Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ïîýòîìó âñå îáëàñòè òåòðàýäðà, îáðàçîâàííûå íîâûì íàáîðîì, ïîïðåæíåìó áóäóò ãîìåîìîðôíû äèñêó. Îñòàëîñü ïðàâèëüíî óïîðÿäî÷èòü äîáàâëåíèåãåîäåçè÷åñêèõ. Ïåðâàÿ âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, âòîðàÿ âûáèðàåòñÿ íåèçîìîðôíîé ïåðâîé, îñòàëüíûå âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.Òåïåðü ðàññìîòðèì ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõíàáîðà, ðåáðà îòðåçêè ãåîäåçè÷åñêèõ, íå ñîäåðæàùèå îòëè÷íûõ îò ñâîèõ êîíöîâ41∑∑âåðøèí ãðàôà. ×èñëî âåðøèí è ðåáåð ãðàôà ðàâíûti èiti ñîîòâåòñòâåííî,îòêóäà ïî ôîðìóëå Ýéëåðà äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ íàõîäèì ÷èñëî îáëàñòåé.Ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèé òðåõ ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ñîñòîèò íå ìåíåå ÷åì èç òðåõ òî÷åê. Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ïåðåñåêàåò îáúåäèíåíèå äâóõ íå èçîìîðôíûõ åé ãåîäåçè÷åñêèõ ïî êðàéíåéìåðå â òðåõ òî÷êàõ.Ëåììà 3.9.Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì ïîëíûå ïðîîáðàçû ýòèõòðåõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïëîñêîñòè, ðàçâåòâëåííî íàêðûâàþùåé òåòðàýäð (ñì. âûøåïîäðîáíîñòè). Ïîëó÷èì òðè ñåìåéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, äåëÿùèõ ïëîñêîñòüíà ìíîãîóãîëüíèêè. Ñðåäè ýòèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ áóäåò òðåóãîëüíèê (âîçüìåì ñíà÷àëà êàêîé-íèáóäü òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè ðàçëè÷íûõ ñåìåéñòâ, åñëèåãî ïåðåñåêàþò íàêðûâàþùèå ïðÿìûå, òî âûáåðåì â íåì ìåíüøèé òðåóãîëüíèê è ò.ä.,ïðîöåññ áóäåò êîíå÷åí). Èòàê, íàéäåí òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè íà íàêðûâàþùèõãåîäåçè÷åñêèå ïðÿìûõ, òàêîé ÷òî âíóòðè íåãî íå ñîäåðæèòñÿ òî÷åê íàêðûâàþùèõïðÿìûõ. Åãî âåðøèíû ïðîåöèðóþòñÿ â ðàçëè÷íûå òî÷êè òåòðàýäðà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ èñõîäíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, êîòîðûõ ïîýòîìó íå ìåíüøå òðåõ.Åñëè áû çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ïåðåñåêàëà îáúåäèíåíèå äâóõ íåèçîìîðôíûõåé ãåîäåçè÷åñêèõ â äâóõ òî÷êàõ, òî ýòè òî÷êè áûëè áû åäèíñòâåííûìè òî÷êàìèïîïàðíûõ ïåðåñå÷åíèé.

×òî íåâîçìîæíî, ò.ê. òàêèõ òî÷åê íå ìåíüøå òðåõ.Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ïîïàðíûõ ïåðåñå÷åíèé òðåõ íåèçîìîðôíûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íå ìîæåò ñîñòîÿòü èç òðåõ òî÷åê, è ïîýòîìó ñîñòîèò èç íåìåíåå ÷åì ÷åòûðåõ òî÷åê. Ïðèìåð äëÿ ÷åòûðåõ òî÷åê ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ òðè÷åòûðåõçâåííûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îäíó òî÷êó (çâåíüÿêàæäîé ÷åòûðåõçâåííîé ãåîäåçè÷åñêîé ïàðàëëåëüíû ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåðòåòðàýäðà).Äëÿ ëþáîé ïàðû öåëûõ ÷èñåë (n, k) ïðè n > 3 è k > 0 ñóùåñòâóåòíàáîð èç n çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà òåòðàýäðå, äëÿ êîòîðîãî f = 4n − 6 + k.Ëåììà 3.10.Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîçüìåì çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ òèïà (1, a), ãåîäåçè÷åñêóþ òèïà (1,0) è n−2 çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (0, 1), ÷èñëî a öåëîå è íåîòðèöàòåëüíîå. Åñëè a = 0, òî ïîëó÷èì 4n − 6 îáëàñòåé òåòðàýäðà. Åñëè a > 0 è ãåîäåçè÷åñêèåòèïà (0, 1) íå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (1, a) è (1,0), òîïîëó÷èòñÿ f = 4n − 6 + 2a îáëàñòåé. Åñëè a > 0 è ðîâíî îäíà ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà(0,1) ïðîõîäèò ÷åðåç îäíó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (1, a) è (1,0), òîïîëó÷èòñÿ f = 4n − 7 + 2a îáëàñòåé.Ëåììà 3.11.n > 3.Åñëè â íàáîðå íåò èçîìîðôíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, òî f > 4n − 6 ïðèÄîêàçàòåëüñòâî.

Åñëè ëþáûå äâå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íàáîðà ïåðåñåêàþòñÿ íåìåíåå ÷åì â ÷åòûðåõ òî÷êàõ, òî ïî ëåììå 3.8 ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî îáëàñòåé òåòðàýäðàíå ìåíüøå ÷åì 4n−2. Äîêàæåì, ÷òî åñëè íåêîòîðûå äâå ãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 íàáîðàïåðåñåêàþòñÿ ðîâíî â äâóõ òî÷êàõ, òî òîãäà âñå îñòàëüíûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå,çà èñêëþ÷åíèåì ìîæåò áûòü äâóõ, ïåðåñåêàþò îáúåäèíåíèå γ1 ∪γ2 ïî êðàéíåé ìåðå â÷åòûðåõ òî÷êàõ. Ðàññìîòðèì äâóëèñòíîå ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå òåòðàýäðà òîðîì42è ïîäíèìåì çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà òåòðàýäðå äî çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íàòîðå (ñ ïëîñêîé ìåòðèêîé). Òîãäà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû γe1 è γe2 ïîäíÿòèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 ïåðåñåêàþòñÿ íà òîðå â îäíîé òî÷êå è ïîýòîìó ìîãóò áûòü âûáðàíû âêà÷åñòâå áàçèñà (1,0) è (0,1) (îáðàçóþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû òîðà).

Çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (x, y) íà òîðå ïåðåñåêàåò îáúåäèíåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà(1,0) è (0,1) íå ìåíåå ÷åì â |x| + |y| − 1 òî÷êàõ (ñì. ëåììó 3.3). Îñòàëîñü çàìåòèòü,÷òî |x| + |y| − 1 > 2 äëÿ âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð öåëûõ ÷èñåë (x, y), îïðåäåëåííûõñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà, êðîìå ïàð (0,1), (1,0), (1,1) è (1,-1). Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿçàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γe íà òîðå, íå èìåþùàÿ ýòèõ ÷åòûðåõ òèïîâ â áàçèñå γe1 èγe2 , ïåðåñåêàåò γe1 ∪ γe2 õîòÿ áû â äâóõ òî÷êàõ. À çíà÷èò, åå ïðîåêöèÿ íà òåòðàýäð çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ïåðåñåêàåò γ1 ∪ γ2 ïî êðàéíåé ìåðå â ÷åòûðåõ òî÷êàõ,ïîñêîëüêó ïîäíÿòèå γ íà òîð ñîñòîèò èç äâóõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ γe, êàæäàÿèç êîòîðûõ ñîäåðæèò õîòÿ áû äâå ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ.Èòàê, êàæäàÿ çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íàáîðà, êðîìå γ1 , γ2 è åùå ìîæåò áûòüäâóõ (γ3 è γ4 ), ïåðåñåêàåò îáúåäèíåíèå γ1 ∪ γ2 ïî êðàéíåé ìåðå â ÷åòûðåõ òî÷êàõ.À êàæäàÿ èç âîçìîæíî ñóùåñòâóþùèõ γ3 è γ4 ïåðåñåêàåò îáúåäèíåíèå γ1 ∪ γ2 ïîêðàéíåé ìåðå â òðåõ òî÷êàõ ïî ëåììå 3.9.

Ãåîäåçè÷åñêèå γ1 , γ2 äåëÿò òåòðàýäð íà 4÷àñòè. Äîáàâëÿÿ ãåîäåçè÷åñêèå γ3 , γ4 è îñòàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå íàáîðà ïî î÷åðåäè,ïîëó÷àåì f > 4n − 6 ïî ëåììå 3.8.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà Tr è íàáîðîâ èç n ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà íåì ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèÿ èìååò âèäÒåîðåìà 3.5.F (Tr , n) = {n + 1, 2n} ∪ {m ∈ N | m > 4n − 6}äëÿ n > 3,F (Tr , 1) = {1},F (Tr , 2) = {3, 4, 6, 8, 10, . . .

}Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì ïðèìåðû íàáîðîâ, ðåàëèçóþùèõ âñå âîçìîæíûå ÷èñëàîáëàñòåé f . Íàáîðû èç n èçîìîðôíûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ îáðàçóþò n + 1 îáëàñòü íà òåòðàýäðå. Íàáîð èç n ÷åòûðåõçâåííûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, èç êîòîðûõ ðîâíîn − 1 èçîìîðôíû, äàåò 2n îáëàñòåé íà òåòðàýäðå. Äëÿ n > 3 îñòàëîñü ó÷åñòü ëåììó3.10. Äëÿ n = 2 âîçüìåì çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ òèïà (1, a) è çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ òèïà (1,0), ïîëó÷èòñÿ 2a + 2 îáëàñòè äëÿ ëþáîãî öåëîãî a > 0.Äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ÷èñåë îáëàñòåé äëÿ ðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà áûòü íå ìîæåò.

Åñëè n = 1 èëè n = 2, òî ýòî ñëåäóåò èç ëåìì 3.7 è 3.8, à òàêæå èç òîãî, ÷òîçàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ðàâíîãðàííîì òåòðàýäðå íå ñàìîïåðåñåêàþòñÿ. Ïóñòün > 3, òîãäà îáîçíà÷èì ÷åðåç m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èçîìîðôíûõ (ïàðàëëåëüíûõ)çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ â íàáîðå. Åñëè m = n, òî f = n + 1. Åñëè m = n − 1, òîïî ëåììàì 3.7 è 3.8 èìååì f = 2 + 2(n − 1)k äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k .Åñëè 2 6 m 6 n − 2, òî ïî ëåììàì 3.7 è 3.8 ïîëó÷àåì f > 2 + 2m(n − m) > 4n − 6. îñòàâøåìñÿ ñëó÷àå m = 1 ïðèìåíÿåì ëåììó 3.11.43ÏóñòüT = ABCD íå ðàâíîãðàííûé òåòðàýäð, íà êîòîðîì ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñì.

â [5]).Ðàçáèåíèÿ íåðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ ïðîñòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè.Òåîðåìà 3.6. Â. Þ. Ïðîòàñîâ, [5, 6]. (à) Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿγ íà ïðîèçâîëüíîì òåòðàýäðå ñîîòâåòñòâóåò çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé γe íà ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå, ïåðåñåêàþùåé ðåáðà â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ìåæäóâåðøèíàìè òåòðàýäðîâ çàðàíåå óñòàíîâëåíî ñîîòâåòñòâèå).(á) Ñðåäè âñåõ ïîâåðõíîñòåé òðåõìåðíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ðàâíîãðàííûå òåòðàýäðû è òîëüêî îíè ñîäåðæàò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåèçîìîðôíûõ (ïîçâåííî íåïàðàëëåëüíûõ) çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ.Â.

Þ. Ïðîòàñîâ. Äëÿ ìíîæåñòâà F (T, n) ÷èñåë îáëàñòåé ðàçáèåíèéïðîèçâîëüíîãî òåòðàýäðà T íàáîðàìè èç n ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ èìååìF (T, n) ⊆ {n + 1, 2n} ∪ {m ∈ N | m > 4n − 6}Ãèïîòåçà 3.2.ïðè n > 3,F (T, 2) ⊆ {3} ∪ {2m | m ∈ N, m > 2},ïðè÷åì êàæäîå èç âêëþ÷åíèé îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàòåòðàýäð T ðàâíîãðàííûé.

Áîëåå òîãî, äëÿ íåðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ T ìíîæåñòâà F (T, n) êîíå÷íû äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n.Çàìåòèì, ÷òî êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâ F (T, n) äëÿ íåðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ ëåãêîñëåäóåò èç òåîðåìû 3.6. Íèæå ìû ïðèâîäèì èäåè, êîòîðûå, ñêîðåå âñåãî, ìîæíîäîâåñòè äî äîêàçàòåëüñòâà ãèïîòåçû â ïîëîæèòåëüíîì ñìûñëå.Ïóñòü γ1 è γ2 ðàçëè÷íûå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà T áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé.Çàäàäèì íà òåòðàýäðå îðèåíòàöèþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé îáõîäû ðåáåð ãðàíèòåòðàýäðà ìîæíî áóäåò ðàçäåëÿòü íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå.Íàçîâåì ïîäõîäÿùåé ïàðó íåçàìêíóòûõ íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿk çâåííûõ ëîìàíûõ ëîìàíûõ l1 ⊂ γ1 è l2 ⊂ γ2 , åñëè k > 2 è äëÿ âåðøèí X1 , .

. . , Xk+1è Y1 , . . . , Yk+1 ëîìàíûõ l1 è l2 ñîîòâåòñòâåííî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:Îïðåäåëåíèå 3.6.• òî÷êè Xi è Yi ïðèíàäëåæàò îäíèì è òåì æå ðåáðàì òåòðàýäðà äëÿ âñåõ i,ãäå 2 6 i 6 k ,• òî÷êè Xi è Yi ëåæàò íà ðàçíûõ ðåáðàõ òåòðàýäðà äëÿ i = 1 è i = k + 1,• Íàïðàâëåíèå îáõîäà ðåáåð òåòðàýäðà, ñîäåðæàùèõ òî÷êè X1 , Y1 è X2 , ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà ðåáåð, ñîäåðæàùèõ òî÷êè Xk+1 , Yk+1 è Xk .(à) Åñëè l1 ⊂ γ1 è l2 ⊂ γ2 ïîäõîäÿùàÿ ïàðà, òî ëîìàíûå l1 è l2ïåðåñåêàþòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå.(á) Åñëè P òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 , òîíàéäåòñÿ ïîäõîäÿùàÿ ïàðà l1 ⊂ γ1 è l2 ⊂ γ2 , òàêàÿ, ÷òî P òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿëîìàíûõ l1 è l2 .(â) (Ñëåäñòâèå ïåðâûõ äâóõ ïóíêòîâ ãèïîòåçû).

Характеристики

Список файлов диссертации