Сверхслова, меры на них и их полупрямые произведения (1104768), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Применим этот оператор к мере и обозначим полученную меру через ′ . Ясно, что ′ также,как и , согласована с порядком 6 , причём ее маргинальные меры равнырезультату применения оператора Flip+ к и . Таким образом, если быоператор Ann был монотонен, то и оператор асим был бы монотонным каккомпозиция монотонных операторов.Выполнено ли второе условие, неизвестно. Непосредственно из определения следует, что Flip 6 Flip+ . Если бы оператор Ann был монотонен, тоиз этого бы сразу следовало неравенство между интересующими нас операторами: сим 6 асим , однако мы уже видели, что это не так.683.6.
Частичный порядок D на инвариантных мерахОпределим отношение D .Начнем со следующего наблюдения.Лемма 3.7. Clean1 Clean2 = Clean1 ∪2 .Доказательство. Рассмотрим формулу на странице 57, определяющуюCleanΔ () . Рассмотрим отдельно сумму и нормирующий сомножитель перед суммой. В сумме для Clean1 Clean2 мы получаем сумму вероятностейслов, полученных вставкой между буквами слова произвольных последовательностей символов из 1 , а потом между буквами полученного слова —произвольных последовательностей символов из 2 .
Но такой парой операцией между двумя соседними символами можно вставить произвольнуюпоследовательность символов из 1 ∪ 2 , причём единственным образом. Поэтому суммы для Clean1 Clean2 и Clean1 ∪2 равны.Теперь рассмотрим нормирующие множители. Они равны11·1 − (Clean2 )(1 ) 1 − (2 )в случае поочерёдного применения и11 − (1 ∪ 2 )в случае одновременного. Заметим, что(Clean2 )(1 ) =1(1 ).1 − (2 )Обозначим (1 ) = , (2 ) = . Остаётся проверить, что1(︁11=,11−1−−1 − 1− )︁что действительно является алгебраическим тождеством. Лемма 3.7 доказана.Аналогичное утверждение верно и для Clean∘ .69Определение 3.7. Будем писать D для инвариантных вероятностных мер над алфавитом {⊕, ⊖} , если есть две инвариантные меры ′ > ′на сверхсловах над алфавитом {⊕, ⊙, ⊖} , и Clean{⊙} от которых даёт исходные меры: Clean{⊙} ′ = , Clean{⊙} ′ = .
Другими словами, должнасуществовать мера с инвариантными проекциями на парах сверхсловнад алфавитом {⊕, ⊙, ⊖} , такая что оператор Clean{⊙} в применении к еёмаргинальным мерам даёт меры и , соответственно, а при этом повероятностному распределению первая компонента всегда больше либоравна второй относительно порядка ⊕ > ⊙ > ⊖ .Лемма 3.8. Если D , то (⊕) > (⊕) , причём равенство (⊕) = (⊕)достигается только при равенстве мер.Доказательство. Действительно, пусть мера имеет проекции ′ , ′ ,Clean{⊙} ′ = , Clean{⊙} ′ = , ′ > ′ . Тогда(︁ )︁(︁ )︁(︁ )︁⊕⊕ ⊕ + ⊙ + ⊕′ (⊕)⊖(︁ )︁(︁ )︁(︁ )︁ ,= (︁ )︁(⊕) =′1 − (⊙) ⊕ + ⊕ + ⊕ + ⊖⊕⊙⊖⊖(︁ )︁ ⊕ ′ (⊕)⊕(︁ )︁(︁ )︁(︁ )︁ .(⊕) == (︁ )︁′1 − (⊙) ⊕ + ⊕ + ⊖ + ⊙⊕⊖⊖⊖Разность этих выражений равна«числитель»(⊕) − (⊕) =, где(︂ (︂ )︂ «знаменатель»(︂ )︂)︂ (︂ )︂⊕⊙⊕«числитель» = ++⊖⊖⊕(︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂)︂ (︂ )︂⊕⊙⊖⊕++++ ⊖⊖⊖⊙(︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂)︂ (︂ )︂⊕⊙⊖⊕+ ++⊖⊖⊖⊖(︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂)︂ и⊕⊕⊕⊖«знаменатель» = +++×⊕⊙⊖⊖(︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂)︂⊕⊕⊖⊙× +++.⊕⊖⊖⊖70Это выражение всегда неотрицательно, поэтому (⊕) > (⊕) .
Теперьнам достаточно доказать, что из равенства числителя нулю следует(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂⊕⊕⊙= 0, = 0, =0⊖⊙⊖(эти равенства гарантируют, что Clean от двух проекций меры совпадают).(︁ )︁Первое равенство следует из того, что в числитель входит квадрат ⊕⊖ .Кроме того, в числитель входит произведение(︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂)︂ (︂ )︂⊕⊕⊕⊙++,⊕⊙⊖⊖′а значит оно равно нулю.
Сумма в скобках равна(︁ )︁ (⊕) и если она отличнаот нуля, мы получаем желаемое следствие ⊙= 0 . С другой стороны,⊖если ′ (⊕) = 0 , то и ′ (⊕) = 0 , поскольку ′ > ′ . В этом случае обе меры, сосредоточены на последовательности из одних минусов и доказываемоеутверждение очевидно.Наконец, в числитель также входит произведение(︂ )︂)︂ (︂ )︂(︂ (︂ )︂⊕⊙⊖.+⊙⊖⊖Сумма в скобках равна(︁ )︁′ (⊖) и если она отлична от нуля, мы получаемжелаемое следствие ⊕= 0 .
С другой стороны, если ′ (⊖) = 0 , то⊙ ′ (⊕) + ′ (⊙) = 1 . Но тогда и ′ (⊕) + ′ (⊙) = 1 , поскольку ′ > ′ . Вэтом случае обе меры , сосредоточены на последовательности из однихплюсов и доказываемое утверждение очевидно.Лемма 3.9. Отношение > антисимметрично.Доказательство. Действительно, в силу предыдущей леммы, если > > , то вероятности слов ⊕ и ⊖ по этим мерам равны, а тогда полупрямое произведение, согласованное с порядком, не может содержать словасодержать только⊕⊕и⊖⊖.⊕⊖и обязаноЛемма 3.10. Очистка и проекция коммутируют. Точнее, 1 CleanΔ×Σ =CleanΔ 1 ( 1 означает проекцию на первую компоненту).71Доказательство.
Рассмотрим меру произвольного слова , то есть величину (1 CleanΔ×Σ )() . По определению проекции это можно переписать как(CleanΔ×Σ )( × Σ|| ) . Но по определению очистки это равно1(Δ × Σ)∑︁().∈SpliceΔ×Σ (),∈×Σ||Но так как множество { ∈ SpliceΔ×Σ ()| ∈ × Σ|| } совпадает с { × Σ|| | ∈ SpliceΔ ()} . А тогда мы получили выражения для желаемого результата(CleanΔ 1 )()Лемма 3.11. Пусть D и мера является обоснованием этого неравенства.
Будем рассматривать как меру над алфавитом из пар символов(3.1) на с. 53. Тогда можно так изменить , что она по-прежнему(︁ )︁ будетимеетмерой, доказывающей неравенство между мерами, но символ ⊙⊙вероятность 0 .Доказательство. Действительно, возьмём и заменим все вхождения⊙⊙на пару новых символов⊙′⊙′ .′Обозначим полученную меру через ′ . Затемпроизведём Clean{ ⊙′′ } над и обозначим полученную меру через .
Яс⊙но, что новых вхождений символов, у которых верхняя компонента меньшенижней (вхождения которых запрещены по определению > на мерах), непоявится, а значит согласована с порядком. Образ проекций меры поддействием Clean{⊙} такой же, как и у . В самом деле, так как ⊙ в каждой проекции исходной меры соответствует ⊙ или ⊙′ в новой до очистки,а затем производится две очистки (правда, одна из очисток происходит доперехода к проекции, а вторая после, но это не меняет результата по лемме3.10), которые в силу леммы 3.7 эквивалентны одной.Лемма 3.12.
В определении D можно считать, что мера , доказывающая D инвариантна. Другими словами, если мера доказывает D ,то по можно построить инвариантную меру, доказывающую D (мера приписывает слову⊙⊙вероятность 0 ).72При этом если мера приписывала вероятность 0 всем слова, содержащих ⊙ в одной из компонент, то этим же свойством будет обладатьрезультат преобразования.Доказательство леммы 3.12.Для доказательства воспользуемся леммой 3.5.Рассмотрим последовательность мер , где является средним арифметическим сдвигов на −, − + 1, .
. . − 1, 0, 1, . . . − 1, . Заметим, чтопроекции равны проекциям , так как проекция среднего равна среднемупроекций, а среднее от сдвигов инвариантной меры равно ей самой.Теперь заметим, что для любого слова вероятности его вхождения впозициях 0 и 1 отличаются с точки зрения не более, чем на12+1, таккак в среднем арифметическом будет лишь по одному отличающемуся слагаемому из 2 + 1 . Значит, в предельной точке вероятности вхождения любогослова в позициях 0 и 1 равны, из чего очевидно следует инвариантность.Ясно, если доказывала не только D , но и > , то и предельнаяточка мер будет обладать этим же свойством.Лемма 3.12 доказана.Лемма 3.13.
В определении D можно считать, что проекции меры , доказывающей неравенство D , приписывают вероятность 0 сверхсловуиз всех нулей (а также является инвариантной и приписывает вероятность 0 слову⊙⊙).Доказательство леммы 3.13. Действительно, пусть это не так. Пусть,например, в первой проекции сверхслово из одних нулей имеет положительную вероятность. Заметим, что тогда мера представима как выпуклая комбинация какой-то меры и меры , сосредоточенной на сверхслове... ⊙⊖ .
В силу линейности проекции и очистки, очистка первой проекции меры равна .Заменим меру на прямое произведение и меры, сосредоточенной на сверхслове . . . ⊖ . . . и рассмотрим выпуклую комбинацию с теми жекоэффициентами. второй проекция будет такой же, как у меры , а первая73проекция будет выпуклой комбинацией двух мер с очисткой . При этомпорядок между компонентами, очевидно, не мог нарушиться.Таким образом, новая мера доказывает D , но запрещает сверхслово. . . ⊙ .
. . в проекции, что и требовалось. Ясно, что использованное преобразование сохраняет свойства инвариантности и отсутствия вхождений словаЛемма 3.13 доказана.⊙⊙.3.7. Основной результатТеорема 3.3. Отношение D транзитивно.3.7.1. Общий план доказательстваДоказательство. Обозначим 3 копии пространства сверхслов через , и ; на них определены меры D D . Мы будем считать, чтоалфавит этих сверхслов состоит из трёх символов, а меры, определённыеисходно над алфавитом двух символов, приписывают словам содержащимсимвол ⊙ меру 0 . Рассмотрим меры , на пространствах × и × , подтверждающие эти неравенства. Обозначим проекции (маргинальныемеры) меры через и , а проекции меры — через и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
