Диссертация (1104561), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

На рисунке 3.1 приведена типичнаяэкспериментальная установка по созданию пространственных мод. На ней коге­рентный гауссов пучок отражается от фазовой голограммы в результате чего вдальней дифракционной зоне после отражения наблюдается желаемое попереч­ное распределение поля. Существуют различные типы фазовых голограмм, этомогут быть фотопленки, специально созданные поверхности с фазовыми дисло­кациями именуемые (q-plates) в иностранной литературе, но в текущей работерассматриваются фазовые голограммы получаемые при помощи пространствен­ного фазового модулятора света (SLM).

Будем считать, что поляризация пада­Рис. 3.1. Установка для генерации и детектирования поперечных мод высших порядков. SMF- одномодовое волокно, SLM - пространственный модулятор света.70ющего на SLM электромагнитного поля фиксирована и не изменяется при егодальнейшем распространении, таким образом, говоря о поле будем иметь в видуего скалярную пространственную часть.Наиболее широко используемыми являются базисы поперечных мод Эр­мита-Гаусса (ЭГ) и Лагерра-Гаусса(ЛГ), являющие собой решения волновогоуравнения в параксиальном приближении для свободного пространства в де­картовых и полярных координатах соответственно.Поперечное распределение поля для мод ЭГ для случая плоского волново­го фронта имеет вид:√︃ (, ) =2H02 2+ !!)︂(︂ 22× exp −здесь0(︃ √ +0220(︃ √)︃H20)︃,(3.1)H, – полиномы Эрмита, и – координаты в поперечном сечении пучка,– радиус пучка.

Аналогичное распределение в базисе мод ЛГ имеет вид:√︃ (, ) = (−1)2!02 ( + ||)!(︃ √20)︃||(︂ 2 )︂L|| 2 20× exp(−),в этом выражении||L(3.2)– присоединенные полиномы Лагерра,ирадиус иполярный угол в плоскости сечения пучка соответственно.Оба этих распределения могут легко быть переписаны в комплексной фор­ме, состоящей из амплитудной огибающей и фазового множителя. Для управле­ния амплитудой в дальней зоне можно использовать фазовую дифракционнуюрешетку с различной глубиной модуляции в поперечном направлении (как этопоказано на примере голограмм на Рис.

3.1). Таким образом, используя супер­позицию фазовой дифракционной решетки с различной глубиной модуляциии фазовой модуляции в ближней зоне, можно сформировать наперед заданноепространственное распределение поля в дальней зоне (в направлении первого71порядка дифракции ). Облекая сказанное выше в математическую форму: об­щий вид фазового профиля на голограмме может быть представлен как(︂)︂2(, ) = (, ) mod2 (, ) +,Λв этом выражении(3.3) и – координаты в плоскости фазовой голограммы, (, )– нормированная амплитуда голограммы (0≤ ≤ 1), (, )функция амплитуды и фазы генерируемой голограммы,Λ– некоторая– период фазовойдифракционной решетки - эшелетта (использование эшелетта позволяет увели­чить эффективность перекачки энергии в первый порядок дифракции). Как этобыло показано в работе [27], для наилучшей генерации мод, функции (, ) (, ) идолжны удовлетворять следующим соотношениям: = sinc(((, ) − 1)), = Φ(, ) − (, ),Здесь(, )дальней зонеℱиΦ(, )(, )(3.4)– нормированные амплитуда и фаза искомого поля вто есть(, ) = |ℱ[(, )]|, Φ(, ) = Arg (ℱ[(, )]),– обозначает Фурье-образ.Рассмотренная выше процедура генерации мод может быть легко обраще­на в результате можно получить детектор пространственных мод [79, 80].

Детек­тор работает следующим образом: если падающая на него мода соответствуетвыбранной фазовой голограмме на SLM, то она будет переведена в первом по­рядке дифракции в фундаментальную моду (с незначительными искажениями,о которых речь пойдет ниже) и затем отфильтрована пространственной модойодномодового волокна. Если же на SLM голограмма соответствовала другой"ожидаемой"моде, то после отражения от данной голограммы в первом поряд­ке дифракции в дальней зоне будет сформирована мода ортогональная модеволокна, и детектор не зарегистрирует сигнала после него. На языке кванто­вой механики такие детекторы реализуют проекционные измерения в базисепространственных мод, но возникает вопрос: насколько в эксперименте близ­72ки подобные измерения к проекционным? Ответ на этот вопрос может датьпроцедура квантовой томографии детектора [30], позволяющая однозначно вос­становить отклик детектора в заданном базисе.Для описания POVM разложения модового фильтра здесь и далее будутиспользоваться дираковские обозначения.

Сперва рассмотрим идеальный мо­довый фильтр, который осуществляет проекционное измерение на некоторуюмоду| ⟩.POVM разложение для такого идеального фильтра будет состоятьиз набора одномерных ортогональных проекторов = | ⟩ ⟨ | . В общем видепространственное состояние падающего на детектор поля может быть представ­лено матрицей плотности−.Тогда вероятность задетектировать фотон в модезадается правилом Бора:, = Tr ( ) .чистой пространственной модеходе детектораЕсли падающее поле находится в| ⟩, тогда вероятностное распределение на вы­, = , . Но в реальных экспериментах модовые фильтры неявляются идеальными, поэтому соответствующие им POVM элементы должныиметь более сложную структуру:˜ =∑︁(), | ⟩ ⟨ |.(3.5),В этом выражении коэффициенты(),должны быть установлены из экспери­мента.

Однако, непосредственное измерение этих коэффициентов не простаязадача, так как несет в себе необходимость генерации выбранной моды| ⟩,но процесс генерации пространственной моды также не идеален, таким обра­зом, экспериментально выделить ошибки при. Предлагаемое в текущей работерешение состоит в использовании некоторых калибровочных состояний, легкоприготовляемых в эксперименте и последующего статистического восстановле­ния POVM элементов детектора по отклику модового фильтра на эти состоя­ния [32].Далее будем рассматривать детектор работающий в базисе Эрмита-Гаусса .В этом случае в качестве калибровочных состояний73| ⟩удобно выбратьгауссовы пучки с различным поперечным смещением:√︂00 ( − , ) =здесь индекс(︂)︂( − )2 + 22exp −,22(3.6)нумерует дискретный номер поперечного смещения , ( ={0, .

. . , −1}). При таком выборе калибровочных состояний можно произвестиразделение переменных и задача в базисе мод ЭГ сводится к одномерной. Безограничения общности можно положить индекс = 0.Вероятностный откликидеального детектора на такое калибровочное состояние может быть посчитананалитически: ,⃒ ∞√︂⃒2⃒Z⃒⃒⃒(− )2 + 22−⃒ =2= ⟨ | | ⟩ = ⃒⃒(,)0⃒2⃒⃒∞(︂)︂22=exp − 2 .2 !(3.7)Для случая неидеального детектора данное распределение приобретает вид:2= exp − 2(︂ ,где тензоры,иΠ,,∑︁+()√ =, Π, ,+ !! ,=0,=0)︂ ∑︁(3.8)выражаются как:(︂ 2 )︂+√= exp − 2;+ !!()Π, = .Целью экспериментального исследования являлось восстановление тензора ко­эффициентовностейΠ ∈ C × × ∈ R× −1 ,гдеиз экспериментально измеряемой матрицы вероят­ −1– число детектируемых мод,используемое в POVM разложении (3.5), а– число мод,– число дискретных положенийсмещенной калибровочной гауссовой моды.

Как это было продемонстрировано вработах [30, 32], для получения хорошего согласия с экспериментом достаточноиспользовать упрощенный тензор()Π, = .Таким образом, эксперимен­тальное восстановление элементов POVM сводится к задаче оптимизации:min ‖ − Π‖,Π ≥ 0,−1∑︁=074Π = 1,(3.9)где матричная норма определяется как‖‖ =√︁∑︀,|, |2 .3.2. Экспериментальная установкаСхема экспериментальной установки представлена на рисунке 3.2. Ослаб­Рис. 3.2. Схема экспериментальной установки для проведения томографии детектора про­странственных мод. Один и тот же фазовый модулятор используется для приготовлениягауссова пучка определенного диаметра, и как часть модового фильтра.ленное излучение диодного лазера с длиной волны 405 нм пространственно от­фильтровывалось с помощью одномодового волокна SMF1 и коллимировалосьв параллельный пучок 8х кратным объективом O1.

Радиус пучка управлялсяпри помощи фазовой голограммы, поданной на правую часть SLM. Для контро­ля радиуса пучка с сохранением пространственного гауссова профиля фазоваямаска вырезала более узкий гауссов профиль и перенаправляла излучение впервый дифракционный порядок. Далее, пучок заданного радиуса в первом по­рядке дифракции отражался от второй половины SLM, на которую подаваласьдетектирующая фазовая голограмма. Первый дифракционный порядок послевторого отражения от SLM фокусировался в одномодовое волокно SMF2 припомощи 20х кратного объектива O2.

Таким образом, на торце одномодового во­локна после объектива O2 формировалась дальняя дифракционная зона. Излу­75чение после одномодового волокна регистрировалось счетным фотодетекторомD.Вместо параллельного сдвига гауссова пучка в ближней зоне на практи­ке более удобно использовать перемещение положения фильтрующей гауссовоймоды (перемещая торец волокна SMF2 в поперечном направлении). Такое пере­мещение вызывает наклон пучка в ближней зоне, при этом в выражении (3.8)изменится только масштабирующий множитель, а под в этом случае нужнопонимать положение торца волокна в фокальной плоскости объектива.1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-6-4-2024-66(а)-4-20246(б)Рис.

3.3. Распределение вероятности детектирования для первых пяти фазовых голограмм,соответствующим модам , , с индексами = 0 . . . 4 и = 0. По горизонтальной оси отложе­но положение торца одномодового волокна в дальнем поле фазовой голограммы, соответ­ствующее наклону фильтрующей гауссовой моды на угол = / , где = 8 мм – фокальноерасстояние объектива. Положение отложено в безразмерном виде /, где = (1.871±0.007)мкм – радиус моды волокна. Точки соответствуют экспериментальным данным, полученнымбез использования амплитудной модуляции на фазовой голограмме, непрерывные линии со­ответствуют теоретическому расчету распределения вероятности для мод ЭГ (a) и распре­делению вероятности, рассчитанному с использованием экспериментально восстановленныхPOVM элементов (b).Для проведения томографии детектора в работе исследовались фазовыеголограммы как с использованием амплитудной модуляции в выражении (3.3),так и без нее.76Экспериментально измеренные распределения вероятностей детектирова­ния приведены на рисунке 3.3.

Учитывая тот факт, что дифракционная эф­фективность зависит от номера детектируемой моды, производилась перенор­мировка полученных распределений так, чтобы интегральная интенсивностьбыла одинакова для всех мод. Сравнивая экспериментальные данные с теоре­тическими распределениями (непрерывные линии на рис. 3.3(a)), наблюдаетсясильное расхождение с ростом номера моды. Элементы POVM, полученные врезультате реконструкции показаны на рис. 3.4(a). Несоответствие между де­тектируемыми и ожидаемыми идеальными модами Эрмита-Гаусса варажаетсяв наличии множества недиагональных элементов.

Характеристики

Список файлов диссертации