Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики (1104487), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ {∆n }∞n=1 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèíåéíûõ îïå∞∞ðàòîðîâ {Ln }n=1 è {Pn }n=1 , òàêèå ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N Pn : Z → Rn ,Ln : Rn → Z , Pn íåïðåðûâåí, ∆n ∈ Rm , âûïîëíåíî (11) è lim ∆n = 0.n→∞Ïóñòü äëÿ ëþáîãî n ∈ N âûïîëíåíû óñëîâèÿ (6), (7) è (8). Òîãäà Ē 6Ēn 6 En äëÿ ëþáîãî n ∈ N, è lim En = lim Ēn = Ē .n→∞n→∞Ïîñëå òîãî, êàê ñôîðìóëèðîâàí êîíå÷íîìåðíûé àíàëîã çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, îñòà¼òñÿ ðåøèòü ýòó êîíå÷íîìåðíóþ çàäà÷ó. Àâòîðîì ïðèâåäåíû è îáîñíîâàíû àëãîðèòìû ðåøåíèÿ êîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ (9) äëÿ âõîäíûõ äàííûõ ðàçëè÷íîãî âèäà13[28].
Ýòè àëãîðèòìû îïèðàþòñÿ íà Ïðèíöèï Ëàãðàíæà. Áûëà ïîëíîñòüþèññëåäîâàíà çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Rn , åñëè ìíîæåñòâà Mn è O çàäàþòñÿ ëèíåéíûìè è êâàäðàòè÷íûìè îãðàíè÷åíèÿìè:Mn = {x ∈ Rn | |haσ , xi| 6 cσ ∀σ ∈ Σ0 ,kGς xk 6 ρς ∀ς ∈ Σ1 },O = {w ∈ Rm °| |h ba°c σ ∀σ ∈ Σ̂0 ,σ , wi| 6 b°°°Ĝς w° 6 ρbς ∀ς ∈ Σ̂1 },ãäå Σ0 è Σ1 êîíå÷íûå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ (âîçìîæíî ïóñòûå), ïðè ëþáîìσ ∈ Σ0 cσ > 0, aσ ∈ Rn è aσ 6= 0, ïðè ëþáîì ς ∈ Σ1 ρς > 0, dς ∈ Nè Gς : Rn → Rdς ëèíåéíûé îïåðàòîð. Àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ìûââåëè äëÿ îáúåêòîâ Σ̂0 , Σ̂1 , bcσ, ba σ , ρbς , dbς , Ĝς . Äëÿ òàêèõ ìíîæåñòâ Mnè O áûë ïîñòðîåí è îáîñíîâàí àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãîâîññòàíîâëåíèÿ (9). ÷åòâ¼ðòîé ãëàâå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ îïèñàííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ îáðàòíûõ çàäà÷ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.Âïåðâûå îíè áûëè îïóáëèêîâàíû â [22].
Ðàññìîòðèì îòðåçêè èç ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë: T = [a; b] è S = [c; d]. Z := C(T ), U := C(S) ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ sup-íîðìîé. Èññëåäóåòñÿ çàäà÷à (2) ñ ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèéM = {z ∈ C(T ) | |z(t) − z(t0 )| 6 N |t − t0 | ,|z(t)| 6 γ ∀t, t0 ∈ T }.è ðàçëè÷íûìè èíòåãðàëüíûìè îïåðàòîðàìè A : Z → U .
Çäåñü N è γ ôèêñèðîâàííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ðàññìîòðåíû 3 ñëó÷àÿ äëÿ îïåðàòîðîâ.1) Óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà ïåðâîãî ðîäà. A : Z → U ëèíåéíûé èíòådefãðàëüíûéîïåðàòîð ñ íåïðåðûâíûì ÿäðîì K : S × T → R, ò.å. Az(s) =RK(s, t)z(t) dt è ôóíêöèÿ K íåïðåðûâíà.Tdef2) Óðàâíåíèå Àáåëÿ. Z = U = C([0; b]), A : Z → U , Az(s) =Rs01z(t) dt,(s−t)ββ ∈ (0; 1).3) Óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Z = U = C(T ), A : Z → U ,RdefAz(s) = z(s) + K(s, t)z(t) dt, ôóíêöèÿ K : T × T → R íåïðåðûâíà.T ïîñòàíîâêå çàäà÷ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÿäðî K è ïðàâàÿ ÷àñòü èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2) çàäàíû ñ ïîãðåøíîñòüþ.
Àâòîðîì îïèñàíû ñõåìû ïðè14ìåíåíèÿ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷, ïîñòðîåííîãî â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ.Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷¼òîâ ìîäåëüíîãî ïðèìåðà. ïÿòîé ãëàâå ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû è ñôîðìóëèðîâàííûå òåîðåìûïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ ñ èñòîêîïðåäñòàâèìûì ðåøåíèåì.Ñíà÷àëà, â ðàçäåëå 5.1, ñòðîèòñÿ ìåòîä îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿäëÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé âèäà M =V (Sr ), ãäå V : W → Z ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç ãèëüáåðòîâàïðîñòðàíñòâà W â íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî Z , à Sr øàð â ïðîñòðàíñòâå W èçâåñòíîãî ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â íóëå. Ýòà çàäà÷à èíòåðåñíàñàìà ïî ñåáå è ïðèãîäèòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà â äàëüíåéøåì. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãîâîññòàíîâëåíèÿ ñ ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé M = V (Sr ) ñòðîèòñÿ íà îñíîâå Ïðèíöèïà Ëàãðàíæà.
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïîñòðîåííîãî àëãîðèòìà äîêàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåìû. Îñîáåííîñòüþ ïðåäëîæåííîãîàëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â í¼ì íå ïðèìåíÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.Çàòåì, â ðàçäåëå 5.2, ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à (2) ñ äåéñòâèòåëüíûìèíîðìèðîâàííûìè ïðîñòðàíñòâàìè Z è U , ñ ëèíåéíûì èíúåêòèâíûì íåïðåðûâíûì îïåðàòîðîì A : Z → U , ñ ìíîæåñòâîì àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèéM = Im V , ãäå V : W → Z ëèíåéíûé èíúåêòèâíûé êîìïàêòíûé îïåðàòîð èç ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà W â ïðîñòðàíñòâî Z .
Äëÿ çàäà÷è (2) ñýòèìè äàííûìè ñòðîèòñÿ ìåòîä íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ÷èñëà `(z̄),êîòîðûé íàçâàí ìåòîäîì ðàñøèðÿþùèõñÿ êîìïàêòîâ äëÿ îïòèìàëüíîãîâîññòàíîâëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà [26]. Ýòîò ìåòîä îïèðàåòñÿ íà ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà è ðàáîò [11, 7]. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîñòðîåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà¼ò îïòèìàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòìîì âçàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëà. Àâòîðîì áûëè íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðèêîòîðûõ âûïîëíåíî ýòî óòâåðæäåíèå.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà àëãîðèòì íàõîäèò òàê íàçûâàåìóþ àïîñòåðèîðíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè äëÿ ïîëó÷àåìîãî ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ.Äàäèì îïðåäåëåíèÿ ââåä¼ííûì òåðìèíàì. Îáîçíà÷èì R+ := {x ∈ R |x > 0}. Ïóñòü âìåñòî îäíîãî ìíîæåñòâà Ω èìååòñÿ ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ{Ωε }ε∈R+ , òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ε ∈ R+ ìíîæåñòâî Ωε ⊂ Y îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: sup kyk 6 ε. Ïóñòü òàêæå âìåñòî îïåðàòîðà A ìûy∈Ωεóìååì òî÷íî âû÷èñëÿòü ëèøü åãî ïðèáëèæåíèå ëèíåéíûé íåïðåðûâíûéîïåðàòîð Aε : Z → U , òàêîé ÷òî kAε − Ak 6 h(ε).
Çäåñü îòîáðàæåíèåh : R+ → R+ òàêîâî, ÷òî lim h(ε) = 0. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðèçèðóþε→0ùèõ ñâîéñòâ àëãîðèòìà âìåñòî îáúåêòîâ m, Qm è v íåîáõîäèìî ââåñòè çàâè15ñèìîñòü îò ïàðàìåòðà ε ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà Y (ò.å. dim Y = m(ε)),ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ {Qm(ε) }ε∈R+ è ñåìåéñòâî âåêòîðîâ{vε }ε∈R+ , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ vε − Qm(ε) ū ∈ Ωε . Ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε ∈ R+ ÿâëÿåòñÿîöåíêîé°° ïîãðåøíîñòè ïðàâîé ÷àñòè îáðàòíîé çàäà÷è, ïîñêîëüêó °vε − Qm(ε) ū° 6 ε. Äàëåå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåìYε := Rm(ε) .Îáîçíà÷åíèÿ. Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ îïåðàòîðîâ èçíîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà Z â íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî U îáîçíà÷èì Hom(Z, U ).
Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ èíúåêòèâíûõ íåïðåðûâíûõ îïåðàòîðîâ èç íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà Z â íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâîU îáîçíà÷èì BI(Z, U ).Îïðåäåëåíèå. Ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé Rε : Hom(Z, U ) × Yε → R, ïàðàìåòðèçóåìîå ÷èñëîì ε ∈ R+ , íàçîâ¼ì ðåãóëÿðèçèðóþùèì àëãîðèòìîìâîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëà ` ∈ Z ∗ â çàäà÷å (2) ñ M = Im V (èëè ïðîñòîðåãóëÿðèçèðóþùèì àëãîðèòìîì ), åñëè äëÿ ëþáîãî z ∈ Im V âûïîëíåíîóñëîâèåsup|`(z) − Rε (Aε , y)| −−→ 0.(12)ε→0A0 ∈BI(Z,U ): kA0 −Aε k6h(ε),y∈Yε : y−Qm(ε) A0 z∈ΩεÝòîò ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì áóäåì îáîçíà÷àòü R.Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü ε ∈ R+ , M ⊂ Z è Oε ⊂ Yε , òàêèå ÷òî Oε ⊃ Ωε +Qm(ε) (A−Aε )(M). Äëÿ ýòèõ îáúåêòîâ îïðåäåëèì îáîáù¼ííóþ ïîãðåøíîñòüðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà R íà ìíîæåñòâå M:Ãdef∆0 (ε, Rε , M, Oε ) = supz∈M!supy∈Yε : y−Qm(ε) Aε z∈Oε|`(z) − Rε (Aε , y)| .Îïðåäåëåíèå. Ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì R íàçûâàåòñÿ îïòèìàëü-íûì íà ìíîæåñòâå M ⊂ Z äëÿ óðîâíÿ ïîãðåøíîñòè ε ∈ R+ è îêðåñòíîñòèïîãðåøíîñòè Oε ⊂ Yε , åñëè∆0 (ε, Rε , M, Oε ) =infR∈RHom(Z,U )×Yε∆0 (ε, R, M, Oε ).Àïîñòåðèîðíîé îöåíêîé ïîãðåøíîñòè íàçûâàåòñÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè,êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè ïîãðåøíîñòè ε. øåñòîé ãëàâå ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿïðèêëàäíîé îáðàòíîé çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ âåêòîðà ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ó íàìàãíè÷åííîãî òåëà.
 êà÷åñòâå èíôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè íàìàãíè÷åííîñòè âûñòóïàåò ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå òåëîì.Ìàãíèòíîå ïîëå ìåðÿåòñÿ âíå òåëà.  êà÷åñòâå ðåçóëüòàòà ðàñ÷¼òîâ ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè âûòÿíóòîãî òåëà.16 çàêëþ÷åíèè ïåðå÷èñëÿþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè. Ïðèâåä¼ì èõ. äèññåðòàöèè ðàññìîòðåíà ëèíåéíàÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à, â êîòîðîé èçâåñòíî ìíîæåñòâî àïðèîðíûõ îãðàíè÷åíèé è â êîòîðîé âõîäíûå äàííûå çàäàíû íåòî÷íî. Ýòîé çàäà÷å ñîïîñòàâëÿåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, è îáîñíîâûâàåòñÿ ñâÿçü ýòèõ çàäà÷.
Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèþ ê ëèíåéíûìîáðàòíûì çàäà÷àì.  ðàáîòå ïîëó÷åíî ìíîãî íîâûõ ðåçóëüòàòîâ ðàçëè÷íîãîïëàíà: îò ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì äî àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ÷àñòíûõ, ìîäåëüíûõ çàäà÷. Ãëàâíûìè ðåçóëüòàòàìè äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ ïîñòðîåíèåîïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà ðåøåíèÿ ëèíåéíîé îáðàòíîéçàäà÷è ñ èñòîêîïðåäñòàâèìûì ðåøåíèåì è ïðèìåíåíèå òåîðèè çàäà÷ îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ ê ðåøåíèþ ïðèêëàäíîé çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêè. Äëÿ äîñòèæåíèÿ ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ïîòðåáîâàëîñü ãëóáîêîå èññëåäîâàíèå òåîðèè è ðàçâèòèå àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷, ïîñêîëüêó òåîðèÿè àëãîðèòìû íå áûëè äîñòàòî÷íî ðàçâèòû.Ïðîäåìîíñòðèðîâàíà óíèâåðñàëüíîñòü Ïðèíöèïà Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ.
Îí èñïîëüçóåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå áîëüøèíñòâà òåîðåì â òàêèõ àñïåêòàõ, êàê êîíå÷íîìåðíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ çàäà÷èîïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ, èññëåäîâàíèå ñâÿçè èñõîäíîé çàäà÷è (ò.å. çàäà÷è â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå) ñ å¼ êîíå÷íîìåðíûì àíàëîãîì, ïîñòðîåíèå ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷ è çàäà÷ âãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî âîññòàíîâëåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå Ïðèíöèï Ëàãðàíæà ïîçâîëÿåò ðåøàòü áåç èñïîëüçîâàíèÿ êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè.Òàêæå áûëè ïîëó÷åíû òàêèå ðåçóëüòàòû, êàê1) äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ àññîöèèðîâàííîé çàäà÷è,2) àïîñòåðèîðíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåãóëÿðèçèðóþùåãî àëãîðèòìà,3) äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãîâîññòàíîâëåíèÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà.Ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ïðèìåíåíû ê ïðàêòè÷åñêèì çàäà÷àì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé öåëüþ ëþáîé òåîðèè.ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ[1] Engl H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
