Погружения графов в поверхности (1104454), страница 6
Текст из файла (страница 6)
 ñëó÷àå M = S 2 ðàâåíñòâî íóëþ ïî ìîäóëþ 2 ñëåäóåò èç iX (xk ) =2. ×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî âûðàæåíèÿ íóëþ â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, äîêàæåì, ÷òî äëÿêàæäîãî íóëÿ xk âåêòîðíîãî ïîëÿ X âûïîëíåíî−2N (ht (wi ), O2,i , ht (wj ), O2,j , xk )+N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk ) − N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk )−N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), xk ) + N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), xk ) = 0.Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ÷åòíîñòè dωX , ïîêàæåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ðàâíî ñòåïåíè íåêîòîðîãî îòîáðàæåíèÿ òîðà â M̃ . Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ÷åòíîñòè dωX , ðàçíîñòèN (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , ht (wi ), xk ) − N (f˜1 |Ci , O2,i , f2 |Ci , f2 (wi ), xk ),N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , ht (wj ), xk ) − N (f˜1 |Cj , O2,j , f2 |Cj , f2 (wj ), xk )(1)(2)ðàâíû ñóììàì ñòåïåíåé îòîáðàæåíèé z̃i,1 è z̃j,1 â òî÷êàõ x̃k è x̃k .
×èñëî−2N (ht (wi ), O2,i , ht (wj ), O2,j , xk )(1)(2)(1)ðàâíî ñóììå ñòåïåíåé îòîáðàæåíèé h̃t |V è h̃t |V , ãäå íà öèëèíäðå â ïðîîáðàçå h̃t |V îðèåíòàöèÿ ïðîòèâîïîëîæíà òîé, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ãîìîòîïèåé. Îáúåäèíåíèå îòîáðàæåíèé(2)(1)z̃i,1 , h̃t |V , z̃j,1 è h̃t |V çàäàåò îòîáðàæåíèå òîðà, ÷òî äîêàçûâàåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.242.5Äîñòàòî÷íîñòü â Òåîðåìå 2.2Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèé 1-4 ñëåäóåò ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü îòîáðàæåíèé. Ñíà÷àëà(1)ðàññìîòðèì ñëó÷àé M = S 2 . Ïðîãîìîòîïèðóåì îòîáðàæåíèå f1 â f1òàê, ÷òîáû äëÿ êàæ-(1)äîãî îïîðíîãî öèêëà âûïîëíÿëîñü ωX (f1 |Ci , OM ) = ωX (f2 |Ci , OM ) äëÿ íåêîòîðîé îðèåíòàöèè OM íà M .
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîíåñòè f1 |Ci ÷åðåç òî÷êó x íóæíîå ÷èñëî ðàç,êàæäûé ðàç ìåíÿÿ ÷èñëî ωX íà 2. Ïîñëå ýòîãî èç ñôåðû ìîæíî óäàëèòü îêðåñòíîñòüòî÷êè x è ñâåñòè òåîðåìó ê ñëó÷àþ ïëîñêîñòè, ðàçîáðàííîìó â [12].Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü M îòëè÷íà îò ñôåðû. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îòîáðàæåíèÿ g : G → M âìåñòå ñ ëîêàëüíîé îðèåíòàöèåé Og(v) â òî÷êå g(v). Ïàðû (g1 , O1,g1 (v) ) è(g2 , O2,g2 (v) ) ãîìîòîïíû åñëè ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ g1 â g2 è O1,g1 (v) â O2,g2 (v) .(0)Ñíà÷àëà ïðîâåäåì ðåãóëÿðíóþ ãîìîòîïèþ ïàðû (f1 , O1,f1 (v) ) â (f1 , O1,f (0) (v) ), òàêóþ ÷òîáû1âûïîëíÿëîñü(0)f1 (v)(0)= f2 (v) è O1,f (0) (v) = O2,f2 (v) . Ñîãëàñíî óñëîâèþ 1, ïàðû (f1 , O1,f1 (v) )1è (f2 , O2,f2 (v) ) ãîìîòîïíû. Ïóñòü îáðàç âåðøèíû v ïðîõîäèò ïðè ãîìîòîïèè ïåðåâîäÿùåé(0)f1â f2 ïóòü δ .
Òîãäà δ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, è äëÿ êàæäîãî áàçèñíîãî îïîðíîãî öèêëà(0)Či ïåòëè f1 |Či è δ −1 · f2 |Či · δ ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî f2 (v). Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíóþ(0)(1)ðåãóëÿðíóþ ãîìîòîïèþ ïàðû (f1 , O1,f (0) (v) ) â (f1 , O1,f (1) (v) ), ïðè êîòîðîé âåðøèíà v ïðî11(1)õîäèò ïóòü δ .  ðåçóëüòàòå äëÿ êàæäîãî áàçèñíîãî îïîðíîãî öèêëà Či ïåòëè f1 |Či è f2 |Čiãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî f2 (v).(1)(2)Ïðîâåäåì ðåãóëÿðíóþ ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèÿ f1 â f1 îòíîñèòåëüíî òî÷êè v , ÷òîáû(2)f1 |T ñîâïàäàëî ñ f2 |T . Ñîãëàñíî óñëîâèþ 4, ÷èñëî(2)dωX (f1 |Ci , O2,f2 (v) , f2 |Ci , f2 (wi ), f2 |0Ci (wi ))îäèíàêîâî è ÷åòíî äëÿ âñåõ îïîðíûõ öèêëîâ Ci , ìåíÿþùõ îðèåíòàöèþ.Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ìåòðèêó íà ïîâåðõíîñòè M . Ðàññìîòðèì çàìêíóòûå äèñêèD0 , D1 è D2 ìàëåíüêèõ ðàäèóñîâ ε/2, ε è 2ε ñîîòâåòñòâåííî ñ öåíòðàìè â òî÷êå Q =f2 (v).
Ñ÷èòàåì, ÷òî D2 íå ñîäåðæèò íóëåé âåêòîðíîãî ïîëÿ X . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèåfT : T → M , îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:• îòîáðàæåíèå fT êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî è èíúåêòèâíî,• ImfT ⊂ D0 ,• fT (v) = Q, âñå îñòàëüíûå âåðøèíû ãðàôà T ïîïàäàþò ïðè îòîáðàæåíèè fT íà ãðóíèöó ∂D0 ,25• öèêëè÷åñêèå ïîðÿäêè ðåáåð â êàæäîé âåðøèíå ïðè îòîáðàæåíèÿõ fT , f1 è f2 ñîâïàäàþò.Çàôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ OD íà D2 , ñîãëàñîâàííóþ ñ O2,f2 (v) .(2)Ïðîâåäåì êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ãîìîòîïèè îòîáðàæåíèé f1 è f2 , â ðåçóëüòàòå êîòîðûõîãðàíè÷åíèÿ îòîáðàæåíèé íà äåðåâî T ñîâïàäåò ñ fT . Äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîñòè òàêàÿ ãîìîòîïèÿ îïèñàíà â [12] (òàì âñå âåðøèíû ëåæàò íà ãðàíèöå äèñêà, çäåñü âåðøèíà v áóäåòíàõîäèòüñÿ â öåíòðå äèñêà), íà ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè ïîñòðîåíèå íå îòëè÷àåòñÿ.
Äàëåå íà êàæäîì ðåáðå ei ïðîâåäåì ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèé òàê, ÷òîáû êðàÿ ðåáðà øëè ïîðàäèóñó îò ∂D0 äî ∂D1 , à îñòàëüíàÿ ÷àñòü áûëà âíå D1 . Ïîëó÷åííûå îòîáðàæåíèÿ îáî(3)çíà÷èì f1(3)è f2 . Ãîìîòîïèè ìîæíî ïðîâåñòè ñîâïàäàþùèìè íà T è òàê, ÷òîáû îáðàçûîòîáðàæåíèé íå ñîäåðæàëè íóëåé âåêòîðíîãî ïîëÿ X . ×èñëà dωX äëÿ ïàð îòîáðàæåíèé(3)(3)(2)f1 |Ci , f2 |Ci áóäóò òàêèìè æå, êàê äëÿ ïàð f1 |Ci , f2 |Ci òàê êàê îíè öåëûå è íåïåðåðûâíîìåíÿþòñÿ ïðè ãîìîòîïèè.Åñëè ñðåäè îïîðíûõ öèêëîâ f1 |Ci åñòü ìåíÿþùèå îðèåíòàöèþ, òî ïðîâåäåì äîïîëíèòåëüíóþ ãîìîòîïèþ.
Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì èçîòîïèþ Iu , u ∈ [0, 1], òîæäåñòâåííîãî àâòîìîðôèçìà M â ñòåïåíü ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âîêðóã òî÷êè v . Ïîëîæèì àâòîìîðôèçì Iuòîæäåñòâåííûì íà M \ D2 , íà äèñêå D0 çàäàäèì Iu |D0 âðàùåíèåì äèñêà íà óãîë1(3)(3)(3)(3)2πu · dωX (f1 |Ci , OD , f2 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))2â ïîëîæèòåëüíîì îòíîñèòåëüíî OD íàïðàâëåíèè. Ñîãëàñíî óñëîâèþ 4, ýòî ÷èñëî íå çàâèñèò îò îïîðíîãî öèêëà Ci , ìåíÿþùåãî îðèåíòàöèþ, à çíà÷èò Iu îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.
Íàöèëèíäð D2 \D1 èçîòîïèþ Iu ïðîäîëæèì íåïðåðûâíî è ëèíåéíî â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.Ñîãëàñíî ëåììå 1.5 âûïîëíåíî(3)(3)(3)(3)dωX (I0 ◦ f1 |Ci , OD , I1 ◦ f1 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))(3)(3)= 2ωX (hIu ◦ f1 (wi ), (Iu ◦ f1 |Ci )0 (wi )i).(3)(3)(3)(3)Ïî ïîñòðîåíèþ Iu , ýòî ÷èñëî ðàâíî dωX (f1 |Ci , OD , f2 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi )). Çàìåòèì,÷òî(3)(3)(3)(3)dωX (I1 ◦ f1 |Ci , OD , f2 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)= dωX (I0 ◦ f1 |Ci , OD , f2 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))(3)−dωX (I0 ◦ f1 |Ci , OD , I1 ◦ f1 |Ci , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi )) = 026(4)äëÿ êàæäîãî îïîðíîãî öèêëà Ci , ìåíÿþùåãî îðèåíòàöèþ. Îáîçíà÷èì f1(4)f2=(3)f2 .(3)= I1 ◦ f1è ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ â ãðàôå ïðîñòûõ îïîðíûõ öèêëîâ, ìåíÿþùèõ îðèåíòàöèþ,(4)(3)ïîëîæèì f1 = f1 .Äëÿ êàæäîãî îïîðíîãî öèêëà Ci ïîñòðîèì íåêîòîðóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ãîìîòîïèþ.(4)Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f1,i : Ci → M , ñîâïàäàþùåå ñ f1âíå ïðîîáðàçà äèñêà D1 , à íàïðîîáðàçå D1 (ò.å.
íà íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ó÷àñòêå öèêëà) èäóùåå ïî ðàäèóñó èç öåíòðà(4)äèñêà. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f2,i : Ci → M ïî îòîáðàæåíèþ f2 . Çàìåòèì,(4)÷òî îòîáðàæåíèå f1,i ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ f1 |Ci è f2,i ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíî(4)îòîáðàæåíèþ f2 |Ci , ïðè÷åì ãîìîòîïèÿ îáùàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè wi . Çíà÷èò(4)(4)dωX (f1,i , OD , f2i , OD ) = dωX (f1 |Ci , OD , f2 |Ci , OD )åñëè f1,i ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, è(4)(4)(4)(4)0dωX (f1,i , OD , f2,i , f1,i (wi ), f1,i(wi )) = dωX (f1 |Ci , OD , f2 |Ci , f1 |Ci , f1 |0Ci (wi ))åñëè f1,i ìåíÿåò îðèåíòàöèþ.Ðàññìîòðèì ìàëåíüêèé äèñê Db ⊂ D0 , ñîäåðæàùèé òî÷êó Q íà ñâîåé ãðàíèöå, äëÿêîòîðîãî Int(Db ) ∩ f1,i (Ci ) = ∅. Çàìåòèì, ÷òî êðèâûå f1,i è f2,i èäóò èç öåíòðà Q ïî îäíîé(4)è òîé æå ïàðå ðàäèóñîâ, ïîýòîìó Int(Db ) ∩ f2,i (Ci ) = ∅.
Îòîáðàæåíèå f1ìîæíî çàðàíåå(4)ðåãóëÿðíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü òàê, ÷òîáû ãîìîòîïèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà (f1 )−1 (D1 ), èîòîáðàæåíèÿ f1,i è f2,i áûëè ãîìîòîïíû â M \ (IntDb ∪ {x}) (èëè â M \ IntDb åñëè ó X íåòíóëåé) îòíîñèòåëüíî Q, ò.å. çàäàâàëè ñîâïàäàþùèå ýëåìåíòû ãðóïïû π1 (M \ IntDb ; Q). Òî00ãäà ωX (f1,i , OD , f1,i (wi ), f1,i(wi )) = ωX (f2,i , OD , f2,i (wi ), f2,i(wi )), è ñîãëàñíî [3], Òåîðåìà 3.1,ïîëó÷åííûå îòîáðàæåíèÿ áóäóò êóñî÷íî-ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî òî÷êè Q âïîâåðõíîñòè M \ (IntDb ∪ {x}) (èëè â M \ IntDb ).
Ðàññìîòðèì ýòó êóñî÷íî-ðåãóëÿðíóþãîìîòîïèþ ft , 0 ≤ t ≤ 1. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ïåðåñåêàåò òî÷êó Q òîëüêî â îáðàçàõâåðøèíû v .Îïðåäåëèì ãîìîòîïèþ Pt γ äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîé êðèâîéγ : [0, 1] → M , γ(0) = γ(1) = Q, äëÿ êîòîðîé γ(u) 6= Q, u ∈ (0, 1).
Çäåñü Pt ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì, äåéñòâóþùèì íà ïðîñòðàíñòâå óêàçàííûõ êðèâûõ γ . Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ãîìîòîïèþ P̃t γ îòîáðàæåíèÿ γ|(0,1) . Äëÿ êàæäîé òî÷êè u ∈ γ −1 (M \ D2 ), ïîëîæèì P̃t γ(u) = γ(u),t ∈ [0, 1]. Äëÿ êàæäîé òî÷êè u ∈ γ −1 (D2 \ Q) îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå îò γ(u) äî òî÷êè Q÷åðåç r(u), 0 < r(u) ≤ 2ε. Ïîëîæèì P̃t γ(u) ðàâíûì òî÷êå â D2 , ëåæàùåé íà ëó÷å èç òî÷êè Q â íàïðàâëåíèè γ(u) íà ðàññòîÿíèè 2ε − (2ε − r(u))(1 − 0.5t). Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà27P̃t γ(u) äâèæåòñÿ â äèñêå D2 ëèíåéíî ïî t, ïðè t = 0 ñîâïàäàåò ñ γ(u), à ïðè t = 1 ëåæèòíà ðàññòîÿíèè áîëåå ε îò öåíòðà Q, ò.å. P̃1 γ(u) ∈ D2 \ D1 . Òåïåðü ïîñòðîèì ãîìîòîïèþPt γ îòîáðàæåíèÿ γ . Ïîëîæèì Pt γ(0) = Pt γ(1) = Q. Ïðè 0 < u < t/4 ïîëîæèì Pt γ(u)ðàâíûì òî÷êå íà ðàññòîÿíèè 4εu îò òî÷êè O â íàïðàâëåíèè êàñàòåëüíîãî âåêòîðà êðèâîéγ â òî÷êå 0.
Ïðè 1 − t/4 < u < 1 ïîëîæèì Pt γ(u) ðàâíûì òî÷êå íà ðàññòîÿíèè 4ε(1 − u) îòòî÷êè Q â íàïðàâëåíèè êàñàòåëüíîãî âåêòîðà êðèâîé γ â òî÷êå 1. Ïðè t/4 < u < 1 − t/4ïîëîæèì Pt γ(u) = P̃t γ( u−t/4). Ïîëó÷åííàÿ ãîìîòîïèÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîé.1−t/2Ïðåîáðàçóåì ãîìîòîïèþ ft . Íîâàÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ãîìîòîïèé Pt f0 , 0 ≤ t ≤ 1, çàòåì P1 ft , 0 ≤ t ≤ 1, è çàòåì P1−t f1 , 0 ≤ t ≤ 1.Ïîëó÷åííàÿ ãîìîòîïèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îòîáðàæåíèåïåðåâîäèò êðàÿ îòðåçêà â ðàäèóñû äèñêà D1 .(4)Âåðíåìñÿ ê ïîñòðîåíèþ ãîìîòîïèè ìåæäó f1(4)è f2 .
Äëÿ êàæäîãî îïîðíîãî öèêëà Ciìû ïîñòðîèëè âñïîìîãàòåëüíóþ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíóþ ãîìîòîïèþ îòîáðàæåíèé f1,i è f2,i ,(4)ïðè÷åì îòîáðàæåíèÿ fk,i è fk |Ci , k = 1, 2, ñîâïàäàþò âíå D1 (è äàæå âíå D0 ) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåïàðàìåòðèçàöèè. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ei îïðåäåëèì ãîìîòîïèþ íà ïðîîáðàçå(4)(f1 |ei )−1 (M \ D1 ) ñîâïàäàþùåé ñ âñïîìîãàòåëüíîé ãîìîòîïèåé äëÿ öèêëà Ci íà òàêîé æåïðîîáðàç. Íà äåðåâå T ãîìîòîïèþ îïðåäåëèì òîæäåñòâåííîé. Îñòàëîñü îïðåäåëèòü ãîìî(4)òîïèþ íà êðàÿõ ðåáåð ei , ïåðåõîäÿùèõ ïðè f1â öèëèíäð D1 \ D0 .
Ââåäåì íà öèëèíäðåïîëÿðíûå êîîðäèíàòû r, ϕ, r ∈ [ε/2, ε], ϕ ∈ [0, 2π]. Îïðåäåëèì ãîìîòîïèþ íà ãðàíè÷íûõîòðåçêàõ ei â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñîåäèíÿþùåé ëèíåéíî óæå îïðåäåëåííûå êîíöû íà∂D0 è ∂D1 . Ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå ýòîé ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè îòîáðàæåíèå îáîçíà÷èì(5)f1 . Ñîãëàñíî ëåììå 1.5(4)(5)(5)dωX (f1 , O1,f (4) (wi ) , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi )) = 01äëÿ êàæäîãî îïîðíîãî öèêëà Ci . Ñëåäîâàòåëüíî(4)(5)(4)(4)dωX (f1 , O1,f (4) (wi ) , f1 , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))1(5)(4)(5)(5)= dωX (f1 , O1,f (5) (wi ) , f2 , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi ))1(4)(4)(4)(4)+dωX (f1 , O1,f (4) (wi ) , f2 , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi )) = 0.1(5)Îòîáðàæåíèå f1(4)áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò f2òîëüêî íà ãðàíè÷íûõ îòðåçêàõ ðåáåð ei .Êàæäûé ãðàíè÷íûé îòðåçîê äåëàåò íåñêîëüêî îáîðîòîâ âîêðóã D0 , ïðè÷åì ãðàíè÷íûå(4)îòðåçêè îäíîãî ðåáðà ei äåëàþò ðàâíîå ÷èñëî îáîðîòîâ â ñèëó ωX (f1,i ) = ωX (f1 |Ci ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
