Погружения графов в поверхности (1104454), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäà äëÿ ëþáûõ äâóõ ãîìîòîïèé γt,1 , γt,2 , ïåðåâîäÿùèõ γ1 â γ2 èO1 â O2 , ÷èñëà N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt,1 ) è N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt,2 ) ñîâïàäàþò.(Á) Ïóñòü γ1 , γ2 : S 1 → M äâå ïåòëè, ìåíÿþùèå îðèåíòàöèþ, γ1 (0) = γ2 (0). Ïóñòüêðèâàÿ δ : S 1 → M , δ(0) = γ1 (0), ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, è äàíà òî÷êà x ∈ M \ (Imγ1 ∪Imγ2 ∪Imδ). Òîãäà äëÿ ëþáûõ äâóõ ãîìîòîïèé γt,1 , γt,2 , ñîåäèíÿþùèõ γ1 è γ2 , äëÿ êîòîðûõγt,i (0) ≡ δ , ÷èñëà N (γ1 , O1 , γ2 , δ, x, γt,1 ) è N (γ1 , O1 , γ2 , δ, x, γt,2 ) ñîâïàäàþò.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïîäíÿòèÿ γ̃t,1 , γ̃t,2 ãîìîòîïèé γt,1 , γt,2 íà îðèåíòèðóþùååíàêðûòèå M̃ .(À) Îáúåäèíåíèå ãîìîòîïèé γ̃t,1 è γ̃t,2 çàäàåò îòîáðàæåíèå f : T 2 → M . Ðàññìîòðèìäèñê Dx̃i èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt ) è ñòÿãèâàíèå p : M → S 2 ìíîæåñòâàM \ Dx . Ñîãëàñíî ëåììå 1.3, ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ f ðàâíà íóëþ, à çíà÷èò è ñòåïåíüîòîáðàæåíèÿ pi ◦ f ðàâíà íóëþ.(Á) Îáúåäèíåíèå ãîìîòîïèé γ̃t,1 è γ̃t,2 çàäàåò îòîáðàæåíèå f : S 2 → M̃ . Èç π2 (M ) = 0ïîëó÷àåì, ÷òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ f ðàâíà íóëþ, à çíà÷èò è ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ pi ◦ fðàâíà íóëþ.Ëåììà 1.4 äîêàçàíà.Ëåììà 1.5. Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, pM : T M → M êàñà-òåëüíîå ðàññëîåíèå.
Ïóñòü íà M çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå X ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì íóëåéxi , i = 1, . . . , K , è ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïèÿ ξt , t ∈ [1, 2], êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ îòîáðàæåíèé ξ1 , ξ2 : S 1 → T M , ãäå êðèâûå pM ◦ ξ1 , pM ◦ ξ2 íå ïðîõîäÿò ÷åðåç xi . Ïóñòü ó Xíåò íóëåé â ñëó÷àå M = T 2 èëè M = Kl2 , è åäèíñòâåííûé íîëü â ñëó÷àå M = S 2 .Ïóñòü çàäàíû ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè O1 , O2 , â òî÷êàõ pM (ξ1 (0)), pM (ξ2 (0)), ñîãëàñîâàííûå âäîëü pM ◦ ξt .
 ñëó÷àå åñëè pM ◦ ξ1 è pM ◦ ξ2 ìåíÿþò îðèåíòàöèþ, ïðåäïîëàãàåì, ÷òîpM (ξ1 (0)) = pM (ξ2 (0)), ξ1 (0) = ξ2 (0)), è ïóòü pM ◦ ξt (0), t ∈ [1, 2], ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.Òîãäà âûïîëíåíîdωX (ξ1 , O1 , ξ2 , O2 ) = 0äëÿ êðèâûõ pM ◦ ξ1 , pM ◦ ξ2 , ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, èdωX (ξ1 , O1 , ξ2 , pM ◦ ξt (0), ξ1 (0)) = 2ωX (ξt (0), O1 )äëÿ êðèâûõ pM ◦ ξ1 , pM ◦ ξ2 , ìåíÿþùèõ îðèåíòàöèþ.15Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì γt = pM ◦ ξt . Ïóñòü êðèâûå γ1 , γ2 ìåíÿþò îðèåíòàöèþ. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî ïóòü θγ1 (0) : [0, 1] → Tγ11 (0) M èç îïðåäåëåíèÿ ωX , ò.å.
θγ1 (0) (0) = X(γ1 (0)),θγ1 (0) (1) = p1 (ξ1 (0)). Ïåðåíåñåì ýòîò ïóòü íåïðåðûâíî âäîëü âñåé ãîìîòîïèè ξt òàê, ÷òîâ êàæäîé òî÷êå γt (0)) åñòü ïóòü θγt (0) : [0, 1] → Tγ1t (0) M , íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò t, äëÿêîòîðîãî θγt (0) (0) = X(γt (0)), θγt (0) (1) = p1 (ξt (0)).Ïóñòü M îòëè÷íà îò S 2 , RP 2 , T 2 , Kl2 . Ïåðåíåñåì ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ Ot íåïðåðûâíî âäîëü êðèâîé γt (0). Åñëè íà ó÷àñòêå [t1 , t2 ] ãîìîòîïèÿ íå ïåðåñåêàåò íóëè âåêòîðíîãîïîëÿ, òî ÷èñëî ωX (ξt , Ot ) èëè ωX (ξt , Ot , γt (0), ξt (0), θγt (0) ) ïîñòîÿííî, ò.ê.
îíî öåëîå è íåïðåðûâíî ïî t. Ðàññìîòðèì ãîìîòîïèþ γt â òî÷êå γt (u) ïðè ïåðåñå÷åíèè íóëÿ xi âåêòîðíîãît (u) ∂γt (u)ïîëÿ X . Áóäåì ÷èòàòü, ÷òî ðåïåð ( ∂γ∂t, ∂u ) ïîëîæèòåëåí îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèèïåðåíåñåííîé èç O1 âäîëü ãîìîòîïèè. Êðèâûå íåçàäîëãî äî è ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ îáîçíà÷èì γt1 , γt2 . Ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî çà ïðåäåëàìè ìàëîé îêðåñíîñòè xi êðèâûå ñîâïàäàþò,è êðèâàÿ γt2 îòëè÷àåòñÿ îò γt1 äîáàâëåíèåì ïåòëè `s âîêðóã òî÷êè xi . Ïðè îáõîäå âäîëü`s âåêòîð ξ áëèçîê ê ξt (u).
 ìàëîé îêðåñòíîñòè xi ìîæíî ñ÷èòàòü íàïðàâëåíèå ξt (u) ïîñòîÿííûì, ïðè ýòîì âåêòîðíîå ïîëå X äåëàåò iX (xi ) îáîðîòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, âäîëü `sâåêòîð ξ äåëàåò −iX (xi ) îáîðîòîâ îòíîñèòåëüíî X . Òàêèì îáðàçîì,ωX (ξt1 , Ot1 ) − ωX (ξt2 , Ot2 ) = iX (xi )èëèωX (ξt1 , Ot1 , γt1 (0), ξt1 (0), θγt1 (0) ) − ωX (ξt2 , Ot2 , γt2 (0), ξt2 (0), θγt2 (0) ) = iX (xi ),ãäå ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè Ot1 , Ot2 â òî÷êàõ γt1 (0), γt2 (0) ïîëó÷àþòñÿ èç O1 ïåðåíîñîìâäîëü ãîìîòîïèè. Ñóììèðîâàíÿ ýòè ðàâåíñòâà äëÿ âñåõ ïåðåñå÷åíèé ãîìîòîïèåé íóëåéâåêòîðíîãî ïîëÿ X ïîëó÷àåìωX (ξ1 , O1 ) − ωX (ξ2 , O2 )−KXiX (xi )N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , xi ) = 0,i=1èëèωX (ξ1 , O1 , γ1 (0), ξ1 (0), θγ1 (0) ) − ωX (ξ2 , O2 , γ2 (0), ξ2 (0), θγ2 (0) )−KXiX (xi )N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), xi ) = 0.i=1 ñëó÷àå êðèâûõ γ1 , γ2 , ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, ëåììà äîêàçàíà.
Ïóñòü γ1 è γ2 ìåíÿþòîðèåíòàöèþ. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òîωX (ξ2 , O2 , γ2 (0), ξ2 (0), θγ2 (0) ) − ωX (ξ2 , O2 , γ2 (0), ξ2 (0), θγ1 (0) )16= 2ωX (ξt (0), O1 ).Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî θγ2 (0) îòëè÷àåòñÿ îò θγ1 (0) äîáàâëåíèåì ωX (ξt (0), O1 ) îáîðîòîâ,êàæäûé èç êîòîðûõ óâåëè÷èâàåò ÷èñëî ωX íà 2.Ñëó÷àé M = S 2 àíàëîãè÷åí îáùåìó.
×èñëà âðàùåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïî ìîäóëþ 2 èèíäåêñ åäèíñòâåííîãî íóëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ X ðàâåí 2. Ïîýòîìó ïðè ïåðåõîäå ãîìîòîïèè÷åðåç íóëü âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷èñëî âðàùåíèÿ êðèâîé íå ìåíÿåòñÿ. ñëó÷àå M = T 2 èëè M = Kl2 è îòñóòñòâèÿ íóëåé âåêòîðíîãî ïîëÿ X òðåáóåìîåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ÷èñëî âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ öåëûì è íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿïðè ãîìîòîïèè.Ëåììà 1.5 äîêàçàíà.Èç ëåììû 1.5 ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî dωX íå ìåíÿåòñÿ ïðè ðåãóëÿðíûõ ãîìîòîïèÿõ îòîáðàæåíèé ξ1 , ξ2 .2Ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè2.1Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïëîñêîñòüÑòåïåíü êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî ïîãðóæåíèÿ îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü - êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð ñêîðîñòè ïðè îáõîäå âäîëü îêðóæíîñòè (âçÿòîå ñ çíàêîì).Ïðè ýòîì ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó èçëîìà êðèâîé ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ïîâîðà÷èâàåò ïîíàèìåíüøåìó èç âîçìîæíûõ óãëîâ.Çàìåòèì, ÷òî ýòî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ïîãðóæåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîìâðàùåíèÿ ïîãðóæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.Õîðîøî èçâåñòíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå (ñì.
òåîðåìó 0.1).Ëåììà 2.1. Äâà êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèÿ îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü ðåãóëÿðíîãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñòåïåíè îòîáðàæåíèÿ ðàâíû.Îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà U. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ãðàôà G âîçìîæíîå çíà÷åíèåèíâàðèàíòà U ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì ñëåäóþùèõ îáúåêòîâ:• êëàññà îäíîìåðíûõ êîãîìîëîãèé ãðàôà;• öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G.17Òåïåðü îïðåäåëèì çíà÷åíèå èíâàðèàíòà U äëÿ ïîãðóæåíèÿ ãðàôà G â ïëîñêîñòü. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî â ãðàôå îñòîâíîå äåðåâî.
Êàæäîå ðåïðî âíå ìàêñèìàëüíîãî äåðåâàåäèíñòâåííûì îáðàçîì äîïîëíÿåòñÿ ðåáðàìè îñòîâíîãî äåðåâà äî íåñàìîïåðåñåêàþùåãîñÿöèêëà. Êàæäîìó òàêîìó öèêëó ñîïîñòàâèì öåëîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ñòåïåíüþ îòîáðàæåíèÿ ýòîãî öèêëà â ïëîñêîñòü. Ñîïîñòàâëåíèå êàæäîìó èç óêàçàííûõ öèêëîâ öåëîãî ÷èñëàðàâíîñèëüíî çàäàíèþ êëàññà îäíîìåðíûõ êîãîìîëîãèé ãðàôà G. Çíà÷åíèå èíâàðèàíòà Uäëÿ ïîãðóæåíèÿ ãðàôà G â ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì ñëåäóþùèõ îáúåêòîâ:• îïðåäåëåííîãî âûøå êëàññà îäíîìåðíûõ êîãîìîëîãèé ãðàôà;• öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç êàæäîé âåðøèíû ãðàôà G, â êîòîðîìýòè ðåáðà (îòîáðàæåííûå â ïëîñêîñòü) ñëåäóþò ïðè îáõîäå âåðøèíû ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè.Èíâàðèàíò U óñòàíàâëèâàåò îòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà ïîãðóæåíèé ãðàôà â ïëîñêîñòüâ ìíîæåñòâî H 1 (G; Z) ⊕ (⊕u∈G Sdeg(u)−1 ), ãäå deg(u) ñòåïåíü âåðøèíû u ∈ G, à Sdeg(u)−1 ìíîæåñòâî èç (deg(u) − 1)! öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê deg(u) ýëåìåíòîâ.Òåîðåìà 2.1.
Èíâàðèàíò U óñòàíàâëèâàåò áèåêöèþ èç ìíîæåñòâà ïîãðóæåíèé ãðàôàG â ïëîñêîñòü ñ òî÷íîñòü äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè â ìíîæåñòâîH 1 (G; Z) × (×u∈G Sdeg(u)−1 ).2.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòàÂîïðîñ ãîìîòîïíîñòè êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ õîðîøî èçó÷åí, ñì.
[16], [17].Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ãðàô G è àâòîìîðôèçì g : G → G, ñîõðàíÿþùèé òî÷êó v .Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ãðàôà G, ïðè íåîáõîäèìîñòè ñäåëàâ åå âåðøèíîéñòåïåíè 2. Âûäåëèì â ãðàôå G îñòîâíîå äåðåâî T . Íàçîâåì îïîðíûì öèêëîì êàæäûé öèêëCi , ñîñòîÿùèé èç ðåáðà ei ⊂ G \ T è ïðîñòîãî ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî âåðøèíû ðåáðà ei ïîäåðåâó T .
Íàçîâåì áàçèñíûì îïîðíûì öèêëîì Či ⊂ G öèêë, ñîñòîÿùèé èç ðåáðà ei è äâóõïðîñòûõ ïóòåé, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ei ñ âåðøèíîé v ïî äåðåâó T .Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîå ðåáðî ei ñîåäèíÿåò ëèñòüÿ äåðåâà T , ïðè÷åì êàæäûéëèñò èíöèäåíòåí íå áîëåå ÷åì îäíîìó ðåáðó ei , è ñðåäè ei íåò ïåòåëü. Åñëè ýòî íå òàê, òîäîáàâèì íà êàæäîì ðåáðå ei ïî äâå âåðøèíû è îòíåñåì êðàéíèå èç ïîëó÷åííûõ òðåõ ðåáåðê äåðåâó T . Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå äàñò òðåáóåìîå ñâîéñòâî. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü,÷òî â âåðøèíó v íå âåäåò íèêàêîå ðåáðî ei .18Ïðåäëîæåíèå 2.1. Ïóñòü M ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì, f : G → M íåïðåðûâíîå îòîáðà-æåíèå, g : G → G àâòîìîðôèçì ãðàôà G, ñîõðàíÿþùèé òî÷êó v . Òîãäà îòîáðàæåíèÿf è f ◦ g ãîìîòîïíû, åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ êàæäîãî áàçèñíîãî îïîðíîãî öèêëà Či îòîáðàæåíèÿ f |Či è f ◦ g|Či ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî òî÷êè f (v).Íàçîâåì îòîáðàæåíèå ãðàôà â ïîâåðõíîñòü ðåãóëÿðíûì, åñëè îíî ðåãóëÿðíî íà ðåáðàõ,è â êàæäîé âåðøèíå íàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê âûõîäÿùèì èç íåå ðåáðàìðàçëè÷íû.
Ãîìîòîïèÿ ft , t ∈ [0, 1], îòîáðàæåíèé f0 , f1 : G → M ðåãóëÿðíà, åñëè êàæäîåîòîáðàæåíèå ft , t ∈ [0, 1], ðåãóëÿðíî è äëÿ êàæäîãî ðåáðà e êàñàòåëüíîå îòîáðàæåíèåT ft |e : T [0, 1] → T M íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t ∈ [0, 1].Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íàÿ îò RP 2 . ÏóñòüG ñâÿçíûé ãðàô, v íåêîòîðàÿ âåðøèíà, T îñòîâíîå äåðåâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåáðàâíå T íå ÿâëÿþòñÿ ïåòëÿìè è ñîåäèíÿþò ëèñòüÿ äåðåâà T .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
