Диссертация (1104561), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В приближении плоской волны накачки, приближении тонкого кристалла, и считая,что процесс стационарен во времени, поле на выходе из кристалла может бытьпредставлено с помощью преобразований Боголюбова̂︀ () = ()̂︀ () + ()̂︀† (−),Здесь̂︀ () =R − ̂︀ (), где2 ̂︀ () ̸= = , (2.25)- операторы рождения в сигнальной (i=S) и опорной (i=R) модах на выходе из кристалла, а̂︀рождения и уничтожения на входе. Конкретный вид функций , - операторыподробнорассмотрен в работе [71].Для случая квазитеплового источника излучение в опорный и сигнальныйканалы попадает после светоделителя, в один вход которого заводится квазитепловое излучение, на другом входе - вакуум. Тогда () = () + (), () = () + (),(2.26)где и - коэффициенты пропускания и отражения светоделителя соответственно, - тепловое поле, а - вакуумное поле на входе, некоррелированное с полем.
В дальнейшем будем полагать, что характеризуется гауссовой статистикой,для которой все корреляционные функции произвольного порядка выражаются48через функции второго порядка.⟨︀где⟨()th ⟩†Z′⟩︀ ()( ) = −·(−′ )⟨()th ⟩ ,(2)2- среднее число фотонов в моде(2.27)теплового поля. В общем случаеперед попаданием на соответствующий детектор в каждом канале поля распространяются не в свободном пространстве, а возможно, походят через различныеоптические элементы, а в опорном канале - еще и через амплитудную или фазовую маску.
Обозначим соответствующую передаточную функцию сигнальногоканала заℎ1 (, ′ ), опорного - за ℎ2 (, ′ ), тогда поля в плоскостях детекторовмогут быть записаны какZẐ︀ (′1 )+1 (1 ),′1 ℎ1 (1 , ′1 )̂︀1 () =̂︀2 () = ′2 ℎ2 (2 , ′2 )̂︀ (′1 )+2 (1 )(2.28)здесь1и2отвечают за потери в соответствующих каналах и не дают вкладв корреляционные функции. Вся информация об объекте содержится в корреляционной функции флуктуаций интенсивности:гдеи(2) (1 , 2 ) = ⟨1 (1 )2 (2 )⟩ − ⟨1 (1 )⟩ ⟨2 (2 )⟩ ,⟨⟩†̂︀̂︀⟨ ( )⟩ = ( ) ( ) - средняя интенсивность i-го пучка.̂︀ †2(2.29)Так как̂︀1коммутируют, пренебрегая слагаемыми, связанными с потерями, корреляционная функция может быть записана в виде:ZZ′1Z′′1Z (1 , 2 ) =′′2 ℎ*1 (1 , ′′1 )ℎ1 (1 , ′1 )ℎ*2 (2 , ′′2 )ℎ2 (2 , ′2 ) ×(︁⟨⟩ ⟨⟩⟨⟩)︁†††′′ ̂︀′ ̂︀ †′′ ̂︀′′′ ̂︀′′′ ̂︀′̂︀̂︀̂︀× (1 ) (1 ) (2 ) (2 ) − (1 ) (1 ) (2 ) (2 )(2)′2Для случая теплового источника это уравнение сильно упрощается⃒Z⃒2Z⃒⃒⟨︀⟩︀(2) (1 , 2 ) = ||2 ⃒⃒ ′1 ′2 ℎ*1 (1 , ′1 )ℎ2 (2 , ′2 ) † (′2 )(′2 ) ⃒⃒(2.30)С другой стороны, для случая СПР, используя коммутационные соотношениядля полей на выходе из кристалла, можно получить:⃒ZZ⟨⟩⃒⃒2⃒†(2) (1 , 2 ) = ||2 ⃒⃒ ′1 ′2 ℎ1 (1 , ′1 )ℎ2 (2 , ′2 ) (′1 ) (′2 ) ⃒⃒ ,49(2.31)здесь, используя соотношение (2.25),⟨⟩† (′2 ) (′2 )Z= ·(′1 −′2 )1 ()2 (−).(2)2(2.32)Таким образом, явно видно сходство между классическим (2.30) и квантовым(2.31) случаем.
Видно, что корреляционная функциячисло фотоновфункция⟨⟨()⟩thв моде⟩†′′ ( ) ( )и⟨︀⟩︀† (′ )(′ )и среднееиграют такую же роль, как корреляционная1 ()2 (−).Корреляционная функция определяет свойства пространственной когерентности квазитеплового источника, длинакогерентности для такого источника пропорциональна обратной ширине распределения⟨()⟩th .Аналогичную роль играет корреляционная функция в квантовом случае.Как уже отмечалось, ключевым различием между квазиклассическим иквантовым случаем является видность "скрытых"изображений.
Ухудшение видности обусловлено фоновым слагаемым⟨1 (1 )⟩ ⟨2 (2 )⟩.Определим видность,(2) (1 ,2 )⟨1 (1 )⟩⟨2 (2 )⟩ . В случае теплового источника корреляционная функция(2) (1 , 2 ) пропорциональна ⟨()⟩2th , в то время как в случае с источникомкак =перепутанных пар фотоновгде(2) (1 , 2 ) ∼ |1 ()2 (−)|2 = ⟨()⟩th + ⟨()⟩2th ,⟨()⟩th = |2 (−)|2 = |1 ()|2- среднее число фотонов в моде при СПР.Различие двух этих случаев незначительно, еслифотонов на моду⟨()⟩th ≪ 1,⟨()⟩th ≫ 1, при малом числекоторый и используется в текущей работе ( используется режим счета единичных фотонов), различие становится существенным.
В этом случае видность от источника СПР сильно превышает видность"скрытых"изображений от теплового источника.В настоящей главе изучаются "скрытые"изображения пространственныхмод, генерируемых квазитепловым источником. В этом случае изображения,как такового, не формируется, вместо изображения – наблюдается картина"скрытой"дифракции в опорном канале в дальней зоне (в фокальной плоскостиобъектива) на торце одномодового волокна.502.4. Расчет корреляционной функции второго порядка вдальней зоне дифракцииИспользуя описанную выше теорию, можно в явном виде записать выражение (2.30) для случая разложения по когерентным модам.
Будем считать, что вкаждом оптическом канале в фокальной плоскостях объективов, с фокуснымирасстояниями , выделяются горизонтальные моды HG1 0иHG2 0в холостоми сигнальном соответственно. Выделение пространственных мод производитсяпри помощи фазовых масок (аналогично тому, как это происходило при детектировании шмидтовских мод в главе 1), затем эти моды проецируются на фундаментальную моду одномодовых волокон, находящихся также в фокальных плоскостях обоих объективов.
В этом случае передаточные функцииℎ1иℎ2будут′′exp(− 11 ), exp(− 22 ),√ ′функций масок – H1 ( 21 ),состоять из: передаточных функций объективов –где волновое число√H2 ( 2′2 )волокон – = 2/;передаточных(без учета нормировки); и передаточных функций одномодовых(︁)︁2exp − (1−2 1 )и(︁)︁2)exp − (2−,2где1и1- координаты торцов одномодовых волокон в фокальных плоскостях объективов.Пусть для простоты выкладок волокна находятся в центрах пучков2 = 0,1 =тогда выражение (2.30) без учета нормировки может быть записано ввиде:⃒(︂)︂Z′√︀√︀⃒11(2) (0, 0) = ϒ + ⃒⃒ 21 1 ! 22 2 ! 1 2 ′1 ′2 exp −(︃)︃(︃)︃(︂)︂2 ′2 2122exp − 2 exp − 2(2.33)× exp −√ ′√ ′ (1) ′ ′ ⃒⃒2×H1 ( 21 )H2 ( 22 ) (1 , 2 )⃒ ,где (1) (′1 , ′2 )соответствует разложению (2.13), аϒ = ⟨(1 )(2 )⟩.После расписывания всех членов выражения в явном виде, и группировки подобных слагаемых, получается выражение (здесь и далее, в силу громоздкости формул, небудем записывать нормировочные множители51√21 1 !22 2 !, так как в конечном итоге они сократятся с множителями12 ! выражения (2.13))⃒)︂(︂⃒∑︁ Z′′2⃒1212 1 2 ′1 ′2 exp −−(2) (0, 0) = ϒ + 2 ⃒ ⃒ √ ′√ ′√ ′√ ′× H1 ( 21 )H2 ( 22 )H ( 21 )H ( 22 ))︃⃒2(︃22(1 + 2 ) ⃒⃒22(2.34)× exp(−(1 + 2 )) exp −⃒ .⃒2Производя интегрирование по координатам в фокальных плоскостях объективов1 , 2и приводя подобные слагаемые можно получить⃒⃒∑︁ Z√√⃒(2) ′1 ′2 H1 ( 2′1 )H2 ( 2′2 ) (0, 0) = ϒ + 2 ⃒⃒√ ′√ ′× H ( 21 )H ( 22 ) exp(−(21 + 22 )))︃]︃[︃(︃)︃]︃⃒2[︃(︃2 22 2⃒ ⃒′′exp−+× exp −1 +⃒ ,2⃒4 24 2так как полиномы Эрмита ортогональны с весомexp(−2 /(2)),(2.35)то при 2 2= ,4 2(2.36)⃒⃒2⃒∑︁⃒⃒⃒(2) (0, 0) = ϒ + ⃒ ,1 ,2 ⃒ .⃒ ⃒(2.37)это выражение упрощается к видуУчитывая, что интенсивность в каждом из каналов пропорциональна весу детектируемой моды1,2 ∝ , , нормированную корреляционную функцию (2) =(2)⟨1 ⟩⟨2 ⟩ можно записать как (2) (0, 0) = 1 + 1 ,2 .(2.38)√︁Таким образом, при правильном выборе фокусного расстояния(в эксперименте, наоборот, подбирался параметр), =24превышение корреляцийнад единицей будет наблюдаться только при выделении мод с одинаковыминомерами(1= 2 ),и детектируемые моды будут являться собственными52функциями разложения (2.13), в противном случае, при 2 24 2̸= , нужно производить разложение подынтегральной экспоненты в ряд по модам (2.14), что приводит к неоднозначному выделению мод, и наличию корреляций при1 ̸= 2(что также наблюдалась экспериментально).2.5.
Экспериментальная установкаСхема экспериментальной установки приведена на рисунке (2.3). Для получения квазитеплового источника излучения был использован широко распространенный метод предложенный в работах [72, 73]: излучение от He-Ne лазерас длиной волны 632.8 нм рассеивалось на заматированном вращающемся стеклянном диске. Рассеянное от диска излучение обладает тепловой статистикой,если распределение неоднородностей фазы по сечению рассеивающегося на этомдиске лазерного пучка случайное в каждый момент времени, который меньшепериода обращения диска [66]. Для наблюдения квазитепловой статистики в такой схеме необходимо, чтобыдетектирования,пучка на диске, ∼ 1 ∼ 10 ≪ и ≪ ,здесь ∼ 2нс - времямс - время прохождения матины по пятну лазерногомс - время накопления сигнала.Линза перед стеклянным диском расширяла пучок, который затем ограничивался диафрагмой S.
Изменение размера данной диафрагмы позволялоизменять управляющий параметр.Диск находился в фокусе эффективнойлинзы образованной объективами O1 и O2. Данная линза формирует на выходе параллельный пучок. Ширина этого пучка искусственно ограничивалась спомощью диафрагмы S2.
Для измерения корреляционной функции излучениепосле диафрагмы S2 разделялось два оптических канала при помощи неполяризационного светоделителя BS. В проходящем (опорном) канале происходиловыделение заданной моды при помощи голограммной техники (подробно процесс детектирования пространственных мод при помощи бинарных фазовых масок изложен в первой главе). Для создания фазовых масок использовался про53Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
