uw̃ были равны в евклидовой норме. Угол∠vuw меньше π3 , поэтому в треугольнике с вершинами {u, ṽ, w̃} (который являетсяравнобедренным в евклидовой норме со всеми углами меньшека t̃ такая, что все его стороны видны под углами2π,32π)3существует точ-что делает t̃ второй точкойФерма для треугольника {u, ṽ, w̃}, противоречие.Таким образом, t не совпадает ни с одной вершиной. Проведем лучи Rtu , Rtv , Rtw .Внутри или на границе треугольника с вершинами {u, v, w} нет такой точки, чтоотрезки uv, vw, wu видны из нее под углами в2π,3и точка t — не исключение.Возьмем на луче Rtv точку ṽ такую, что угол ∠uṽw равеннепрерывности: для v указанный угол больше2π,3π2(такая найдется поа при устремлении ṽ по лучу Rtvк бесконечности — стремится к 0).
По лемме 1.1, для треугольника {u, ṽ, w} точкаt является точкой Ферма. Но для этого треугольника существует точка t̃, такая,что все его стороны видны под углами2π,3что делает t̃ второй точкой Ферма длятреугольника {u, ṽ, w}, противоречие. Теорема 1.1 доказана.Для наглядности опишем пример неевклидовой нормы, F3 -неразличимой с евклидовой. Например, можно взять правильный шестиугольник ABCDEF , построить дугу окружности с центром O в середине стороны AB между D и E, и повторить это построение для всех пар соседних вершин (см.
Рис. 1). Полученная строговыпуклая фигура задает норму как единичная окружность и удовлетворяет условиям теоремы 1.1.Следующая теорема является частичным обращением теоремы 1.1.Теорема 1.2 Пусть дано пространство R2 со введенной евклидовой нормой. Пустьна этом пространстве также введена другая норма, F3 -неразличимая с евклидовой, единичная окружность которой удовлетворяет следующему условию: записанная в полярных координатах как 2π-периодическая функция r(φ), она диффе-16Рис. 1: пример единичной окружности неевклидовой нормы, F3 -неразличимой севклидовой.ренцируема всюду, кроме конечного числа точек на периоде (обозначим множество точек дифференцируемости через I0 ⊂ R/2πZ).Тогда для любого φ верно равенство r(φ) = r(φ + π3 ).Доказательство. Заметим, что если I1 и I2 — сдвиги I0 на 2πи − 2πсоответ33T Tственно, то I = I0 I1 I2 будет таково, что множество [0, 2π) \ I будет состоятьиз конечного числа точек.
Пусть φ0 ∈ I (в этом случае φ0 +2π3∈ I и φ0 −2π3∈ I).Поскольку мы имеем дело с двумя нормами одновременно, введем следующиеобозначения: выберем некоторые евклидовы координаты (x, y) с центром в O, тогдаr(φ) — единичная окружность другой нормы в полярных координатах, согласованных с евклидовыми, сама же другая норма будет обозначаться как k · k либо какρ(x, y), если даны координаты (x, y). «Длина» измеряется евклидовой нормой k·ke . Скобками ·, · будем обозначать значение ковектора на векторе.Рассмотрим три точки в полярных координатах на лучах из 0, имеющих попарные углы 2π, сделав замену координат (r, φ) → (r, φ − φ0 ), возьмем P1 =3r(0), 0 , P2 = r( 2π), 2π, P3 = r( 4π), 4π.
Пусть ковекторы e1 , e2 , e3 — это гра3333диенты ρ(x, y) в точках P1 , P2 , P3 соответственно. Вектора OPi назовем ri . Норма17ρ F3 -неразличима с евклидовой, поэтому точка Ферма для P1 , P2 , P3 в норме ρ —это точка O. По лемме 2.1 имеем e1 + e2 + e3 = 0.Рассмотрим базисы (ni , τi ), являющиеся поворотами стандартного ортонормированного базиса на углы2π3· (i − 1) соответственно (i = 1, 2, 3).
Разложим ei побазису (ni , τi ).Напомним равенства, которыми мы будем пользоваться в переходах:1) kri k = 1, поскольку ri по определению является единичным вектором в нормеk · k.2) Для вектора v, заданного в полярных координатах v = (r, φ), верно kvk =kvker(φ)(kvke — длина вектора v, r(φ) — длина сонаправленного ему единичного в нормеk · k вектора, и данное простое отношение равно kvk по свойству однородностинормы).Посчитаем проекцию ei на ni . Распишем равенство, пользуясь параллельностьювекторов ri и ni :kε · ni kkε · ni keei , ε · ni + ō¯(ε) = kri + ε · ni k − kri k = kri k · 1 +− 1 = kri k ·.kri kkri keПоделим обе части на ε, перейдем к пределу по ε при ε → 0 и воспользуемсяkri ke = r( 2π· (i − 1)):3ei , ni =r( 2π31.· (i − 1))Посчитаем проекцию ei на τi . Пусть ε · τi — малое приращение вектора ri понаправлению τi .ei , ε · τi + ō¯(ε) = kri + ε · τi k − kri k =r( 2π3kri + ε · τi ke− 1.· (i − 1) + arctg( krεi ke ))В числителе воспользуемся ортогональностью ri и τi .
Зная, что√21 + ε2 = 1 + ε2 +ō¯(ε2 ), имеем kri + ε · τi ke = kri ke + ō¯(ε). В знаменателе же распишем значение r вточке, близкой кr( 2π32π3· (i − 1), через значения r и r0 в ней.kri + ε · τi ke−1=· (i − 1) + arctg( krεi ke ))kri ke +kri ke + ō¯(ε)− 1.εr0 ( 2π· (i − 1)) + ō¯(ε)kri ke318В первом равенстве внесем единицу под общий знаменатель и воспользуемся тождествомε+ō¯(ε)c+ō¯(1)=εc+ ō¯(ε) для c 6= 0.ε · r0 ( 2π· (i − 1))kri ke + ō¯(ε)3−1=−+ ō¯(ε) =ε2πkri k2ekri ke + kri ke r0 ( 3 · (i − 1)) + ō¯(ε) 01 + ō¯(ε).=ε·r 2π ·(i−1)3Поделим обе части на ε и перейдем к пределу по ε: 01 ei , τi =.r 2π ·(i−1)3Заметим, что при замене координат (r, φ) → (r, φ+φ1 ), формулы выше остаютсяверны при (φ1 − φ0 ) ∈ I.
Мы имеем шесть векторов — проекций векторов ei навекторы базисов (ni , τi ) соответственно. Сумма этих шести векторов равна нулю,так как e1 + e2 + e3 = 0. Спроецировав все шесть векторов на векторы базиса(n1 , τ1 ), получим два уравнения — равенства нулю проекции суммы на τ1 и на n1 .Напомним, что базисы (ni , τi ) —это повороты стандартного ортонормированногобазиса на углы2π3· (i − 1) соответственно (i = 1, 2, 3), поэтому тригонометрическиефункции от углов проекции легко вычисляются.Проекция на n1 :111A1 =−r(φ) 2 r(φ +12π +) r(φ −3√ 31+2π2 r(φ −)312π −) r(φ +302π)3= 0.Проекция на τ1 : 1 0 1 1−A2 =r(φ)2 r(φ +12π +) r(φ −302π)3√ 31+2 r(φ +2π)3−1r(φ −2π)3= 0.Поскольку равенства A1 = 0, A2 = 0 выполнены для любого φ ∈ I, а выражениеA1 дифференцируемо в некоторой окрестности любого заданного угла φ ∈ I и егопроизводная равна 0, имеем, что для φ ∈ I выполнено уравнение A01 = A2 .
Приведяподобные, получим1−r(φ −12π −) r(φ +3002π)3=1r(φ −12π −) r(φ +32π)3.19Обозначив правую часть за f , получим уравнение f + f 00 = 0. I — это объединение интервалов, на каждом это уравнение выполнено. Рассмотрим любуюточку φ0 6∈ I, обозначим f1 (φ) = f (φ + φ0 ), f2 (φ) = f (φ +2π3+ φ0 ), f3 (φ) = f (φ −2π3+ φ0 ). f1 , f2 , f3 — дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности нуляSSω = ω − ω + = (−δ, 0) (0, δ). Запишем общий вид f1 , f2 , f3 :−++fi |ω− = a−i cos(φ) + bi sin(φ), fi |ω + = ai cos(φ) + bi sin(φ). Заметим, что по непре+рывности fi в точке 0, a−i = ai для всех i.
Перепишем выражение A1 на ω втерминах f1 , f2 , f3 :√3 01f = 0.A1 = (f2 − f3 ) +22 1Сдвигом аргумента на ± 2πполучим еще два уравнения:3√13 0(f1 − f2 ) +f = 0,22 3√3 01(f3 − f1 ) +f = 0.22 2Переписав уравнения на ω − и ω + , используя общий вид f1 , f2 , f3 и приравняв нулюкоэффициенты при cos(φ), получим:√1 −3 −−(a2 − a3 ) +b = 0,22 1√1 −3 −−(a1 − a2 ) +b = 0,22 3√1 −3 −(a3 − a−b = 0,1)+22 2√1 +3 ++(a2 − a3 ) +b = 0,22 1√1 +3 ++(a1 − a2 ) +b = 0,22 3√1 +3 +(a3 − a+b = 0.1)+22 2+Выше было показано, что a−i = ai для всех i. Из этого факта и системы ра+венств следует, что b−i = bi для всех i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
