Погружения графов в поверхности (1104454), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Åñëè (fs , Os ) è (fs , −Os ) íå ãîìîòîïíû, òî ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿO1 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, ñëåäîâàòåëüíî!Y¨ X,F0 : [F0 ]] →invSdeg(u)−1 × Z|Co | × Z|Cn | /2Z ,M 6= S 2 .u∈GÅñëè (fs , Os ) è (fs , −Os ) ãîìîòîïíû, òî çíà÷åíèÿ invX,F0 (f1 , O1 ) è invX,F0 (f1 , −O1 ) ñî-¨ X,F0 (f1 ), ñëåäîâàòåëüíîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå çíà÷åíèþ èíâàðèàíòà inv!!Y¨ X,F0 : [F0 ]] →invSdeg(u)−1 × Z|Co | × Z|Cn | /2Z /Z2 ,M 6= S 2 ,u∈Gãäå äåéñòâèå ãðóïïû Z2 îòîæäåñòâëÿåò çíà÷åíèÿ invX,F0 (f1 , O1 ) è invX,F0 (f1 , −O1 ), ñâÿçàííûå ôîðìóëàìè èç òåîðåìû 3.2. ñëó÷àå M = S 2 îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèå (fs , Os ) íå ãîìîòîïíî (fs , −Os ), è!¨ X,F0 : [f0 ] →invYSdeg(u)−1|C |× Z2 o ,M = S 2.u∈GÒåîðåìà 3.3. Ïóñòü M , G, T , X , F0 , f1 , f2 , êàê â òåîðåìå 3.1. Ïóñòü îòîáðàæåíèÿf1 è f2 ãîìîòîïíû. Òîãäà f1 è f2 ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäਠX,F0 (f1 ) = inv¨ X,F0 (f2 ).
Îòîáðàæåíèå inv¨ X,F0 ñþðúåêòèâíî.inv34Ñëåäñòâèå 3.1. Ïóñòü M , G, T , X , F0 êàê â òåîðåìå 3.1, è ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûìöèêëîì. Ïóñòü (f0 , O0 ) ïðîèçâîëüíîå îðèåíòèðîâàííîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå ïîãðóæåíèå¨ X,F0 èìåþò ñëåäóþùèå îáðàçûèç áàçèñíîãî íàáîðà F0 . Òîãäà îòîáðàæåíèÿ invX,F0 è invâ êàæäîì èç ñëó÷àåâ A, B, C, D:A M = S2Im(invX,F0 ) = Z2 ,¨ X,F0 ) = Z2 ,Im(invB M 6= S 2 , êðèâàÿ f0 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, (f0 , O0 ) ãîìîòîïíî (f0 , −O0 )Im(invX,F0 ) = Z,¨ X,F0 ) = Z2 ,Im(invC M 6= S 2 , êðèâàÿ f0 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, (f0 , O0 ) íå ãîìîòîïíî (f0 , −O0 )¨ X,F0 ) = Z≥K 2 ,Im(invf ,OIm(invX,F0 ) = Z,00ãäå Z≥Kf2 ,O ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë íå ìåíüøèõ Kf20 ,O0 ,00D M 6= S 2 , êðèâàÿ f0 ìåíÿåò îðèåíòàöèþIm(invX,F0 ) = Z2 ,3.3¨ X,F0 ) = Z2 .Im(invÄîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.1Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî îòîáðàæåíèÿ (f, O) ñ çàäàííûìçíà÷åíèåì èíâàðèàíòà invX,F0 (f, O) äîñòàòî÷íî äîáàâèòü ê ïîãðóæåíèþ finv1 (f,O) íåñêîëüêî ìàëåíüêèõ ïåòåëü íà êàæäîì ðåáðå ei .
Êàæäàÿ ìàëåíüêàÿ ïåòëÿ óâåëè÷èâàåò èëè2,ióìåíüøàåò íà 1, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå invX,F(f, O)03,ièëè invX,F(f, O), íå èçìåíÿÿ îñòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå èíâàðèàíòà. Òàêèì îáðàçîì, îòîá0ðàæåíèå inv ñþðúåêòèâíî.Èç ëþáîãî èç äâóõ ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèé: ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü îðèåíòèðîâàííûõ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) èëè ðàâåíñòâîinvX,F0 (f1 , O1 ) = invX,F0 (f2 , O2 ),ñëåäóåò ðàâåíñòâî11invX,F(f1 , O1 ) = invX,F(f2 , O2 ).00Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâàdωX (finv1 (f1 ,O1 ) |Ci , O(f1 ,O1 ),wi , f1 |Ci , O1f1 ,wi )35= dωX (finv1 (f2 ,O2 ) |Ci , O(f2 ,O2 ),wi , f2 |Ci , O1f2 ,wi ),dωX (finv1 (f1 ,O1 ) |Ci , O(f1 ,O1 ),wi , f˜f1 ,O1 ,F0 |Ci )= dωX (finv1 (f2 ,O2 ) |Ci , O(f2 ,O2 ),wi , f˜f2 ,O2 ,F0 |Ci )ýêâèâàëåíòíûdωX (f1 |Ci , O1f1 ,wi , f2 |Ci , O2f2 ,wi ) = 0,dωX (f˜f1 ,O1 ,F0 |Ci , O(f1 ,O1 ),wi , f˜f2 ,O2 ,F0 |Ci ) = 0.Çàìåòèì, ÷òîf˜f1 ,O1 ,F0 |T ≡ f˜f2 ,O2 ,F0 |T ≡ finv1 (f1 ,O1 ) |T .Îðèåíòèðîâàííîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå ïîãðóæåíèå (f˜f2 ,O2 ,F0 , O0 ) ïîëó÷åíî èç (f2 , O2 ) ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèåé f2,t , t ∈ [0, 1].
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþ ãîìîòîïèþîðèåíòèðîâàííîãî ïîãðóæåíèÿ (f˜f1 ,O1 ,F0 , O0 ), îãðàíè÷åíèå êîòîðîé íà äåðåâî T ñîâïàäàåòñ ãîìîòîïèåé f2,t |T , ãäå t ìåíÿåòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, îò 1 äî 0.  ðåçóëüòàòå ýòîé ãîìîòîïèè ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 . Òàê êàê ðåãóëÿðíûå ãîìîòîïèè èç (f˜f1 ,O1 ,F0 , O0 )â (f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 , O2 ) è èç (f˜f2 ,O2 ,F0 , O0 ) â (f2 , O2 ) ñîâïàäàþò íà äåðåâå T , òî ïðè êàæäîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà ãîìîòîïèé îïðåäåëåíî ÷èñëî dωX äëÿ îãðàíè÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðûïîãðóæåíèé íà Ci .
Òàêèì îáðàçîì,dωX (f˜f1 ,O1 ,F0 |Ci , O(f1 ,O1 ),wi , f˜f2 ,O2 ,F0 |Ci ) = dωX (f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 |Ci , O2f2 ,wi , f2 |Ci ),à çíà÷èò ðàâåíñòâîdωX (f˜f1 ,O1 ,F0 |Ci , O(f1 ,O1 ),wi , f˜f2 ,O2 ,F0 |Ci ) = 0ýêâèâàëåíòíîdωX (f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 |Ci , O2f2 ,wi , f2 |Ci ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ìû ñâåëè òåîðåìó 3.1 ê Òåîðåìå 2.2.3.4Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.2Ïóñòü â ãðàôå åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå ìåíåå 3. Óñëîâèå (3.1) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîöèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè â êàæäîé âåðøèíå ïðè îòîáðàæåíèè f1 îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíûõîðèåíòàöèé O1 è −O1 ïðîòèâîïîëîæíû.Äîêàæåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (3.2). Çàìåòèì, ÷òîf1inv (f1 ,−O1 )O(f1 ,−O1 ),wi = Oinv1 (f ,−O )11,wif1−inv (f1 ,O1 )= O−inv1 (f ,O )1136,wif1inv (f1 ,O1 )= −Oinv1 (f ,O )11,wi= −O(f1 ,O1 ),wi .Ñëåäîâàòåëüíî2,iinvX,F(f1 , −O1 ) = dωX (finv1 (f1 ,−O1 ) |Ci , O(f1 ,−O1 ) , f1 |Ci , −O1f1 ,wi )02,i= dωX (finv1 (f1 ,O1 ) |Ci , −O(f1 ,O1 ) , f1 |Ci , −O1f1 ,wi ) = −invX,F(f1 , O1 ).0Äîêàæåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (3.3).
Çàìåòèì, ÷òîf˜f1 ,−O1 ,F0 = f˜f1 ,−O1 ,finv1 (f1 ,−O1 )= f˜f1 ,O1 ,finv1 (f,Oinv1 (f1 ,−O1 )1 ,O1 ),Oinv1 (f= f˜f1 ,−O1 ,finv1 (f1 ,O1 )1 ,O1 ),−Oinv1 (f1 ,O1 )= f˜f1 ,−O1 ,F0 .Ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ ïåðåâîäèò(f1 , −O1 ) â (f˜f1 ,−O1 ,finv1 (f1 ,O1 ),−Oinv1 (f1 ,O1 ), −Oinv1 (f1 ,O1 ) ), òî îíà ïîäõîäèò è ïîä îïðåäåëåíèåãîìîòîïèè, ïåðåâîäÿùåé (f1 , O1 ) â (f˜f1 ,O1 ,finv1 (f1 ,O1 ),Oinv1 (f1 ,O1 ), Oinv1 (f1 ,O1 ) ) (ïîñëå çàáûâàíèÿëîêàëüíûõ îðèåíòàöèé ó êàæäîé ãîìîòîïèè).Ïóñòü ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì è f0 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.
Äîêàæåìâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (3.4).2,iinvX,F(f1 , −O1 ) = dωX (f0 , O0 , f1 , −O1 )0= ωX (f0 , O0 ) − ωX (f1 , −O1 ) −XiX (xk )N (f0 , O0 , f1 , −O1 , xk ).kÇàìåòèì, ÷òîωX (f1 , −O1 ) = −ωX (f1 , O1 )èN (f0 , O0 , f1 , −O1 , xk )= N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ) + N (f0 , −O0 , f1 , −O1 , xk )= N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ) − N (f0 , O0 , f1 , O1 , xk ),îòêóäà2,i(f1 , −O1 ) = −dωX (f0 , O0 , f1 , O1 )invX,F0X+2ωX (f0 , O0 ) −iX (xk )N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ).k×èñëî N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ) îïðåäåëåíî, òàê êàê (f1 , O1 ) ãîìîòîïíî (f1 , −O1 ), à çíà÷èò(f0 , O0 ) ãîìîòîïíî (f0 , −O0 ).
ÎïðåäåëèìKf20 ,O0 = ωX (f0 , O0 ) −1XiX (xk )N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ).2 k37(3.5)Ïîêàæåì, ÷òî Kf20 ,O0 ∈ Z, òî åñòüPk iX (xk )N (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk )÷åòíî. Åñëè ó âåêòîð-íîãî ïîëÿ X íåò íóëåé, òî ñóììà íå ñîäåðæèò ñëàãàåìûõ è ðàâíà íóëþ. Åñëè M = S 2 ,òî ñóììà îïóñêàåòñÿ â îïðåäåëåíèè ÷èñëà dωX . Ïóñòü M 6= S 2 è ó X åñòü íóëè, â ÷àñòíîñòè, M îòëè÷íî îò T 2 è Kl2 . Ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ, ïðåîáðàçóþùàÿ êðèâóþ f0 â ñåáÿ,íî ìåíÿþùàÿ îðèåíòàöèþ â òî÷êå f0 (v). Ïóñòü îáðàç òî÷êè v ïðîõîäèò ïðè ãîìîòîïèèïóòü δ . Òîãäà êðèâûå f0 è δ · f0 · δ −1 ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî áàçèñíîé òî÷êè.
Ñîãëàñíî Ëåììå 3.1, êðèâûå δ è f0 ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî áàçèñíîé òî÷êè öåëûì ñòåïåíÿìîäíîé êðèâîé: δ ∼ am , f0 ∼ an . Êðèâàÿ δ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, ñëåäîâàòåëüíî a ìåíÿåòîðèåíòàöèþ. Êðèâàÿ f0 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, ñëåäîâàòåëüíî n ÷åòíî. Çàìåòèì, ÷òîN (f0 , O0 , f0 , −O0 , xk ) = N (f0 , O0 , an , O0 , xk )+N (an , O0 , an , −O0 , xk ) + N (an , −O0 , f0 , −O0 , xk ).Êðèâóþ an ìîæíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü â ñåáÿ ïðîêðó÷èâàÿ âäîëü ñåáÿ, ò.å.
áåðÿ êîìïîçèöèþ ñ âðàùåíèåì ïðîîáðàçà. Òàêàÿ ãîìîòîïèÿ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ â îáðàçå òî÷êè vè íå ïåðåñåêàåò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X , ñëåäîâàòåëüíîN (an , O0 , an , −O0 , xk ) = 0.Çàìåòèì, ÷òîN (an , −O0 , f0 , −O0 , xk ) = −N (f0 , −O0 , an , −O0 , xk )= N (f0 , O0 , an , O0 , xk ).ÑëåäîâàòåëüíîKf20 ,O0 = ωX (f0 , O0 ) −XiX (xk )N (f0 , O0 , an , O0 , xk ).kÌîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå çíà÷åíèå Kf20 ,O0 , äîáàâëÿÿ ìàëåíüêèå ïåòëè ê f0 . Êàæäàÿ ïåòëÿóâåëè÷èâàåò èëè óìåíüøàåò ωX (f0 , O0 ) íà åäèíèöó â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ è íåPìåíÿåò k iX (xk )N (f0 , O0 , an , O0 , xk ).
Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (3.4) äîêàçàíî.Ïóñòü ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì è f0 ìåíÿåò îðèåíòàöèþ. Äîêàæåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (3.3). Îïðåäåëèì ÷èñëîKf30 ,O0 = dωX (f0 , O0 , f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 ) + dωX (f0 , O0 , f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 ).Òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî Kf30 ,O0 ÷åòíîå.38Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì (f1 , O1 ) ÷åòíîñòü ÷èñëà Kf30 ,O0 íå çàâè(1)ñèò îò âûáîðà f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 è f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 . Ðàññìîòðèì äâà ïðîèçâîëüíûõ ïîãðóæåíèÿ f˜+ ,(2)(1)(2)f˜+ , óäîâëåòâîðÿþùèõ îïðåäåëåíèþ f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 , à òàêæå äâà ïîãðóæåíèÿ f˜− , f˜− , óäî-âëåòâîðÿþùèõ îïðåäåëåíèþ f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 . Ðàññìîòðèì ÷èñëà Kf30 ,O0 , îïðåäåëåííûå ïî ýòèìîòîáðàæåíèÿì:3,(1)(1)(1)Kf0 ,O0 = dωX (f0 , O0 , f˜+ ) + dωX (f0 , O0 , f˜− ),3,(2)(2)(2)Kf0 ,O0 = dωX (f0 , O0 , f˜+ ) + dωX (f0 , O0 , f˜− ).Ðàññìîòðèì èõ ðàçíîñòü3,(2)3,(1)(2)(1)Kf0 ,O0 − 2Kf0 ,O0 = dωX (f0 , O0 , f˜+ ) − dωX (f0 , O0 , f˜+ )(2)(1)+dωX (f0 , O0 , f˜− ) − dωX (f0 , O0 , f˜− )(1)(2)(1)(2)= dωX (f˜+ , O0 , f˜+ ) + dωX (f˜− , O0 , f˜− ).Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ(1)(2)(f+ , O0 ) è (f+ , O0 ) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû.
Èç Òåîðåìû 2.2 ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëà(1)(2)dωX (f+ , O0 , f˜+ ),(1)(2)dωX (f− , O0 , f˜− )÷åòíû. Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü ÷èñëà Kf30 ,O0 íå çàâèñèò îò âûáîðà f˜f1 ,O1 ,f0 ,O0 è f˜f1 ,−O1 ,f0 ,O0 .Äàëåå íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà, ÿâëÿþùàÿñÿ ðàññìîòðåíèåì äîïîëíèòåëüíîãî ñëó÷àÿ ê Ëåììå 1.5.Ëåììà 3.1.
Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ïàâåðõíîñòü, pM : T M → M êàñàòåëüíîå ðàñ-ñëîåíèå. Ïóñòü íà M çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå X ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì íóëåé, è ðåãóëÿðíàÿãîìîòîïèÿ ξt , t ∈ [0, 1], êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ îòîáðàæåíèé ξ0 , ξ1 : S 1 → T M , ãäå pM ◦ ξt íåïðîõîäèò ÷åðåç íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Ïóñòü pM ◦ ξi , i = 0, 1, ìåíÿþò îðèåíòàöèþ,âûïîëíåíî ξ0 (0) = ξ1 (0), è ïóòü pM ◦ ξt (0), t ∈ [0, 1], ìåíÿåò îðèåíòàöèþ. Ïóñòü çàäàíûïðîèçâîëüíàÿ ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ O â òî÷êå x0 = pM (ξ0 (0)) è ïóòü θ : [0, 1] → T 1 M âñëîå p−1M,1 (x0 ), θ(0) = p1 (X(x0 )), θ(1) = p1 (ξ(0)). ÒîãäàωX (ξ0 , O, θ) + ωX (ξ1 , O, θ) = 2ωX (ξt (0), O, θ).1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h = p−1M,1 (x0 ) ñëîé åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T Míàä òî÷êîé x0 ñ îðèåíòàöèåé, çàäàííîé ëîêàëüíîé îðèåíòàöèåé O è íà÷àëüíîé òî÷êîé39p1 (X(x0 )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
