Диссертация (1104561), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Операторы- POVM-элементы, а полный наборназывается POVM разложением.Если процесс измерения представлен набором проекторовпроекционных оператором следует, что ′ = , ′ и∑︀ ,из свойств = . Таким образом, только при использовании проекционных операторов все POVM-элементысовпадают с операторами измерений ,так как ≡ † = .Теоретическая возможность самокалибрующейся томографии базируетсяна использовании правила Борна. Пусть имеется неизвестный набор параметров⃗ ,описывающих неидеальность системы измерений свозможными исходами.
Тогда математически измерительная система может быть представлена ввиде POVM-разложения (⃗ ), = 1.. .Аналогично, пусть вектор⃗задаетнабор неизвестных параметров, задающих неидеальность приготовления квантовой системы состоящей изисходных состояний (⃗ ), = 1.. . Состояния (⃗ ) называются самокалибровочными для данного набора POVM (⃗ ), если20вероятности детектирования = Tr ( (⃗ ) (⃗ ))(1.18)позволяют однозначно определить неизвестные вектора⃗и⃗[55], таким образом, полностью характеризуя измерительную и приготовительную системыисоответственно.Исходя из предложенного выше определения легко заметить, что квантовая томография состояний и квантовая томография процессов являются частными случаями квантовой самокалибрующейся томографии. Так, например,располагая полным знанием об измерительной системеdim(⃗ ) = 0любое квантовое состояние может быть восстановлено.
И наоборот, при полном незнаниио квантовом процессе измеренияdim(⃗ ) = dim()2 ,данный процесс можетбыть восстановлен при наличии полного набора квантовых состояний. Таким образом, при проведении самокалибрующейся томографии большее "незнание"опроцессе измеренияdim(⃗ ) может быть скомпенсировано измерением большегочисла состояний, и наоборот.Зависимость POVM и приготавливаемых состояний от неизвестных векторов⃗и⃗может быть как линейной, так и нелинейной. В простейшем случаелинейной зависимости, вектора⃗и⃗могут быть однозначно вычислены изсистемы линейных уравнений 1.18.Большинство проводимых экспериментов по квантовой оптике в настоящеевремя имеет существенно нелинейную зависимость от обсуждаемых неизвестных параметров.
Так, например, в экспериментах по гомодинному детектированию или временному мультиплексированию наблюдается сильная нелинейная зависимость от эффективности фотодетекторов. Однако, и в этом случаеприменение методов самокалибрующейся томографии позволяет восстановитьосновные характеристики исследуемых квантовых процессов и состояний.В случае нелинейной зависимости от векторов⃗или⃗ ,точное решениенелинейной системы уравнений 1.18, вообще говоря, может и не существовать.21Не смотря на это, можно приближенно восстановить набор неизвестных параметров путем поиска наиболее "близкой"моделименте вероятностямк наблюдаемым в экспери(частотам регистрации интересующих событий).
Например, в качестве меры "близости"(⃗, ⃗) можно выбрать расстояние КульбакаЛейблера [57]. Данное расстояние представляет собой неотрицательный функционал, который также является мерой удаленности двух вероятностных распределений. Следует отметить, что это расстояние не является метрикой (в немне выполняется неравенство треугольника, также оно не симметрично по входным распределениям). Благодаря тому, что расстояниепо неизвестным векторам(⃗, ⃗) строго выпукло⃗ , ⃗ , минимизация этого расстояния позволяет определить данные вектора единственным образом, что является главным критериемсамокалибрующейся томографии.В работах [58–61] было показано, что минимизация расстояния(⃗, ⃗),эквивалентна использованию методу максимального правдоподобия (maximumlikelihood estimation), то есть максимизации функционала L:(⃗, ⃗) ∝ ln() =∑︁ ln [ / ] , =∑︁ .(1.19)Использование самокалибрующейся томографии для восстановления разложения по модам Шмидта (1.6) существенно упрощается благодаря априорному знанию приготавливаемого состояния, а также благодаря проведению проекционных измерений в шмидтовском базисе.
Фактически, необходимо восстанавливать диагональные элементы матрицы плотности, отвечающие однофотонным состояниям, что позволяет эффективно применять метод максимальногоправдоподобия.Редуцированная матрица плотности, соответствующая одному фотону бифотонной пары может быть представлена в виде(⃗, ⃗ ′ ) =∑︁, , (⃗), (⃗ ′ ),,в этом выражении коэффициенты, = .22(1.20)При рассмотрении самокалибрующейся томографии применительно к случаю восстановления собственных значений в шмидтовском базисе (1.6) введем следующие обозначения: пусть POVM разложение, обозначенное ранее как (⃗ )Π;теперь обозначаетсяперь выступают параметрыа вместо абстрактного вектора параметров()⃗те, описывающие потери при проекционных измерениях.
В этих обозначениях POVM элементы, соответствующие локальномупроекционному измерению на выбранную моду Шмидта, записываются в следующей формеΠ, (⃗, ⃗ ′ ) =∑︁(), (⃗), (⃗ ′ ).(1.21),Нахождение параметров(),возможно с использованием метода максимального правдоподобия [17, 62, 63], который в данном конкретном случае сводитсяк итерационной процедуре(+1)=()∑︁ (),() , (1.22)где=на (1.18) на, , а вероятности∑︀ -м()вычисляются согласно правилу Боритерационном шаге.
Выбор значений(0)на нулевом шаге нетак важен, главное, чтобы они были отличны от нуля. Величиныпредставляют собой частоты событий, наблюдаемых в эксперименте (экспериментальные вероятности). Важной особенностью процедуры (1.22) является факторизуемость собственных значений()() () = .Кратко самокалибрующаяся процедура может быть сформулирована следующим образом: изначально выбираются параметрыственные значенияи вероятности ,(), оцениваются собзатем вычисляется расстояние Кульбака-Лейблера (1.19).
После этого повтаряется вся процедура для других значений(). Если расстояние Кульбака-Лейблера выпукло в исследуемой области параметров(), то выбирается набор()доставляющий максимумфункционала расстояния, что обеспечит наилучшую близость модели к экспериментальным результатам.231.3. Экспериментальное наблюдение разложения Шмидтадля бифотонного поляВнешний вид экспериментальной установки по исследованию углового спектра СПР в шмидтовском базисе приведен на рисунке 1.1. В эксперименте нелинейный кристалл BBO толщиной 2 мм накачивался излучением He-Cd лазерас длиной волны 325 нм. Кристалл был вырезан под коллинеарный частотновырожденный синхронизм типа I. Регистрация сигнального и холостого фотонов происходила на длине волны650 ± 20нм, ширина регистрируемого частотного спектра определялась пропусканием интерференционного фильтра IF.
Излучение накачки фокусировалось в кристалл при помощи кварцевой линзы L1с фокусным расстоянием 150 мм. Измеренная угловая расходимость накачки сданной линзой составила 2 = (5.8 ± 0.1) × 10−3радиан (1.11). Измеренныйразмер перетяжки накачки в плоскости кристалла составилчто соответствуют параметру 2 = 1.4 = (25 ± 1) мкм,для пучка накачки. Дополнительнойфильтрации пространственной моды накачки не проводилось, во избежание потери полезного сигнала. Расчетная ширина углового синхронизма (параметрв выражении 1.11) в используемом кристалле получилась равной 2= 0.033радиан. Фокусное расстояние линзы L2 подбиралось так, чтобы расчетная ширина нулевой моды Шмидта после оптической системы, состоящей из линз L1C1 (или L1 C2) совпадала с шириной фундаментальной модой одномодовыхволокон SMF1 и SMF2.
Размер фундаментальной моды используемых одномодовых волокон составлял 4 мкм.Для осуществления проекционных измерений на пространственные модыHG(1.10) в эксперименте использовалась голограммная техника. Принципвыделения конкретной моды заключается в следующем: пусть неизвестная пространственная модаHGпоступает на вход детектора пространственных мод,состоящего из фазовой маски (фазовой голограммы), и одномодового волокна,торец которого расположен в дальней зоне этой маски (на рисунке 1.1 торец24SMF2CCHe-Cd лазерD2MMFSC2M2P1BSL2 HWP BBOL1M1UVMSLMP2C1D1SMF1Рис.
1.1. Экспериментальная установка по исследованию пространственного спектра СПР вбазисе мод Эрмита-Гауссаодномодового волокна SMF1 располагался в фокальной плоскости 8-x кратногообъектива C1). Пусть сам детектор настроен на выделение модыгда если′ = и′ = ,HG′ ′ ,тофазовая голограмма «обращает» пространственноераспределение фазы падающего поля, таким образом, что в дальней зоне формируется гауссово распределение амплитуды поля, которое хорошо сопрягаетсяс фундаментальной модой одномодового волокна; при′ ̸= или′ ̸= ,фазовая голограмма не полностью выравнивает итоговое распределение фазы вдальней зоне, в результате формируется пространственная мода ортогональнаяфильтрующей моде волокна, это приводит к тому, что детектор не реагируетна входную модуHG .В эксперименте фазовые голограммы создавались при помощи пространственного фазового модулятора света, SLM (spatial light modulator).
Данноеустройство представляет собой жидко-кристаллическую матрицу с диагональю∼ 0.7 дюйма и разрешением 1024 × 768 пикселей. Вносимая модулятором фазапропорциональна насыщенности серого цвета (grey scale level), подаваемого навыбранный пиксель. Фазовый модулятор подключается к компьютеру в качестве внешнего монитора, что на программном уровне упрощает работу. Суще25Рис. 1.3. Внешний вид фазовых гоРис.
1.2. Зависимость вносимой фазы отлограмм для выделения мод Эрмитанасыщенности серого цветаГауссаственным недостатком используемого модулятора фирмы Cambridge Correlatorsявлялось то, что максимальная вносимая фаза за одно отражение от матрицысоставляла0.78на длине волны650 нм, поэтому для получения разности фазприходилось использовать два последовательных отражения от матрицы.Калибровочная кривая для используемого пространственного модулятораизображена на рисунке 1.2. Данная зависимость была получена путем измерения интенсивности света с = 650нм после поляризатора P2 в зависимостиот насыщенности серого цвета, равномерно подаваемого на матрицу SLM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
