Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Âîçüìåì íåòðèâèàëüíûé íàáîð A âïðîñòðàíñòâå RP3 , m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ãèïåðïëîñêîñòåé ñ íåïóñòûì ïåðåñå÷åíèåì. Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ.22èçâåñòíî ïî òåîðåìå. Ìíîæåñòâî Fn−11. m = n−1. Òîãäà f (A) = 2φ, ãäå φ ∈ Fn−1Ìàðòèíîâà 2.5:2{f ∈ Fn−1| f 6 4n − 16} = {2n − 4, 3n − 9, 3n − 8, 4n − 16}.2. m = n − 2. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 2 èç ïåðåõîäà èíäóêöèè.3. 5 6 m 6 n − 3. Ïî ëåììå 4.5 èìååìf > 2(n − m + 1)(m − 1) > 8n − 32 > 7n − 21ïðè n > 11.60Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî d > 3 èñïîëüçóåì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó d.
Áàçà d = 3 óæåe(d)ïðîâåðåíà. Ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ïåðâûå 4 ÷èñëà ìíîæåñòâà Fn èìåþò óêàçàííûé âèä äëÿ ëþáîãî 3 6 de < d è n > 2de + 5. Ïåðåõîä: âîçüìåì íåòðèâèàëüíûéíàáîð A â ïðîñòðàíñòâå RPd , m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ãèïåðïëîñêîñòåé ñ íåïóñòûìïåðåñå÷åíèåì. Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ.(d−1)1.
m = n−1. Òîãäà f (A) = 2φ, ãäå φ ∈ Fn−1 . Ïðèìåíÿÿ ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè(d−1)ê ìíîæåñòâó Fn−1 , ïîëó÷èì, ÷òî ëèáî φ ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç 4 ÷èñåë(n − d + 1)2d−2 ,3(n − d)2d−3 ,(3n − 3d + 1)2d−3 ,7(n − d)2d−4 ,ëèáî φ > 7(n − d)2d−4 .2. m = n − 2. Ðàññìîòðèì n − 2 ãèïåðïëîñêîñòè p1 , . . . , pn−2 , èìåþùèõ îáùóþd−1òî÷êó. Îíè äåëÿò RPd íà φ îáëàñòåé, ãäå φ ∈ Fn−2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç l ïåðåñå÷åíèåäâóõ îñòàâøèõñÿ ãèïåðïëîñêîñòåé. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèèφ = (n − d)2d−2èëè φ ≥ 3(n − d − 1)2d−3(ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ò.ê. n − 2 ≥ 2(d − 1) + 5).
Åñëèl∈n−2∪pii=1òîãäà f = 3φ è ñëó÷àé ðàçîáðàí. Åñëèl∈/n−2∪pi ,i=1òîãäà îáîçíà÷èì ÷åðåç B ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé pi ∩ l â l, ãäå l ðàññìàòðèâàåòñÿêàê îáúåìëþùåå (d − 2) ìåðíîå ïðîåêòèâíîå ïðîñòðàíñòâî. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîB ýòî êîíôèãóðàöèÿ êàê ìèíèìóì n − 3 ïëîñêîñòåé â l (è ïåðåñå÷åíèå âñåõ ååïëîñêîñòåé åñòü ïóñòîå ìíîæåñòâî). Òîãäà f (B) ≥ (n − d)2d−3 ïî òåîðåìå Øåííîíà[35]. Ïîñêîëüêóf = 3φ + f (B) ≥ 7(n − d)2d − 3,òî ýòîò ñëó÷àé ðàçîáðàí.3. d + 2 6 m 6 n − 3. Ïî ëåììå 4.5 èìååìf > (n − m + 1)(m − d + 2)2d−2 > (4n − 4d − 4)2d−2 > 7(n − d)2d−3ïðè n > d + 8.Äëÿ íåòðèâèàëüíûõ íàáîðîâ A èç n ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîéïðîñòðàíñòâå RPdn2 − n.f >2m−d+5Ëåììà 4.7.61Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíóþ äâóìåðíóþ ïëîñêîñòü P îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê íàáîðó A. Òîãäà ãèïåðïëîñêîñòè èç A îáðàçóþò íà P íàáîð APèç n ïðÿìûõ, ïðè÷åì â êàæäîé òî÷êå ïåðåñåêàåòñÿ íå áîëåå m − d + 2 ïðÿìûå. Èçïåðâîãî íåðàâåíñòâà òåîðåìû 2.3 ñëåäóåòn2 − nfd (A) > f2 (AP ) > 2.m−d+5Ïóñòü k1 , . . .
, ks íàòóðàëüíûå ÷èñëà, k =n > k + d − s + 1. ÒîãäàËåììà 4.8.s∏Fn(d) ⊇ {φ ·∑i>1ki . Ïóñòü d > s + 2 è(d−s)(ki + 1) | φ ∈ Fn−k }.(4.4)i=1(d−s)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü φ ∈ Fn−k . Âîçüìåì íàáîð A0 èç n − k ãèïåðïëîñêîñòåé âïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå RPd−s , òàêîé ÷òî fd−s (A0 ) = φ. Ïîñòðîèì íàáîð A1 èç n−k + k1 ãèïåðïëîñêîñòåé â ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå RPd−s+1 , òàêîé ÷òî fd−s+1 (A1 ) =φ(k1 + 1). Äëÿ ýòîãî âîçüìåì êîíóñ íàä íàáîðîì A0 ñ öåíòðîì â òî÷êå O è äîáàâèìk1 ãèïåðïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç (d − s − 1)ìåðíóþ ïëîñêîñòü U , ëåæàùóþ íàêàêîé-íèáóäü ïëîñêîñòè èç A0 è íå ñîäåðæàùóþ òî÷êó O. Ïîñòðîåííûé íàáîð áóäåòíåòðèâèàëüíûì.
Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì íàáîðû A2 , . . . , As .  èòîãåf (As ) = φ ·s∏(ki + 1) ∈ Fn(d) .i=1Ñëåäñòâèå 4.4.(d)Ìíîæåñòâî Fnñîäåðæèò ÷èñëà(2n − 2d + 2)2d−2 , (3n − 3d)2d−2 , (3n − 3d + 1)2d−2 , (4n − 4d − 4)2d−2 ,(4n − 4d − 3)2d−2 , (4n − 4d − 2)2d−2 , (4n − 4d − 1)2d−2 , (5n − 5d − 10)2d−2 .Íàïîìíèì, ÷òî ïðîåêòèâíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòåé i è j ïðîñòðàíñòâàRPn íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü i + j − n-ìåðíîå ïðîåêòèâíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðè i + j > n è ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðè i + j < n. Ñêàæåì, ÷òîïðîåêòèâíîå ïîäïðîñòðàíñòâî íàõîäèòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè îòíîñèòåëüíî êîíôèãóðàöèè ãèïåðïëîñêîñòåé, åñëè îíî íàõîäèòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè ñ ãèïåðïëîñêîñòÿìèè âñåìè ïåðåñå÷åíèÿìè ëþáîãî êîëè÷åñòâà ãèïåðïëîñêîñòåé.([37] ) Ïóñòü A3n íàáîð èç n ïëîñêîñòåé â RP3 , íàáîð A3n−1 ïîëó÷åíèç A3n óäàëåíèåì ïëîñêîñòè U . Ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé èç A3n−1 ñ ïëîñêîñòüþ Uîáðàçóþò íàáîð A2 ïðÿìûõ íà U .
ÒîãäàËåììà 4.9.f (A3n ) = f (A3n−1 ) + f (A2 ).62mÄëÿ íàáîðà Amîáîçíà÷èì ÷åðåç tji ÷èñëî j ìåðíûõn ãèïåðïëîñêîñòåé â RPêëåòîê, ïðèíàäëåæàùèõ i ãèïåðïëîñêîñòÿì äëÿ 0 6 j 6 m − 1. Òîãäà ÷èñëî îáëàñòåéjf (Amn ) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ti àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì Çàñëàâñêîãî [37].Åñëè ïåðåñå÷åíèå âñåõ n ãèïåðïëîñêîñòåé íàáîðà Amn åñòü òî÷êà èëè ïóñòîå ìíîæåñòâî, òîÏðåäëîæåíèå 4.1.f (Amn)n∑()=1+(i − 1) t0i − t1i + t2i − · · · + tm−2iäëÿ ÷åòíîãîm,(4.5)i=1n∑f (Amn) = n+()(i − 1) −t0i + t1i − t2i + · · · + tm−2iäëÿ íå÷åòíîãîm.(4.6)i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Çàíóìåðóåì ãèïåðïëîñêîñòè è îáîçíà÷èì ÷åðåç qij ÷èñëî j -ìåðíûõêëåòîê, ïðèíàäëåæàùèõ i-é ãèïåðïëîñêîñòè.
Äëÿ ÷åòíûõ m ïîñ÷èòàåì ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó i-é ãèïåðïëîñêîñòèqi0 − qi1 + · · · − qim−1 = 0Çàìåòèì, ÷òî∑∑ji qi=tm−1= tm−11i∑itji äëÿ j = 0, . . . , m − 1. Ñëåäîâàòåëüíî,∑∑∑=qim−1 =(qim−2 − · · · + qi0 ) =i(tm−2− · · · + t0i ).iiiiiiÒåïåðü èñïîëüçóåì ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó RPm :f =1−∑(t0i−t1i+ ··· −tm−1)in∑()=1+(i − 1) t0i − t1i + t2i − · · · + tm−2.iii=1Äëÿ íå÷åòíûõ m äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.(àíàëîã íåðàâåíñòâà Ìåëüõèîðà [27]). Ïóñòü ìàêñèìàëüíîå÷èñëî ïëîñêîñòåé íàáîðà, èìåþùèõ îáùóþ òî÷êó, ðàâíî m.
Åñëè m < n, òî∑∑(i − 2)t0i > n +(i − 2)t1i .Ïðåäëîæåíèå 4.2.i>3i>2Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç qi2 ÷èñëî îáëàñòåé i-é ïëîñêîñòè, ðàçäåëåííîéïåðåñå÷åíèÿìè ñ îñòàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè. Åñëè m < n, òî âñå ∑òðåõìåðíûå îáëàn332ñòè RP îãðàíè÷åíû íå ìåíåå ÷åì ÷åòûðüìÿ ãðàíÿìè, ïîýòîìój=1 qi > 2f (An ).Èñïîëüçóÿ ëåììó 4.1, ïîëó÷àåì()∑∑∑∑n+it1i −it0i > 2 n +(i − 1)t1i −(i − 1)t0i .iiii63(3)Ïåðâûå 36 ïî âîçðàñòàíèþ ÷èñåë ìíîæåñòâà Fn äëÿ n > 50 ñëåäóþùèå (ò.å.
âñå ðåàëèçóåìûå ÷èñëà îáëàñòåé âïëîòü äî 12n − 60)Òåîðåìà 4.6.4n − 8, 6n − 18, 6n − 16, 7n − 21, 7n − 20, 8n − 32, 8n − 30, 8n − 28,8n − 26, 9n − 36, 9n − 33, 9n − 31, 9n − 30, 10n − 50, 10n − 48, 10n − 46,10n − 44, 10n − 42, 10n − 40, 10n − 39, 10n − 38, 10n − 37, 10n − 36, 10n − 35,11n − 44, 11n − 43, 11n − 42, 11n − 41, 11n − 40, 12n − 72, 12n − 70, 12n − 68,12n − 66, 12n − 64, 12n − 62, 12n − 60.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî äðóãèå ÷èñëà, ìåíüøèå 12n − 60, íå ïðèíàäëåæàò(3)ìíîæåñòâó Fn . Ðàññìîòðèì íàáîð A èç n ãèïåðïëîñêîñòåé, f = f (A). Ïóñòü m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïëîñêîñòåé, èìåþùèõ íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.
Ðàññìîòðèì òðèñëó÷àÿ.1. m > n − 5. Ïåðåáîðîì óáåæäàåìñÿ, ÷òî ÷èñëî f èëè ïðèíàäëåæèò óêàçàííîìóìíîæåñòâó, èëè áîëüøå ÷åì 12n − 60. Âñå óêàçàííûå ÷èñëà îáëàñòåé ðåàëèçóþòñÿíàáîðàìè ïëîñêîñòåé ñ m > n − 5.2. 8 6 m 6 n − 6. Òîãäà ïî ëåììå 4.5 èìååì f > 7n − 49.3. m 6 7. Ïî ëåììå 4.7f >2n2 − n> 12n − 609ïðè n > 50.Çàìå÷àíèå 4.3. Êàê âèäíî èç òåîðåìû 4.6, ìíîæåñòâî ÷èñåë îáëàñòåé äîñòàòî÷íîñëîæíî óñòðîåíî óæå äëÿ ðàçáèåíèé ïëîñêîñòÿìè òðåõìåðíîãî ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà.( Ïîýòîìó) íåóäèâèòåëüíî îòñóòñòâèå òî÷íîãî (ôîðìóëüíîãî) îïèñàíèÿ ìíîdæåñòâ F RP , n äëÿ d > 2.
Âîçìîæíî, öåëåñîîáðàçíî ñòàâèòü âîïðîñ î ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ðåàëèçóåìûõ ÷èñåë íà îïðåäåëåííûõ, äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îòðåçêàõ.Ðàçáèåíèÿ òðåõìåðíûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ âñåâîçìîæíûìè íàáîðàìè ïëîñêîñòåé.Çäåñü ìû îòêàæåìñÿ îò òðåáîâàíèÿ íåòðèâèàëüíîñòè íàáîðîâ èç n ïëîñêîñòåéâ âåùåñòâåííîì d ìåðíîì ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå è óçíàåì, ÷òî òîãäà ìîæíîáóäåò ñêàçàòü î ìíîæåñòâàõ ÷èñåë îáëàñòåé, êîòîðûå áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Fnd .Ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ìíîæåñòâà Fnd îáîçíà÷èì ÷åðåç fmax (d, n). Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ïðåèìóùåñòâåííî ìíîæåñòâà Fn3 , ò.ê. ìíîæåñòâà Fn2 èçâåñòíû, à ìíîæåñòâà Fndïðè d > 3, âåðîÿòíî, áîëåå ñëîæíû, ÷åì Fn3 .Ïðèìåð 4.1.Ìíîæåñòâà Fn2 è Fn3 äëÿ n 6 7.nFn2Fn333, 43, 444, 6, 74, 6, 7, 855, 8 115, 8 12, 14, 156 6, 10, 12 16 6, 10, 12 16, 18, 20 267 7, 12, 15 22 7, 12, 15 22, 24, 26 4264Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lmn ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ìåæäó n è fmax (m, n), íå ðåàëèçóåìûõ ïðè äàííûõ m è n â êà÷åñòâå ÷èñåë îáëàñòåé, ò.å.mLmn = {f ∈ N | n 6 f 6 fmax (m, n)} \ Fn .Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà Lmn , ñîñòîÿùèå èç ïîäðÿä èäóùèõ öåëûõ ÷èñåë áóäåì íàçûâàòü ëàêóíàìè (âñëåä çà [2]) è íóìåðîâàòü ïî ïîðÿäêó âîçðàñòàíèÿ ñîäåðæàùèõñÿ÷èñåë.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç dn ïðè n > 3 ÷èñëî[√]23 1dn =2n −.−42Äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ìíîæåñòâà Fn2 áûëè íàéäåíû â [26] è îêàçàëîñü, ÷òî ÷èñëîëàêóí â ìíîæåñòâå L2n ðàâíî dn è ÷òîL2n=dn∪{}2< g < (i + 1)(n − i) .g ∈ N | i(n − i + 1) + Ci−1i=1Çàìåòèì, ÷òî ïðè n = 6 è n = 7 (ñì. ïðèìåð 4.1) ìíîæåñòâî L3n ñîäåðæèò áîëüøå ÷èñåë, ÷åì ìíîæåñòâî L2n .
Îäíàêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n îêàçûâàåòñÿ, ÷òîìíîæåñòâî L3n ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå L2n .Òåîðåìà 4.7.L3n ⊂ L2n ïðè n > 71.Åñòåñòâåííî ïîïðîáîâàòü íàéòè íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷èñåë ìíîæåñòâà Fn3 .Ïðè n > 16 âåðíî{} {}f ∈ Fn3 | f 6 6n − 16 = f ∈ Fn2 | f 6 6n − 16 ∪ {4n − 8, 6n − 18, 6n − 16}.Òåîðåìà 4.8.2n − 2?rr6n4n − 12rrrrrrr ?63n − 66n − 30 6n − 18Cn2 + 1?rrrrrrrrrrr ?trrrrrrr ?r r trrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrt6665n − 20(dn + 1)(n − dn )Cn3 + nÐèñ. 10: Ìíîæåñòâî Fn3 äëÿ áîëüøèõ nÄëÿ äîêàçàòåëüñòâ òåîðåì 4.7 è 4.8 íàì ïîíàäîáÿòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû.Îáîçíà÷èì ÷åðåç qn è ∆n ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëà (dn + 1)(n − dn ) è 1 + Cn2 − qn .Ëåììà 4.10.Ïðè n > 71 âåðíîn2 − n+ 2.3qn−2 + n − 4 6265Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
