Регуляризация высшими производными и квантовые поправки в суперсимметричных теориях (1104637), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ êëþ÷åâûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ñóïåðñèììåòðèåé. Ðàññìàòðèâàåòñÿñóïåðïîëåâîé ôîðìàëèçì, à òàêæå ïîäõîä â òåðìèíàõ êîìïîíåíòíûõ ïîëåé. Ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà î ðàâåíñòâå áîçîííûõ è ôåðìèîííûõ ñòåïåíåéñâîáîäû. Ïîêàçàíî, êàê ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîëåé ìîæíî ñòðîèòü ñóïåðñèììåòðè÷íûå äåéñòâèÿ. ïàðàãðàôå 1.2 îïèñûâàåòñÿ íàèáîëåå îáùàÿ N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íàÿòåîðèÿ ßíãàÌèëëñà. À èìåííî, ïðåäñòàâëåíî äåéñòâèå ìîäåëè â ñóïåðïðîñòðàíñòâå, ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ýòî äåéñòâèåèíâàðèàíòíî.
Ïðèâåäåí ÷àñòíûé ñëó÷àé äàííîé ìîäåëè N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. ïàðàãðàôå 1.3 ðàññìàòðèâàåòñÿ ôîðìàëèçì ôîíîâîãî ïîëÿ äëÿ ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèé. Çäåñü çàïèñàíî äåéñòâèå ìîäåëè â ìåòîäå ôîíîâîãîïîëÿ, è óêàçàíû åãî ôîíîâàÿ è êâàíòîâàÿ èíâàðèàíòíîñòè, ââîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå äëÿ êâàíòîâàíèÿ ôîíîâûå ïîëÿ, ôîíîâûå êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå, èññëåäóåòñÿ èõ ïîâåäåíèå ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Ñèõ ïîìîùüþ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ââåäåíèå óäîáíîãî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõïðèìåíåíèé ñïîñîáà ðåãóëÿðèçàöèè òåîðèè.Îïðåäåëåíèÿ β -ôóíêöèè è àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïðèâåäåíû â ïàðàãðàôå 1.4.ïîñâÿùåíà âîïðîñàì ðåãóëÿðèçàöèè è êâàíòîâàíèÿ íàèáîëååîáùåé ïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà.Çäåñü ñôîðìóëèðîâàíû ïðàâèëà Ôåéíìàíà äëÿ äàííîé òåîðèè. ïàðàãðàôå 2.1 êðàòêî îïèñàíû ïðåèìóùåñòâà è íåäîñòàòêè ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðåãóëÿðèçàöèè â ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèÿõ.
Îáîñíîâûâàåòñÿ íåòðèâèàëüíûé âûáîð ðåãóëÿðèçàöèè âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Çàòåì ïîäðîáíî ïðîâîäèòñÿ ïðîöåäóðà êâàíòîâàíèÿíàèáîëåå îáùåé ïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì ÔàääååâàÏîïîâà. Ïðè ýòîì ïîñëåäîâàòåëüíî ââîäÿòñÿ äóõîâûå ïîëÿ ÔàääååâàÏîïîâà è ÍèëüñåíàÊàëëîø. Âäåéñòâèå òåîðèè ââîäÿòñÿ ðåãóëÿðèçóþùèå ñëàãàåìûå, ÷ëåíû, ôèêñèðóþùèå êàëèáðîâêó è äåéñòâèå äóõîâûõ ïîëåé.
Òàêæå îïèñûâàåòñÿ äîïîëíèÃëàâà 27òåëüíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ÏàóëèÂèëëàðñà äëÿ ëèêâèäàöèè îñòàòî÷íûõ îäíîïåòëåâûõ ðàñõîäèìîñòåé, äëÿ ÷åãî â ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë äîáàâëÿþòñÿ äåòåðìèíàíòû ÏàóëèÂèëëàðñà. èòîãå ñòðîèòñÿ ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë è ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå,÷òî äàåò âîçìîæíîñòü âûâåñòè ïðàâèëà Ôåéíìàíà. Ïðàâèëà Ôåéíìàíà ïîñòðîåíû â ïàðàãðàôå 2.2.
Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ ðåçóëüòàò äëÿ èíäåêñà ðàñõîäèìîñòè ïðîèçâîëüíîé äèàãðàììû.ïîñâÿùåíà âû÷èñëåíèÿì äèàãðàìì, äàþùèõ âêëàä â β ôóíêöèþ íàèáîëåå îáùåé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà,ðåãóëÿðèçîâàííîé âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè.Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ äâóõïåòëåâîé β -ôóíêöèè ïðèâîäèòñÿ â ïàðàãðàôå 3.1,çäåñü æå ââåäåíû âñå íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ.Ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõíèêè ñóïåðãðàôîâ â ïàðàãðàôå 3.2 âû÷èñëÿþòñÿîäíîïåòëåâûå äèàãðàììû ñ ïåòëåé ñóïåðïîëåé ìàòåðèè, äàþùèå âêëàä â β ôóíêöèþ.
Ïðè ýòîì ïîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàëû, îïðåäåëÿþùèå β -ôóíêöèþ,îêàçûâàþòñÿ èíòåãðàëàìè îò ïîëíûõ ïðîèçâîäíûõ è ìîãóò áûòü ëåãêî âû÷èñëåíû. ïàðàãðàôå 3.3 ïðèâåäåí ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ äâóõïåòëåâûõ äèàãðàìì.Çäåñü æå çàïèñàí ðåçóëüòàò äëÿ äâóõïåòëåâîé β -ôóíêöèè â íàèáîëåå îáùåéïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, îïðåäåëÿþùèõ β -ôóíêöèþ âýòîì ïðèáëèæåíèè, è ïîêàçàíà èõ ôàêòîðèçàöèÿ â ïîëíûå ïðîèçâîäíûå.Âû÷èñëåííàÿ îïèñàííûì ìåòîäîì β -ôóíêöèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè ñîâïàäàåò ñ òî÷íîé β -ôóíêöèåé Íîâèêîâà, Øèôìàíà, Âàéíøòåéíàè Çàõàðîâà.Äðóãîé ñïîñîá ðåãóëÿðèçàöèè âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè,ïðè êîòîðîì ðåãóëÿðèçóþòñÿ òîëüêî ïðîïàãàòîðû, íî íå ðåãóëÿðèçóþòñÿâåðøèíû ñ êâàíòîâûì ïîëåì, ðàññìîòðåí â ïàðàãðàôå 3.4. Çäåñü ïîä÷åðêèâàåòñÿ îòëè÷èå ïðàâèë Ôåéíìàíà è èíòåãðàëîâ îò ïðåäûäóùåãî âàðèàíòà, ðàññìîòðåííîãî â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå è ïðèâîäèòñÿ ðåçóëüòàò äëÿñîîòâåòñòâóþùåé β -ôóíêöèè.Ãëàâà3ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ β -ôóíêöèè âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèèâîçìóùåíèé â N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé ýëåêòðîäèíàìèêå. ïàðàãðàôå 4.1 îáîñíîâûâàåòñÿ ââåäåíèå â äåéñòâèå ñëàãàåìûõ ñ äîïîëíèòåëüíûìè èñòî÷íèêàìè.
Ïðèâîäèòñÿ âûâîä óðàâíåíèé ØâèíãåðàÄàéñîíà è èõ ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå. Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç ïîëó÷åííûõâûðàæåíèé è âõîäÿùèõ â íèõ âåëè÷èí. Äëÿ óñòðàíåíèÿ îñòàòî÷íûõ ðàñõîäèìîñòåé ïðîâåäåíà ïðîöåäóðà ðåãóëÿðèçàöèè ÏàóëèÂèëëàðñà.Ãëàâà 48Òîæäåñòâà Óîðäà (ÑëàâíîâàÒåéëîðà) è èõ ðåøåíèÿ íàéäåíû â ïàðàãðàôå 4.2. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ â óðàâíåíèÿ ØâèíãåðàÄàéñîíà,óäàåòñÿ ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ òî÷íî âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé.
Êàê ñëåäñòâèå, çíàíèå äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü òî÷íóþβ -ôóíêöèþ.Òåì íå ìåíåå, ñîãëàñîâàòü ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòîì Íîâèêîâà, Øèôìàíà, Âàéíøòåéíà è Çàõàðîâà âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðåäïîëîæèòü âûïîëíåíèå íåêîòîðîãî òîæäåñòâà, ïîëó÷åííîãî â ïàðàãðàôå 4.3.Ýòî òîæäåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàâåíñòâî íóëþ íåêîòîðîãî âêëàäà âäâóõòî÷å÷íóþ ôóíêöèþ Ãðèíà êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ.  ýòîì ïàðàãðàôåïðèâåäåíà ãðàôè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà ýòîãî òîæäåñòâà. ïàðàãðàôå 4.4 íà ïðèìåðå N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî óäàåòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâàòü â âèäå ðàâåíñòâàíóëþ ñóììû íåêîòîðûõ äâóõïåòëåâûõ ýôôåêòèâíûõ äèàãðàìì.
Òàêèì îáðàçîì, îíî íàêëàäûâàåò íåêîòîðûå íåòðèâèàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà òðåõ- è÷åòûðåõòî÷å÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà. Åñëè æå ïîëó÷åííûå îãðàíè÷åíèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ, òî β -ôóíêöèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òî÷íîé ÍØÂÇ β -ôóíêöèè. Ïðèëîæåíèè A ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû äëÿ äâóõïåòëåâûõ äèàãðàììÔåéíìàíà â N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà ñ êóáè÷íûìâçàèìîäåéñòâèåì è îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîâåðêà ôàêòîðèçàöèè èíòåãðàëîâ,îïðåäåëÿþùèõ β -ôóíêöèþ, â èíòåãðàëû îò ïîëíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðèëîæåíèè B ïîêàçàíî, ÷òî ôàêòîðèçàöèÿ ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé èìååò ìåñòî â N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñàñ èñïîëüçîâàíèåì ñîêðàùåííîãî âàðèàíòà ðåãóëÿðèçàöèè âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè.
À èìåííî, â ñëó÷àå, êîãäà ðåãóëÿðèçóþòñÿ òîëüêî ïðîïàãàòîðû,íî íå ðåãóëÿðèçóþòñÿ âåðøèííûå ôóíêöèè. Çàêëþ÷åíèè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå âäèññåðòàöèè.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1.  íàèáîëåå îáùåé ïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèèßíãàÌèëëñà âïåðâûå ïðèìåíåí ìåòîä âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ ïîïðàâîê ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåãóëÿðèçàöèè âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íåïðîòèâîðå÷èâûì è íå íàðóøàåò ñóïåðñèììåòðèþ.92. Ïðîâåäåííîå â äèññåðòàöèè èññëåäîâàíèå ïðèìåíåíèÿ ðåãóëÿðèçàöèèâûñøèìè ïðîèçâîäíûìè äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ ïîïðàâîê â íàèáîëåå îáùåé ïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà ïîçâîëÿåò âûÿâèòü, ÷òî âñå äâóõïåòëåâûå èíòåãðàëû, êîòîðûåîïðåäåëÿþò β -ôóíêöèþ, îêàçûâàþòñÿ èíòåãðàëàìè îò ïîëíûõ ïðîèçâîäíûõ è ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê èíòåãðàëàì ìåíüøåãî ïîðÿäêà.
 äâóõïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ýòî ïîçâîëÿåò ëåãêî èõ âû÷èñëèòü.3. Ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿðèçàöèè âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìèè ôîðìàëèçìà ôîíîâîãî ïîëÿ âû÷èñëåíà äâóõïåòëåâàÿ β -ôóíêöèÿ âíàèáîëåå îáùåé ïåðåíîðìèðóåìîé N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèèßíãàÌèëëñà.4. Äëÿ N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïîêàçàíî, ÷òî òî÷íàÿ β -ôóíêöèÿ Íîâèêîâà, Øèôìàíà, Âàéíøòåéíà è Çàõàðîâà ñîâïàäàåò ñ β -ôóíêöèåé, âû÷èñëåííîé ïðè èñïîëüçîâàíèè ðåãóëÿðèçàöèèâûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, òîëüêî åñëè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå ñâÿçûâàåò ìåæäó ñîáîé òðåõ- è ÷åòûðåõòî÷å÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà.Ýòî ñîîòíîøåíèå ñôîðìóëèðîâàíî íà ÿçûêå ýôôåêòèâíûõ äèàãðàììÔåéíìàíà.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ:1., Ðåãó-À.Á.Ïèìåíîâ, À.À.Ñîëîøåíêî, Ê.Â.Ñòåïàíüÿíö, Å.Ñ.Øåâöîâàëÿðèçàöèÿ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè è êâàíòîâûå ïîïðàâêè â N = 1ñóïåðñèììåòðè÷íûõ òåîðèÿõ. // Èçâåñòèÿ ÂÓÇîâ.
Ôèçèêà 2008. 51. 5. ñ. 5 35.2.3.4., Íîâîå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùååôóíêöèè Ãðèíà N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé ýëåêòðîäèíàìèêè. //Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ôèç. Àñòð. 2009. 3. ñ. 19 22.Ê.Â.Ñòåïàíüÿíö,Å.Ñ.Øåâöîâà, Ñòðóêòóðà äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèèÃðèíà êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ â N = 1 ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ßíãàÌèëëñà, ðåãóëÿðèçîâàííîé âûñøèìè êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè.// Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ôèç. Àñòð.
2009. 5. ñ. 13 15.Ê.Â.Ñòåïàíüÿíö, Å.Ñ.Øåâöîâà, Calculation of two-loopβ -function for general N = 1 supersymmetric YangMills theory with thehigher covariant derivative regularization. // Phys. Lett. B 686. 2010. p. 293 297.A.B.Pimenov, E.S.Shevtsova, K.V.Stepanyantz10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
