Связь вида нормы и геометрии минимальных сетей (1104796), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Подберем такое ε, чтобывсе отрезки сети повернулись при замене M на M 0 не более, чем на малый евклидов угол α (настолько малый, что никакой тройник не может перейти в себянетождественно при поворотах на угол, меньший либо равный α). Кроме введения евклидовых углов, зафиксируем также ориентацию плоскости.
В этом случаекорректно утверждение вида «поворот от единственной сети из P M T (G, ∂Γ) кединственной сети из P M T (G, ∂Γ0 ) происходит против (по) часовой стрелки(-е)».Действительно, все ребра, инцидентные произвольной подвижной вершине, повернутся в одну сторону по лемме 2.9), и по лемме 2.6 это становится верно для всех52ребер сети; направление поворота будем оценивать по тому, в какой полуплоскостиоказался вектор произвольного ребра сети из P M T (G, ∂Γ0 ) относительно векторасоответствующего ребра сети из P M T (G, ∂Γ).Теорема 3.1 Пусть дано нормированное пространство (R2 , k·k) со строго выпуклой нормой k · k.
Пусть также дано граничное множество M , |M | = n, и заданабинарная топология G соединяющего M дерева, а также то, что единственнаясеть из P M T (G, ∂Γ) реализуется в виде невырожденного бинарного дерева. Тогдасуществует ε > 0 такое, что при любом сдвиге не далее, чем на ε, одной граничной вершины A, сеть повернется в ту же сторону, что и вектор CA из соседнейк A подвижной вершины C при повороте к CA0 , где A0 — новое положение граничной вершины A.Доказательство.
Обозначим через C 0 новое положение точки C. Разберем дваслучая:1)Cеть P M T (G, ∂Γ0 ) не повернулась относительно сети из P M T (G, ∂Γ). Заметим, что по множеству M \ {A} и направлениям всех ребер, сеть из P M T (G, ∂Γ)восстанавливается с точностью до положения вершины A на луче [CAi.
Если сетьP M T (G, ∂Γ0 ) не повернулась относительно сети из P M T (G, ∂Γ), имеем A0 ∈ [CAi,а значит, и вектор [CAi не повернулся.2) Сеть P M T (G, ∂Γ0 ) повернулась относительно сети из P M T (G, ∂Γ) в сторону,противоположную повороту от [CAi к [CA0 i. Это значит, что если отложить лучот C 0 , сонаправленный лучу [CAi (выберем любую точку на новом луче и обозначим его через [C 0 A000 i), то направления поворотов от [CAi к [CA0 i и от [C 0 A000 iк [C 0 A0 i противоположны.
Из этого следует, что лучи [CAi и [C 0 A0 i пересекаются, обозначим точку пересечения лучей через A00 . Обозначим через M 00 множествоS(M \ {A}) {A00 }. Заметим, что для M 00 мы имеем как минимум две различныеневырожденные экстремальные сети: продленная до A00 сеть из P M T (G, ∂Γ), ипродленная до A00 сеть из P M T (G, ∂Γ0 ). По теореме 2.2, каждая из них является локальным минимумом функции ` (по выпуклости функции, имеем равенство53длин двух сетей).
По лемме 3.3, имеем |P M T (G, ∂Γ)| = 1, противоречие.54ЗаключениеВ этом разделе мы еще раз перечислим основные результаты, а также возможныедальнейшие направления исследования.Основная теорема первой главы (Теорема 1.1) утверждает, что существуютнеевклидовы нормы на двумерной плоскости, F3 -неразличимые с евклидовой. Основная теорема главы 2 (теорема 2.5) гласит, что каждая двумерная строго выпуклая дифференцируемая норма обладает уникальным набором минимальных сетейШтейнера. В связи с этим интересен вопрос, каково минимальное число n, что рассматривая лишь сети на границах, содержащих не более n вершин, можно отличитьлибо двумерную евклидову норму от любой другой, либо другую фиксированнуюдвумерную строго выпуклую дифференцируемую норму от любой другой (ответыв этих случаях могут различаться).В главе 3 доказывается непрерывность координат подвижных вершин и естественность направления поворота при деформации границы рассматриваемого типа в ее малой окрестности (лемма 3.4 и теорема 3.1) для минимальных параметрических сетей в случае строго выпуклых норм.
Это является удобным инструментомдля элементарных (в остальном) доказательств теорем о минимальных параметрических сетях и минимальных сетях Штейнера в произвольных строго выпуклыхдифференцируемых нормах.55Список литературы[1] Fermat P. de (1643), Ed. H.Tannery, ed., "Oeuvres vol. 1, Paris 1891,Supplement: Paris 1922, сс. 153[2] V. Jarnik, O. Kossler (1934), "O minimalnich grafech obsahujicich ndanych bodu Cas, Pestovani Mat. (Essen) Т. 63: 223-235[3] E.
N. Gilbert and H. O. Pollak, Steiner Minimal Trees. //SIAM Journalon Applied Mathematics, 1968, Vol. 16, No. 1, pp. 1-29.[4] Иванов А. О., Тужилин А. А. Разветвленные геодезические в нормированных пространствах. //Изв. РАН. Сер. матем., 2002, том 66,выпуск 5, 33-82[5] А. О. Иванов, А. А. Тужилин, Стабилизация локально минимальныхдеревьев. // Матем. заметки, 2009, том 86, выпуск 4, 512-524[6] А. О. Иванов, А. А. Тужилин Число вращения плоских линейныхдеревьев // Матем. сб., 1996, том 187, номер 8, c. 41-92[7] Benitez C., Fernandez M., Soriano M.L. Location of the Fermat-Torricellimedians of three points //Trans.
Amer. Math. Soc. 354 (2002), 50275038.[8] H. Martini, K. J. Swanepoel, G. Weiss The geometry of Minkowski spaces- a survey. Part I. //Expositiones Mathematicae 19 (2001), 97-142. MR2002 h: 46015.[9] Swanepoel K. The local Steiner problem in finite-dimensional normedspaces.
//Discrete & Computational Geometry 37 (2007), 419-442.[10] Martini, H., Swanepoel, K. & Weiss The Fermat–Torricelli Problem inNormed Planes and Spaces //G. Journal of Optimization Theory andApplications (2002) 115: 283. doi:10.1023/A:102088400468956[11] Cieslik D. Steiner Minimal Trees. // Springer US, NonconvexOptimization and Its Applications 23 (1998), ISBN 0-7923-4983-0.[12] Andreas Kriegl, Peter W. Michor The Convenient Setting of GlobalAnalysis // American Mathematical Soc., Mathematical Surveys 53(1997), ISBN 0821807803, 9780821807804[13] Robert E. Megginson An Introduction to Banach Space Theory //Springer-Verlag New York, Graduate Texts in Mathematics (1998), ISBN978-1-4612-0603-3, 978-0-387-98431-5[14] ИльюткоД.ПРазветвленныеэкстремалифункционалаλ-нормированной длины //Математический сборник, 2006, том197, 5, с. 75-98.[15] Ильютко Д.П. Локально минимальные сети в N-нормированных пространствах // Математические заметки, 2003, т.
74, № 5, сс. 656-668.[16] Ильютко Д.П. Геометрия экстремальных сетей на l-нормированныхплоскостях // Вестник МГУ, 2005, № 4, сс. 52-54.[17] Лаут И. Л., Овсянников З. Н. Вид минимальных разветвлённыхгеодезических в нормированном пространстве определяет норму.//Фундаментальная и прикладная математика, 2013, том 18, 2, с.67-77. Англ. пер.: Laut, I.L. & Ovsyannikov, Z.N. The Type of MinimalBranching Geodesics Defines the Norm in a Normed Space.
// J MathSci (2014) 203: 799. doi:10.1007/s10958-014-2169-4[18] Лаут И. Л. Восстановление нормы по геометрии минимальных сетей. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2016, 2,сс. 53-56. Англ. пер.: I.L. Laut. Reconstruction of norm by geometry ofminimal networks. // Moscow University Mathematical Bulletin, 2016,vol.71, 2, pp.
84-8757[19] Лаут И. Л. Характеризация нормированных пространств в терминах минимальных сетей. //Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2015»[20] Лаут И. Л. Исследование связи между видом нормы и видом минимальных разветвленных геодезических в нормированных пространствах.
//Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2014»[21] Лаут И. Л. Различные нормированные пространства, обладающиеравными наборами локально минимальных сетей // Международнаяконференция «Александровские чтения». МГУ, Москва, 21-25 мая,2012, сс. 95-96..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
