Диссертация (1104561), страница 3
Текст из файла (страница 3)
–20-23 мая 2013. – Москва, Россия.Bobrov I.B., Kovlakov E.V., Markov A.A., Straupe S.S., Kulik S.P. Detectortomography of spatial mode filters // 23rd International Laser Physics WorkshopLPHYS’14. – 14-18 July 2014. – Sofia, Bulgaria.Bobrov I.B., Kalashnikov D.A., Krivitsky L.A. Imaging of spatial correlationsof two-photon states // 21th central European workshop on quantum optics CEWQO.– 23-27 June 2014.
– Brussels, Belgium.Бобров И.Б., Ковлаков Е.В., Марков А.А., Страупе С.С., Кулик С.П. Томография детектора пространственных мод // IX семинар памяти Д.Н. Клышко.– 25-27 мая 2015. – Москва, Россия.Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК [39], [40], [41] [42], [43].Личный вклад автора.Изложенные в работе результаты исследований получены лично авторомили в соавторстве при его значительном вкладе. Автор принимал участие впостановке задач, теоретических расчетах, планировании и выполнении экспериментов, представленных в диссертации.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения и списка литературы. Обзор литературы выполнен внутри каждой главы.Общий объем диссертации 110 страниц, из них 97 страницы текста, включая 57рисунков.
Библиография включает 93 наименования на 8-ми страницах.13Глава 1Томография углового спектра бифотонного поля1.1. Разложение ШмидтаПроцесс спонтанного параметрического рассеяния (СПР) [4] является одним из основных источников перепутанных фотонных пар для экспериментов вобласти квантово оптики, также данный процесс активно используется в квантовой криптографии, при построении схем квантовых вычислений и во многихдругих экспериментальных и теоретических направлениях.
В то время, как вквантовой криптографии и в схемах квантовых вычислений в основном используют дискретные степени свободы фотона (его поляризацию), отдельный интерес представляет использование непрерывных степеней свободы перепутанныхпар фотонов. В качестве таких степеней могут выступать, например, частотаили угловой спектр фотонов бифотонной пары. С точки зрения информационной емкости квантового состояния системы с непрерывными степенями свободы обладают большим преимуществом перед системами с дискретными, таккак имеют, в теории, бесконечномерное гильбертово пространство состояний(например, при работе с поляризационными степенями свободы, размерностьгильбертова пространства равна двум).В данной главе рассматриваются непрерывные степени свободы – изучается угловой спектр бифотонной пары, рождаемой в процессе СПР.
Процесс спонтанного параметрического рассеяния имеет эффективный гамильтониан взаимодействия вида [44]:Z3⃗(2) (⃗)(−) (⃗) (+) (⃗) (+) (⃗) + H.c.=(1.1)Здесь– классическая амплитуда поля накачки,– оператор рассеяния. Полагая поле накачки монохроматическим в первом порядке теории возмущения14волновая функция процесса СПР может быть записана как:Z|Ψ⟩ = |vac⟩ + ⃗1 ⃗2 Ψ(⃗1 , ⃗2 )|1⟩1 |1⟩2 ,Z⃗ ),Ψ(⃗1 , ⃗2 ) = 3⃗(2) (⃗)(−) (⃗) exp(Δ⃗(1.2)где отстройка1 + 2 = .⃗ = ⃗1 + ⃗2 − ⃗Δи из закона сохранения энергии следует, чтоВ случае приближения бесконечного кристалла и плоской падающей волны накачки амплитуда бифотонного поля представляется в упрощеннойформе[45–47]:(︁)︁ (︁)︁Ψ(⃗1 , ⃗2 ) = ⃗1⊥ + ⃗2⊥ ⃗1⊥ − ⃗2⊥ ,(1.3)(︁)︁⃗⃗в данном выражении функция 1⊥ + 2⊥ отвечает за угловой спектр поля(︁)︁⃗⃗накачки, а 1⊥ − 2⊥ –геометрический форм-фактор, возникающий из условия фазового синхронизма в нелинейном кристалле.
Явный вид функциидляпредположений бесконечного в поперечном направлении кристалла и плоскойволны накачки может быть найден аналитически [46, 47]⎡ (︁)︁2 ⎤)︁(︁ ⃗1⊥ − ⃗2⊥ ⎥⎢Ψ(⃗1 , ⃗2 ) = ⃗1⊥ + ⃗2⊥ sinc ⎣⎦,4здесь– длина кристалла, а(1.4)– нормировочная константа.Наиболее широко используемым подходом для исследования пространственного или частотного перепутывания бифотонных пар, рожденных в процессеСПР, является подход основанный на разложении по когерентным модам.
Формально любую гладкую непрерывную функцию от двух переменных, которойв данном случае является угловая амплитуда бифотона, можно представить ввиде разложения по базисным функциямΨ(⃗1⊥ , ⃗2⊥ ) =∞ ∑︁∞∑︁ ():, (⃗1⊥ ) (⃗2⊥ ).(1.5)=0 =0В силу наличия двух аргументов у функцииΨ(⃗1⊥ , ⃗2⊥ ) в этом выражении суммирование производится по двум индексам. Наличие явных корреляций между15фотонами бифотонной пары и их структура при такой записи не являются очевидными. Оказывается, существует физически выделенный базис, в которомдвойное суммирование может быть сведено к одинарному:Ψ(⃗1⊥ , ⃗2⊥ ) =∞ √︀∑︁ (⃗1⊥ ) (⃗2⊥ ).(1.6)=0Это разложение носит название разложения Шмидта, в нем базисные функции (⃗1,2⊥ ) являются собственными функциями однофотонных матриц плотности1,2 (⃗1,2⊥ , ⃗1,2⊥ )с соответствующими собственными значениями .Явный видсобственных функций может быть получен из решения системы интегральныхуравнений:Z′′′1,2 (⃗1,2⊥ , ⃗⊥) (⃗⊥)⃗⊥= (⃗1,2⊥ ).(1.7)С математической точки зрения суммирование в разложении Шмидта должно производиться по бесконечному числу базисных мод, однако, физически значимым является лишь ограниченное число этих мод1 = ∑︀∞2=0 [7]:,(1.8)данное число также носит название числа Шмидта, и определяет перепутанность квантовой системы [48–50].Степень перепутанности системы, заданной выражением (1.4), подробноисследовалась в теоретической работе [7].
Полагая угловой спектр поля накачкигауссовой функцией = exp[︁]︁⃗⃗ 2− |1⊥ +22⊥ | , также считая (⃗1⊥ −⃗2⊥ ) гауссовой,авторами данной работы было получено число Шмидта в аналитическом виде:(︂)︂211, = +4здесь=√︁4 – полуширина гауссовой функции(1.9) (⃗1⊥ − ⃗2⊥ ).Модель предложенную в работе [7] будем далее по тексту называть двугауссовой моделью.Значение числа Шмидтараметромв данной модели определяется единственным паи может принимать широкий набор значений.16,Численный расчет числа Шмидтабез приближения функцииsincввыражении (1.4) гауссовой зависимостью, показывает, что реальное значение > .для всех значений параметраБазисные функции разложения (1.6) не является строго заданными и могут выбираться в зависимости от физических особенностей экспериментальнойсхемы. Чаще всего распространение излучения в экспериментальной схеме соответствует параксиальному приближению, в этом случае удобно использоватьмоды Эрмита-Гаусса (ЭГ) или Лагерра-Гаусса (ЛГ) в качестве базиса разложения.
Данные моды являются решением параксиального волнового уравнения.В текущей работе в основном используется набор базисных мод ЭрмитаГаусса, в силу удобства их экспериментального детектирования, но без ограничений общности, схожие результаты могут быть получены с использованиеммод ЛГ. Моды ЭГ также называются поперечными модами электромагнитногополя (transverse electromagnetic, TEM). Обозначениев тексте диссертации, наряду сTEM будет применятьсяHG .Явный вид мод ЭГ записывается в виде:(︂HG ( , ) ∝ H2(Δ )2(︃)︂H2(Δ )2)︃(︃2 + 2exp −2(Δ ⊥)2)︃,(1.10)в этом выраженииH, () – полиномы Эрмита, , – координаты поперечноговолнового вектора⃗⊥ , Δ,моды вдоль осейи.– характерная ширина фундаментальной гауссовойДля получения разложения Шмидта (1.6) по модамЭГ (1.10) удобно использовать двугауссову модель для амплитуды бифотонногополя [7, 51]:(︃(⃗1⊥ + ⃗2⊥ )2⃗⃗Ψ(1 , 2 ) ∝ exp −22здесь)︃(︃(⃗1⊥ − ⃗2⊥ )2exp −22соответствует угловой ширине поля накачки, а =√︁)︃,(1.11)4 отвечает заугловую ширину фазового синхронизма в кристалле.
Как уже отмечалось выше, данная модель (1.11) является приближением17sinc(︁ 2 )︁2→ exp(︁2− 2)︁прималых значениях,здесь параметротвечает за "близость"этих функций.В работе [51] было показано, что наилучшее приближение выполняется при = 0.86.В силу того, что волновая функция представима в виде произведения гауссовых функций зависящих только от1,2 или 1,2 , для упрощения математических выкладок можно рассматривать только одномерную задачу, в этом случае(︂)︂(︂)︂(1 + 2 )2(1 − 2 )2Ψ(1 , 2 ) ∝ exp −exp −.2222(1.12)Можно показать, как это было проделано в работе [51], что системе уравнений (1.7) удовлетворяет решение вида:(︂ (1,2 ) =2)︂ 41(︃√︂)︃21,2 ,(1.13)(︁ 2 )︁√ −1/2где () = (2 ! )exp −2 H ().
Собственные значения и число Шмидта, получаемые при решении (1.7) равны = 42 + 2( − )2,=.2( + )2(+1)(1.14)Итоговый вид амплитуды бифотона в базисе мод ЭГ представляется в видеразложения:Ψ(⃗1 , ⃗2 ) =∑︁ √︀ (1 ) (1 ) (2 ) (2 ),(1.15)здесь индексыиотвечают за порядок моды вдоль направленияисоответственно. Степень перепутывания этого двухчастичного волнового пакетазадается полным числом Шмидта(2 + 2 )2 = =.42 2(1.16)Степень перепутывания квантовой системы является инвариантом, и не может зависеть от выбора базиса разложения. Как это было продемонстрированов работе [52], для выбора базисных мод в виде Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, итоговое число Шмидта не меняется.
В текущей главе изучается разложение18Шмидта для коллинеарного режима работы СПР, подобное разложение такжеможет быть получено в неколлинеарном режиме. Явный аналитический видразложения для неколиниарного спектра СПР, а также степень перепутанности в таком режиме исследованы в работе [53].Необходимо отметить, что вся вышеизложенная теория учитывает лишьгауссово распределение пространственной моды накачки. В случае использования накачки в пространственной моде ЭГ более высокого порядка, угловойспектр бифотонного поля также имеет разложение Шмидта, где базиснымифункциями разложения выступают моды Эрмита-Гаусса.
Явный вид этого разложения, в зависимости от падающей на кристалл пространственной моды накачки, получен в теоретической работе [54].Целью проведенной экспериментальной работы было исследование распределения (1.15): измерение собственных значений в разложении; исследованиевида базисных функций разложения. Для получения достоверных экспериментальных результатов использовались как прямые проекционные измерения в базисе мод ЭГ, так и усложненный подход самокалибрующейся томографии, позволяющий учитывать систематические погрешности экспериментальной установки.1.2. Квантовая томография с возможностьюсамокалибровкиЗдесь и далее в главе под самокалибрующейся томографией будет подразумеваться процесс одновременного восстановления информации не только онаблюдаемом квантовом состоянии системы, но и об устройстве самого измерительного (проекционного) прибора, как это было предложено в роботе [55].При проведении реальных физических экспериментов описания процессаизмерения как действие проекционного оператора на исследуемое состояние часто бывает недостаточно.
Когда состояние системы после измерения неважно19(например, при измерении одиночных фотонов лавинным фотодетектором квантовое состояние фотона (поляризация, угловой момент, пространственная мода и пр.) после измерения теряет сколь-нибудь значимый физический смысл),удобным является POVM-формализм. POVM (positive-operator valued measure)положительная операторно-значная мера [56], также часто называемая разложением единицы, является мощным инструментом при анализе результатов измерений, а также при описании самого квантового измерения.Пусть процесс измерения задан операторамирения находится в состоянии|⟩. ,а сама система до измеВероятность получить результат измеренияв этом случае задается формулой() = ⟨|† |⟩.Пусть новый операторимеет вид: ≡ † ,(1.17)тогда из условия полноты и свойств линейной алгебры следует, чтоцательный оператор и∑︀ = . Таким образом, набор операторов - неотридостаточен для определения вероятностей всех различных исходов измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
