Погружения графов в поверхности (1104454), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà âðàùåíèÿ, ñëåäóþùèå ïàðû êðèâûõ ãîìîòîïíûîòíîñèòåëüíî áàçèñíîé òî÷êèθ · ξ0 · θ−1 · X(p1 (ξ0 ))−1 ∼ hωX (ξ0 ,O,θ) ,(3.6)θ · ξt (1) · θ−1 · X(p1 (ξt (1)))−1 ∼ hωX (ξt (1),O,θ) ,(3.7)θ · ξt (0) · θ−1 · X(p1 (ξt (0)))−1 ∼ hωX (ξt (0),O,θ) ,(3.8)θ · ξ1 · θ−1 · X(p1 (ξ1 ))−1 ∼ hωX (ξ1 ,O,θ) .(3.9)Çàìåòèì, ÷òî êðèâûåξ0 · ξt (1) ∼ ξt (0) · ξ1èX(pM (ξ0 )) · X(pM (ξt (1))) ∼ X(pM (ξt (0))) · X(pM (ξ1 ))ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî êîíöîâ, à çíà÷èò êðèâûåθ · ξ0 · θ−1 · θ · ξt (1) · θ−1 · X(p1 (ξt (1)))−1 · X(p1 (ξ0 ))−1∼ θ · ξt (0) · θ−1 · θ · ξ1 · θ−1 · X(p1 (ξ1 ))−1 · X(p1 (ξt (0)))−1ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî áàçèñíîé òî÷êè.
Ðàññìîòðèì ñåðèþ ãîìîòîïèé îòíîñèòåëüíî áàçèñíîé òî÷êèθ · ξ0 · θ−1 · θ · ξt (1) · θ−1 · X(p1 (ξt (1)))−1 · X(p1 (ξ0 ))−1∼ θ · ξ0 · θ−1 · hωX (ξt (1),O,θ) · X(p1 (ξ0 ))−1∼ θ · ξ0 · θ−1 · X(p1 (ξ0 ))−1 · X(p1 (ξ0 )) · hωX (ξt (1),O,θ) · X(p1 (ξ0 ))−1∼ hωX (ξ0 ,O,θ) · X(p1 (ξ0 )) · hωX (ξt (1),O,θ) · X(p1 (ξ0 ))−1∼ hωX (ξ0 ,O,θ) · h−ωX (ξt (1),O,θ) .Ïîñëåäíÿÿ ãîìîòîïíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî çàìêíóòûé ïóòü pM (X(p1 (ξ0 ))) = pM (ξ0 )ìåíÿåò îðèåíòàöèþ. Àíàëîãè÷íîθ · ξt (0) · θ−1 · θ · ξ1 · θ−1 · X(p1 (ξ1 ))−1 · X(p1 (ξt (0)))−1∼ hωX (ξt (0),O,θ) · h−ωX (ξ1 ,O,θ) .Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîωX (ξ0 , O, θ) − ωX (ξt (1), O, θ) = ωX (ξt (0), O, θ) − ωX (ξ1 , O, θ).40Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî êðèâûå ξt (0) è ξt (1) ñîâïàäàþò.
Ëåììà 3.1 äîêàçàíà.Ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ îðèåíòèðîâàííîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèå (f0 , O0 ) â (f0 , −O0 ). Òî÷êà v ïðîõîäèò ïðè ýòîé ãîìîòîïèè íåêîòîðûé ïóòü δ , êîòîðûéìîæíî âûáðàòü ðåãóëÿðëíûì. Îïðåäåëèì âñïîìîãàòåëüíóþ ãîìîòîïèþ F±,t,0 , t ∈ [0, 1],ÿâëÿþùóþñÿ àíàëîãîì ñòàíäàðòíîé ãîìîòîïèè, ïðåîáðàçóþùåé íåêîòîðóþ êðèâóþ γ âêðèâóþ δ · γ · δ −1 .
Ïîëîæèì F±,0,0 = f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 . Íà åäèíñòâåííîì ðåáðå ei âíå îñòîâíîãî äåðåâà T âûäåëèì ñðåäíþþ òðåòü ẽi è îïðåäåëèì F±,t,0 íà ẽi êàê ðàâíîìåðíîå ðàñòÿãèâàíèåâäîëü F±,t,0 |ei . Çàìåòèì, ÷òî G \ ∪ẽi ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Äëÿ êàæäîé òî÷êè u ∈ G \ ẽi îïðåäåëèì ïóòü lu êàê íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿ ïóòü îò u äî âåðøèíû v âäîëü äåðåâà G \ ∪ẽi .Îïðåäåëèì F±,t,0 |T (u), t ∈ [0, 1], êàê ïóòü F±,0,0 |lu ·δ ·F±,0,0 |−1lu , ãäå êàæäûé èç ïóòåé F±,0,0 |lu ,δ , F±,0,0 |−1lu ïðîõîäèòñÿ çà òðåòü âðåìåíè. Ïóñòü u1 , u2 äâå òî÷êè îäíîãî ðåáðà ei , ãäå u1 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé, à u2 áëèæàéøàÿ ê íåé òî÷êà ẽi . Ïóñòü [u2 , u1 ] íåñàìîïåðåñåêàþùèéñÿïóòü, ñîåäèíÿþùèé u2 è u1 ïî ðåáðó ei .
Îïðåäåëèì F±,1,0 |[u2 ,u1 ] = F±,0,0 |lu1 · δ · F±,0,0 |−1lu .1Îïðåäåëèì ãîìîòîïèþ F±,t,0íà îòðåçêå [u2 , u1 ] êàê ïðåîáðàçîâàíèå èç f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 |[u2 ,u1 ] â−1F±,1,0 |[u2 ,u1 ] = F±,0,0 |lu1 · δ · F±,0,0 |−1lu âäîëü îáúåäèíÿþùåãî ïóòè F±,0,0 |lu2 · δ · F±,0,0 |lu .11Ãîìîòîïèÿ F±,t,0 íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé. Îíà ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ðåãóëÿðíóþãîìîòîïèåé â ìàëîé îêðåñòíîñòè îáðàçà. Òî÷íåå, ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ F±,t,s : G×[0, 1]×[0, 1] → M , ãäå t, s ∈ [0, 1], ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:• F±,0,s = f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 , s ∈ [0, 1],• F±,t,1 êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî, t ∈ [0, 1],• F±,1,1 |T = F±,1,0 |T ,• F±,t,s íå ïåðåñåêàåò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå F±,1,1 óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 .Âåðíåìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òîãî, ÷òî ÷èñëî Kf30 ,O0 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì.
Îáîçíà÷èì f˜+ =f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 è f˜− = f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 = F±,1,1 .2Kf30 ,O0 = dωX (f0 , O0 , f˜+ ) + dωX (f0 , O0 , f˜− )= ωX (f0 , O0 , θ) − ωX (f˜+ , O0 , θ) + ωX (f0 , O0 , θ) − ωX (f˜− , O0 , θ)XX−iX (xk )N (f0 , O0 , f˜+ , xk ) −iX (xk )N (f0 , O0 , f˜− , xk ).kk41Ãîìîòîïèÿ F±,t,1 , t ∈ [0, 1], ìåæäó êðèâûìè f+ è f− íå ïåðåñåêàåò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿX . Ñîãëàñíî ëåììå 3.1àωX (f˜+ , O0 , θ) + ωX (f˜− , O0 , θ) = 2ωX (ξt (v), O0 , θ),ãäå ξt,i (wi ) âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé F±,t,1 â òî÷êå v . Çàìåòèì, ÷òîN (f0 , O0 , f˜+ , xk ) + N (f0 , O0 , f˜− , xk )= 2N (f0 , O0 , f˜+ , xk ) + N (f˜+ , O0 , f˜− , xk ).Åñëè ó âåêòîðíîãî ïîëÿ X íåò íóëåé, òîXiX (xk )N (f˜+ , O0 , f˜− , xk ) = 0.(3.10)Ïóñòü ó âåêòîðíîãî ïîëÿ X åñòü íóëè, â ÷àñòíîñòè, M îòëè÷íî îò T 2 è Kl2 .
ÂûïîëíÿåòñÿN (f˜+ , O0 , f˜− , xk ) = N (f˜+ , O0 , F±,1,0 , xk ) + N (F±,1,0 , O0 , f˜− , xk ).Ãîìîòîïèÿ F±,1,u , u ∈ [0, 1], íå ïåðåñåêàåò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X , ñëåäîâàòåëüíîN (F±,1,0 , O0 , f˜− , xk ) = 0.Ïî ïîñòðîåíèþF±,1,0 = δ −1 · f˜+ · δ.Ãîìîòîïèþ ìåæäó f˜+ è F±,1,0 , ñîõðàíÿþùóþ òî÷êó f˜+ (v), ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îòîáðàæåíèå òîðà â ïîâåðõíîñòü M , ãäå îòîáðàæåíèå íà îáðàçóþùèõ òîðà ñîâïàäàåò ñ f˜+ è δ .Ñîãëàñíî Ëåììå 1.2, ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü òàê, ÷òî îáðàçîì áóäåòêðèâàÿ, à çíà÷èòN (f˜+ , O0 , F±,1,0 , xk ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå íàëè÷èÿ íóëåé ó X òàêæå âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 3.10. Ïîëó÷àåìKf30 ,O0 = ωX (f0 , O0 , θ)−ωX (ξt (v), O0 , θ) −XiX (xk )N (f0 , O0 , f˜+ , xk ).kÌû äîêàçàëè, ÷òîKf30 ,O0÷åòíî.423.5Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.3Ïóñòü (fs , Os ) è (fs , −Os ) íå ãîìîòîïíû. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè O1 , O2 , ÷òî îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 )ïðèíàäëåæàò F0 .Ïóñòü ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ, ïðåîáðàçóþùàÿ f1 â f2 .
Òîãäà îíà ïðåîáðàçóåò O1 â O2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 3.1 âûïîëíåíî invX,F0 (f1 , O1 ) = invX,F0 (f2 , O2 ), àçíà÷èò¨ X,F0 (f1 ) = {invX,F0 (f1 , O1 )} = {invX,F0 (f2 , O2 )} = inv¨ X,F0 (f2 ).inv¨ X,F0 (f1 ) = inv¨ X,F0 (f2 ). Òîãäà äëÿ íåêîòîðûõ ëîêàëüíûõ îðèåíòàÎáðàòíî, ïóñòü invöèé O1 , O2 âûïîëíåíî invX,F0 (f1 , O1 ) = invX,F0 (f2 , O2 ). Ïî òåîðåìå 3.1 îðèåíòèðîâàííûåêóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû.Ïóñòü òåïåðü (fs , Os ) è (fs , −Os ) ãîìîòîïíû.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ëîêàëüíóþîðèåíòàöèþ O1 â òî÷êå f1 (v).Ïóñòü f1 ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíî f2 . Òîãäà (f1 , O1 ) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíî (f2 , O2 ) äëÿ íåêîòîðîé ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè O2 â òî÷êå f2 (v). Ïî òåîðåìå 3.1 âûïîëíåíî invX,F0 (f1 , O1 ) =invX,F0 (f2 , O2 ). Ïî òåîðåìå 3.2 òàêæå âûïîëíåíî invX,F0 (f1 , −O1 ) = invX,F0 (f2 , −O2 ), àçíà÷èò¨ X,F0 (f1 ) = {invX,F0 (f1 , O1 ), invX,F0 (f1 , −O1 )}inv¨ X,F0 (f2 ).= {invX,F0 (f2 , O2 ), invX,F0 (f1 , −O1 )} = inv¨ X,F0 (f1 ) = inv¨ X,F0 (f2 ).
Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé ëîêàëüíîé îðèåíòàöèèÎáðàòíî, ïóñòü invO2 â òî÷êå f2 (v) âûïîëíåíîinvX,F0 (f1 , O1 ) = invX,F0 (f2 , O2 ),invX,F0 (f1 , −O1 ) = invX,F0 (f2 , −O2 ).Ïî òåîðåìå 3.1 îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) ðåóãëÿðíî ãîìîòîïíû, à çíà÷èò f1 è f2 ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû.¨ X,F0 . Òåîðåìà 3.3 äîêàçàíà.Èç ñþðúåêòèâíîñòè invX,F0 ñëåäóåò ñþðúåêòèâíîñòü inv434Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñêðó÷èâàíèé Äýíà4.1ÎïðåäåëåíèÿÏóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü.
Ðàññìîòðèì äâóñòîðîííþþ (ò.å. ñîõðàíÿþùóþ îðèåíòàöèþ) ïðîñòóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ γ íà M . Ñêðó÷èâàíèåì Äýíà [22] âäîëü γíàçûâàåòñÿ ãîìåîìîðôèçì M íà ñåáÿ, êîòîðûé åñòü ðåçóëüòàò ðàçðåçàíèÿ ïîâåðõíîñòè Mâäîëü γ , ñêðó÷èâàíèåì îäíîãî èç ïîëó÷åííûõ êîíöîâ íà 2π è ïðèêëåèâàíèåì îáðàòíî. Íîñèòåëü ãîìåîìîðôèçìà (ò.å. çàìûêàíèå ìíîæåñòâà òî÷åê, íå ÿâëÿþùèõñÿ íåïîäâèæíûìèòî÷êàìè ãîìåîìîðôèçìà) ëåæèò â öèëèíäðå, îñíîâàíèÿ êîòîðîãî ãîìîòîïíû γ êàê êðèâûåâ ýòîì öèëèíäðå.  êîîðäèíàòàõ (θ, h), θ ∈ [0; 2π], h ∈ [0; 1], íà öèëèíäðå ãîìåîìîðôèçìèìååò âèä (θ, h) 7→ (θ + 2πh, h).Äëÿ çàäàíèÿ ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà íåîáõîäèìà ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ â îêðåñòíîñòè êðèâîé γ .
Äëÿ äàííîé ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè ìîæíî âûáðàòü êîîðäèíàòû (θ, h), θ ∈ [0; 2π],h ∈ [0; 1], íà öèëèíäðå âîçëå êðèâîé γ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûìè. Ïðè çàìåíåëîêàëüíîé îðèåíòàöèè ïîñòðîåííîå òàêèì îáðàçîì ñêðó÷èâàíèå Äýíà áóäåò ìåíÿòüñÿ íàãîìîòîïíîå îáðàòíîìó.Ñêðó÷èâàíèå Äýíà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðîñòåéøèõ ãîìåîìîðôèçìîâ, íå ãîìîòîïíûõòîæäåñòâåííîìó (åñëè êðèâàÿ γ íå îãðàíè÷èâàåò íà ïîâåðõíîñòè M äèñê, öèëèíäð èëèëèñò Ìåáèóñà), ïîýòîìó îíî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ (ïîäðîáíåå ñì. [24]).Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàçäåëà òåîðåìà 4.1.  ñëó÷àå îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M îíÿâëÿåòñÿ óòî÷íåíèåì êëàññè÷åñêîãî, ñì.
[18], ëåììà 2.1(1), õîòÿ àâòîðó íå óäàëîñü íàéòèîïóáëèêîâàííîãî äîêàçàòåëüñòâà.  ñëó÷àå íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M ðåçóëüòàòíîâûé.4.2Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòàÎáîçíà÷èì ÷åðåç Homeo(M ; ∂M ) ïðîñòðàíñòâî ãîìåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòè M , òîæäåñòâåííûõ íà ∂M , à ÷åðåç Homeo0 (M ; ∂M ) ⊂ Homeo(M ; ∂M ) êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòèòîæäåñòâåííîãî ãîìåîìîðôèçìà â Homeo(M ; ∂M ). Ïóñòü πM := π f r (M ) t π(M, ∂M ), ãäåπ f r (M ) ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ ñâîáîäíûõ ïåòåëü, ò.å. ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé îêðóæíîñòè â M , à π(M, ∂M ) ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ ïóòåé â M ñ êîíöàìè íà ∂Mñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèé ñ ôèêñèðîâàííûìè êîíöàìè.Òåîðåìà 4.1.
Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü îòðèöàòåëüíîé ýéëåðîâîé44õàðàêòåðèñòèêè (îðèåíòèðóåìàÿ èëè íåò, ñ êðàåì èëè áåç). Ïóñòü {γi }ni=1 êîíå÷íûéíàáîð ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîñòûõ çàìêíóòûõ äâóñòîðîííèõ êðèâûõ â Int(M ),òàêîé ÷òî ëþáàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ (∪γi ) íå ÿâëÿåòñÿ íè îòêðûòûì äèñêîì, íè îòêðûòûì öèëèíäðîì, íè âíóòðåííîñòüþ ëèñòà Ìåáèóñà. Ïóñòütγi ∈ Homeo(M ; ∂M ) ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âäîëü êðèâûõ γi . Òîãäà1) êëàññû [tγi ] ∈ Homeo(M ; ∂M )/Homeo0 (M ; ∂M ) ýòèõ ãîìåîìîðôèçìîâ ïîðîæäàþòïîäãðóïïó, èçîìîðôíóþ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïå ðàíãà, ðàâíîãî êîëè÷åñòâó êðèâûõ;2) ëþáàÿ íåòîæäåñòâåííàÿ êîìïîçèöèÿ öåëûõ ñòåïåíåé óêàçàííûõ ãîìåîìîðôèçìîâíåòðèâèàëüíî äåéñòâóåò íà ïðîñòðàíñòâå πM ;3) ñóùåñòâóåò íàáîð ïðîñòûõ êðèâûõ γ̂i , 1 ≤ i ≤ n, êëàññîâ [γ̂i ] ∈ πM òàêîé, ÷òîêðèâûå γi è γ̂j íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè i 6= j è êðèâûå γ̂i è tkγi γ̂i íå ãîìîòîïíû ïðè ëþáîìk 6= 0.Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäàÿ êðèâàÿ γi , ãîìîòîïíàÿ êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè êðàÿ,âñÿ ïðîõîäèò ïî êðàþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
