Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Êàæäàÿ èç n − 2 íåâûäåëåííûõ ãåîäåçè÷åñêèõ èìååò òèï (2k, l) ñ|kl| > 1, ïîýòîìó èç ëåìì 3.4(à)(á), 3.5 è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > 2n − 4.Ðàçáèåíèÿ òîðà è áóòûëêè Êëåéíà íàáîðàìè ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõÍàçîâåì ïñåâäîãåîäåçè÷åñêîé íà äâóìåðíîì òîðå çàìêíóòóþãëàäêóþ íåñàìîïåðåñåêàþùóþñÿ ãîìîòîïè÷åñêè íå òðèâèàëüíóþ êðèâóþ. Íàçîâåìïñåâäîãåîäåçè÷åñêîé íà áóòûëêå Êëåéíà çàìêíóòóþ ãëàäêóþ êðèâóþ, ãîìîòîïíóþêàêîé-íèáóäü ãåîäåçè÷åñêîé íà ïëîñêîé áóòûëêå Êëåéíà, ñ äâîéíûìè òðàíñâåðñàëüíûìè òî÷êàìè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, ÷èñëî êîòîðûõ ìèíèìàëüíî â êëàññå êðèâûõ (ñòåìè æå ñâîéñòâàìè), ñâîáîäíî ãîìîòîïíûõ äàííîé (ãîìîòîïèÿ çàìêíóòûõ êðèâûõ áåç îãðàíè÷åíèé íà ñàìîïåðåñå÷åíèÿ).
Êîíôèãóðàöèåé (íàáîðîì) ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ íà òîðå èëè íà áóòûëêå Êëåéíà íàçîâåì êîíå÷íûé íàáîð ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ, äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ëþáûõ äâóõ ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ γ1 èγ2 ðàâíî ìèíèìàëüíîìó âîçìîæíîìó ÷èñëó òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ çàìêíóòûõ íåñàìîïåðåñåêàþùèõñÿ êðèâûõ, ñâîáîäíî ãîìîòîïíûõ γ1 è γ2 , ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè òî÷åêñàìîïåðåñå÷åíèÿ.Îïðåäåëåíèå 3.4.Âûáåðåì íåêîòîðûå îáðàçóþùèå e1 , e2 ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû òîðà.
Òîãäà ãîìîòîïè÷åñêèé êëàññ çàìêíóòûõ îðèåíòèðîâàííûõ êðèâûõ íà òîðå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïàðîé öåëûõ ÷èñåë (k, l). Ïðè ýòîì íåñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ êðèâûì ñîîòâåòñòâóþòïàðû âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë (k, l).38Ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ òîðà èáóòûëêè Êëåéíà íàáîðàìè èç n ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî àíàëîãè÷íûì ìíîæåñòâàì äëÿ ðàçáèåíèé ïëîñêîãî òîðà è ïëîñêîé áóòûëêè Êëåéíàíàáîðàìè èç n çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ãåîäåçè÷åñêèõ.Òåîðåìà 3.4.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íàáîðîâ ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå àíàëîãè ëåìì 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.• Ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèå íà òîðå êëàññîâ (a, b) è (c, d) (îäíîãî íàáîðà è â îäíîìáàçèñå) ïåðåñåêàþòñÿ â |ad − bc| òî÷êàõ.• Ïñåâäîãåîäåçè÷åñêàÿ íà áóòûëêå Êëåéíà êëàññà (2k, l) (ò.å. ãîìîòîïíàÿ ãåîäåçè÷åñêîé íà ïëîñêîé áóòûëêå Êëåéíà òèïà (2k, l)) ïðè kl ̸= 0 èìååò |kl| òî÷åêñàìîïåðåñå÷åíèÿ.• Åñëè èç äâóõ ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ íè îäíà íå ãîìîòîïíà íåêîòîðîé ñòåïåíèäðóãîé, òî îíè èìåþò õîòÿ áû îäíó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ.
Ïñåâäîãåîäåçè÷åñêàÿòèïà (2, 0) ïåðåñåêàåò ïñåâäîãåîäåçè÷åñêóþ òèïà (2k, l) ñ l ̸= 0 ïî êðàéíåé ìåðåâ äâóõ òî÷êàõ èëè ïðîõîäèò ÷åðåç åå òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ.• Åñëè íàáîð ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ íà òîðå ñîäåðæèò õîòÿ áû äâå íåãîìîòîïíûå,òî âñå îáðàçîâàííûå îáëàñòè ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó. Åñëè íàáîð ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ íà áóòûëêå Êëåéíà ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó ñàìîïåðåñåêàþùóþñÿ, òî âñå îáðàçîâàííûå îáëàñòè ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó. Åñëè íàáîðïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ íà áóòûëêå Êëåéíà ñîäåðæèò äâå ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèå, èçêîòîðûõ íè îäíà íå ãîìîòîïíà íåêîòîðîé ñòåïåíè äðóãîé, òî âñå îáðàçîâàííûåîáëàñòè ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó.• Åñëè âñå îáëàñòè òîðà èëè áóòûëêè Êëåéíà, îáðàçîâàííûå íàáîðîì ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ, ãîìåîìîðôíû äèñêó, òî ÷èñëî îáëàñòåé ðàâíî∑(i − 1)ti .i>2Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 3.2, 3.3 ïåðåíîñÿòñÿ áåç èçìåíåíèé íà ðàçáèåíèÿ íàáîðàìèïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ, ïðè÷åì âìåñòî ëåìì èñïîëüçóþòñÿ èõ àíàëîãè äëÿ ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ.Åñëè â îïðåäåëåíèè ïñåâäîãåîäåçè÷åñêèõ ðàçðåøèòü èì ïðåäñòàâëÿòü âñå íåòðèâèàëüíûå ãîìîòîïè÷åñêèå êëàññû, òî ìíîæåñòâî ÷èñåë îáëàñòåé ìîæåòèçìåíèòüñÿ.
Íàïðèìåð, êðèâàÿ êëàññà (0, l) íà òîðå èìååò l − 1 òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ.Çàìå÷àíèå 3.2.3.4 Ðàçáèåíèÿ òåòðàýäðîâ íàáîðàìè çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõÃåîäåçè÷åñêèìè íà òåòðàýäðå íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíî êðàò÷àéøèå êóñî÷íîãëàäêèåêðèâûå. Ãåîäåçè÷åñêèå ñóòü ëîìàíûå ñ óçëàìè íà ðåáðàõ òåòðàýäðà è çâåíüÿìè íàåãî ãðàíÿõ, òàêèå, ÷òî39• ñîñåäíèå çâåíüÿ ëåæàò íà ðàçíûõ ãðàíÿõ,• ëîìàíûå ñîñòîÿò íå ìåíåå ÷åì èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ,• óãëû ìåæäó ðåáðîì òåòðàýäðà è ñîñåäíèìè çâåíüÿìè ãåîäåçè÷åñêîé ñ îáùåéâåðøèíîé íà ýòîì ðåáðå ðàâíû;• ëîìàíûå íå ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíû òåòðàýäðà.Òåòðàýäð Tr â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ðàâíîãðàííûì, åñëè åãî ãðàíè ñóòü ðàâíûå òðåóãîëüíèêè.Îïðåäåëåíèå 3.5.Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé áóäåì íàçûâàòü ïðîñòûìè.
Íàðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðàõ âñå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå ïðîñòûå è ëåãêî îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóëèñòíîãî ðàçâåòâëåííîãî íàêðûòèÿ ðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà òîðîìñ ïëîñêîé ìåòðèêîé (òî÷êè âåòâëåíèÿ íàä âåðøèíàìè òåòðàýäðà).  ýòîì ïàðàãðàôå íà ïðîèçâîëüíûõ òåòðàýäðàõ áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðîñòûå çàìêíóòûåãåîäåçè÷åñêèå.Äëÿ òåòðàýäðà T ÷åðåç F (T, n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèé ê îáúåäèíåíèÿì n ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ïðîñòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ.
À. Ò. Ôîìåíêî ïîñòàâèë çàäà÷ó íàéòè ìíîæåñòâà F (T, n). Â.Þ. Ïðîòàñîâ âûäâèíóë ãèïîòåçó, ÷òî F (T, n) ⊆ F (Tr , n) íà îñíîâàíèè ñâîåé òåîðåìû [5] îòîì, ÷òî ëþáàÿ ïðîñòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ïðîèçâîëüíîì òåòðàýäðå ðåàëèçóåòñÿ êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíîé åé ïðîñòîé ãåîäåçè÷åñêîé íà ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå. Ìûíàéäåì ìíîæåñòâà F (Tr , n), à çàòåì ïðåäëîæèì ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó ãèïîòåçûÂ.Þ. Ïðîòàñîâà.Ðàçáèåíèÿ ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ çàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìèÃðàíÿìè ðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà ìîãóò ñëóæèòü ëþáûå îñòðîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñîãíóòü îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèêâäîëü åãî ñðåäíèõ ëèíèé.Çàìå÷àíèå 3.3.ßâíîå îïèñàíèå çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ðàâíîãðàííîì òåòðàýäðå äàäèì âîáîçíà÷åíèÿõ Â.Þ. Ïðîòàñîâà èç [5].
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ðàâíîãðàííûé òåòðàýäðABCD è ðàçâåðíåì åãî ãðàíè íà ïëîñêîñòü ABC , ïîëó÷èòñÿ òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè D1 D2 D3 . Ïðîäîëæàÿ ðàçâîðà÷èâàòü íà ïëîñêîñòü ABC ãðàíè òåòðàýäðà, ïîëó÷èìçàìîùåíèå ïëîñêîñòè îäèíàêîâûìè òðåóãîëüíèêàìè. Êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà íà òåòðàýäðå, ò.å. çàìîùåíèå íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà ðàçâåðòîê.Ïîëó÷àåì ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå òåòðàýäðà ïëîñêîñòüþ, ñ òî÷êàìè âåòâëåíèÿ íàäåãî âåðøèíàìè. Ââåäåì êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè ABC , òàê ÷òî âåðøèíû A, B è Cèìåëè áû êîîðäèíàòû (0, 0), ( 12 , 0) è (0, 12 ) ñîîòâåòñòâåííî.
Íàïîìíèì, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ íå ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû òåòðàýäðà è â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð óãëû,íàêðåñò ëåæàùèå íà ðàçíûõ ãðàíÿõ, ðàâíû. Ïîýòîìó ïîäíÿòèå çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé íà òåòðàýäðå íà ïëîñêîñòü åñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ âåêòîðó (k, l) äëÿíåêîòîðûõ âçàèìíî ïðîñòûõ öåëûõ ÷èñåë k è l.
Çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè îíè ïåðåñåêàþò îäíè è òå æå ãðàíè ABCD â îäèíàêîâîìïîðÿäêå. Ïàðàëëåëüíîñòü íàêðûâàþùèõ ïðÿìûõ ðàâíîñèëüíà (ñì. [5]) èçîìîðôèçìó40çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ. Èòàê, êàæäîìó êëàññó èçîìîðôíûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïàðà öåëûõ âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë (k, l), îïðåäåëåííàÿîäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà (ïðè ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïëîñêîñòèè íóìåðàöèè âåðøèí òåòðàýäðà). Ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (k, l) ïåðåñåêàåò êàæäóþ ãðàíüòåòðàýäðà ïî k + l îòðåçêàì. Ðåáðà òåòðàýäðà ðàçáèâàþòñÿ íà òðè ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ, ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (k, l) èìååò ïî k + l óçëîâ íà êàæäîì ðåáðå îäíîé ïàðû,ïî k óçëîâ íà êàæäîì ðåáðå âòîðîé ïàðû è ïî l óçëîâ íà êàæäîì ðåáðå îñòàâøåéñÿïàðû.Ëåììà 3.7.
Äâå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïàðàìè (a, b) è(c, d) ïåðåñåêàþòñÿ â 2|ad − bc| òî÷êàõ òåòðàýäðà.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòðîèì òðåóãîëüíèê D1 D2 D3 (ñì. îáîçíà÷åíèÿ âûøå) äî ïàðàëëåëîãðàììà D1 D2 D3 D4 (ïîðÿäîê îáõîäà âåðøèí 1234). Îòîæäåñòâèâ ñòîðîíûD1 D2 ∼ D4 D3 è D1 D4 ∼ D2 D3 , ïîëó÷èì òîð, äâóëèñòíî íàêðûâàþùèé òåòðàýäðABCD. Ïðè ýòîì âåðøèíàì òåòðàýäðà ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè âåòâëåíèÿ (âòîðîãî ïîðÿäêà). Òàê êàê ãåîäåçè÷åñêàÿ íå ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû òåòðàýäðà, òî åå ïîäíÿòèå íà òîð åñòü äâå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà òîðå.
Èñïîëüçóåì ëåììó 3.3: äâåçàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ïëîñêîì òîðå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïàðàìè (a, b) è (c, d)ïåðåñåêàþòñÿ â |ad − bc| òî÷êàõ òîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, íà íàêðûâàþùåì òîðå èìååì 4|ad − bc| òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîäíÿòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òîâ êàæäóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ íà òåòðàýäðå ïðîåöèðóþòñÿ äâå òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ ïîäíÿòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà òîðå.Îáîçíà÷èì ÷åðåç f ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ ê îáúåäèíåíèþ ãåîäåçè÷åñêèõ (äëÿ êàæäîãî íàáîðà ïîëó÷àåòñÿ ñâîå ÷èñëî f ).
Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòèäîïîëíåíèÿ ê îáúåäèíåíèþ ãåîäåçè÷åñêèõ íàáîðà áóäåì íàçûâàòü îáëàñòÿìè (õîòÿ îíè íå âñåãäà ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ti ÷èñëî òî÷åêòåòðàýäðà, ïðèíàäëåæàùèõ ðîâíî i ãåîäåçè÷åñêèì íàáîðà äëÿ i > 2.Ëåììà 3.8.Åñëè íå âñå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íàáîðà èçîìîðôíû, òî∑f =2+(i − 1)tii>2è âñå îáëàñòè ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî âñå îáëàñòè ñóòü äèñêè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîíåñêîëüêî çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ äåëÿò òåòðàýäð íà îáëàñòè, ãîìåîìîðôíûå äèñêó. Äîáàâèì ê íàáîðó åùå îäíó çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ, èìåþùóþ õîòÿ áû îäíóòî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðåäûäóùèìè. Äîáàâëåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ïåðåñåêàåò ëþáóþîáëàñòü òåòðàýäðà (îáðàçîâàííóþ ïðåäûäóùèìè ãåîäåçè÷åñêèìè) ïî íåçàìêíóòîéïðîñòîé ëîìàíîé è, ñëåäîâàòåëüíî, äåëèò ýòó îáëàñòü íà äâå ïîäîáëàñòè, ãîìåîìîðôíûå äèñêó.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
