Погружения графов в поверхности (1104454), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îáîçíà÷èì ðàçíîñòü êîëè÷åñòâ ïîëîæèòåëüíûõ èîòðèöàòåëüíûõ ïåðåñå÷åíèéN (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x) = N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt )äëÿ êðèâûõ γ1 , γ2 , ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, èN (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x) = N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x, γt )10äëÿ êðèâûõ γ1 , γ2 , ìåíÿþùèõ îðèåíòàöèþ.×èñëî N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt ) ìîæíî ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëèòü ÷åðåç ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ãîìîòîïèè γt . Ðàññìîòðèì îðèåíòèðóþùåå íàêðûòèå M̃ïîâåðõíîñòè M è êðèâûå γ̃1 , γ̃2 , íàêðûâàþùèå γ1 , γ2 è íà÷èíàþùèåñÿ â îäíîé òî÷êå. Ðàññìîòðèì òî÷êè x̃(1) , x̃(2) , íàêðûâàþùèå òî÷êó x, ãîìîòîïèþ γ̃t , íàêðûâàþùóþ γt , è îðèåíòàöèþ íà M̃ , ñîãëàñîâàííóþ ñ O1 (γ1 (0)).
Äëÿ êàæäîé èç òî÷åê x̃(i) ðàññìîòðèì îòêðûòûéäèñê Dx̃(i) ⊂ M̃ \(Imγ̃1 ∪Imγ̃2 ), ñîäåðæàùèé òî÷êó x̃(i) . Ïóñòü îòîáðàæåíèå pi : M̃ → S 2 ÿâëÿåòñÿ ñòÿãèâàíèåì ìíîæåñòâà M̃ \Dx̃(i) â òî÷êó. Òîãäà ãîìîòîïèÿ pi ◦ γ̃t : [0, 1]×[1, 2] → S 2îòîáðàæàåò ãðàíèöó êâàäðàòà ∂([0, 1]×[1, 2]) â îäíó òî÷êó, à çíà÷èò åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü(1)(1)êàê êîìïîçèöèþ pi ◦ γ̃t = fi ◦pi , ãäå pi : [0, 1]×[1, 2] → S 2 ñòÿãèâàíèå ãðàíèöû êâàäðàòàâ òî÷êó, fi : S 2 → S 2 . Îïðåäåëèì ÷èñëî N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x, γt ) èëè N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x) êàêñóììó ñòåïåíåé îòîáðàæåíèé f1 , f2 .
Îðèåíòàöèÿ íà ïðîîáðàçå S 2 ïåðåíîñèòñÿ ñ êâàäðà∂γt (s) ∂γt (s)òà [0, 1] × [1, 2], íà êîòîðîì ðåïåð, ∂sñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíûì, à íà îáðàçå S 2∂tçàäàåòñÿ îðèåíòàöèåé íà M̃ , ñîãëàñîâàííîé ñ O1 .Ñîãëàñíî ëåììå 1.4 ÷èñëà N (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x) è N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x) â ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè M îòëè÷íîé îò ñôåðû, ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, òîðà è áóòûëêè Êëåéíà íå çàâèñÿò îò âûáîðà ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè γt .
×èñëî N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x) çàâèñèò îò êðèâîéγt (0). ×àùå âñåãî íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ãîìîòîïèÿ ìåæäó γ1 è γ2 , ñîõðàíÿþùàÿ íà÷àëüíóþ òî÷êó.  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ γt (0) áóäåò ïîñòîÿííîé è îáîçíà÷åíèå ïðèìåò âèäN (γ1 , O1 , γ2 , γ1 (0), x).Îïðåäåëåíèå ÷èñëà dωX . Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íàÿ îòS 2 , RP 2 , T 2 , Kl2 , íà êîòîðîé çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå X ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì íóëåâûõ òî÷åêxi , i = 1, . . . , K . Ïóñòü äàíû äâà êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ îòîáðàæåíèÿ f1 , f2 : S → T M .Îïðåäåëèì dωX â ñëó÷àå, êîãäà êðèâûå pM ◦ f1 , pM ◦ f2 ãîìîòîïíû è ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ:dωX (f1 , O1 , f2 , O2 )= ωX (f1 , O1 ) − ωX (f2 , O2 ) −KXiX (xi )N (pM ◦ f1 , O1 , pM ◦ f2 , O2 , xi ),i=1ãäå O1 , O2 íåêîòîðûå ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè â òî÷êàõ pM (f1 (0)), pM (f2 (0)), à iX (xi ) èíäåêñ âåêòîðíîãî ïîëÿ X â òî÷êå xi .Òåïåðü îïðåäåëèì dωX â ñëó÷àå, êîãäà êðèâûå pM ◦ f1 , pM ◦ f2 ãîìîòîïíû è ìåíÿþòîðèåíòàöèþ.
Ïóñòü f1 (0) = f2 (0) è çàäàí ïóòü δ : S 1 → M , δ(0) = pM (f1 (0)), ñîõðàíÿþùèé11îðèåíòàöèþ. ÎïðåäåëèìdωX (f1 , O1 , f2 , δ, f1 (0))= ωX (f1 , O1 , pM (f1 (0)), f1 (0), θpM (f1 (0)) ) − ωX (f2 , O1 , pM (f1 (0)), f1 (0), θpM (f1 (0)) )−KXiX (xi )N (pM ◦ f1 , O1 , pM ◦ f2 , δ, xi ),i=1ãäå O1 íåêîòîðàÿ ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ â òî÷êå pM (f1 (0)), à ïóòüθpM (f1 (0)) : [0, 1] → Tp1M (f1 (0)) M,θpM (f1 (0)) (0) = X(pM (f1 (0)))/kX(pM (f1 (0)))k,θpM (f1 (0)) (1) = f1 (0)/kf1 (0)kâûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî.
Êàê óêàçàíî â îïðåäåëåíèè ÷èñëàωX (f, Ox0 , x0 , f (0), θx0 ),âûáîð ïóòè θpM (f (0)) íå âëèÿåò íà ÷èñëî dωX (f1 , O1 , f2 , δ, f1 (0)). ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî ïóòè δ , îáîçíà÷åíèå ïðèìåò âèädωX (f1 , O1 , f2 , pM (f1 (0)), f1 (0)). ñëó÷àå, êîãäà M = S 2 è X âåêòîðíîå ïîëå ñ åäèíñòâåííûì íóëåì, îïðåäåëèìdωX (f1 , O1 , f2 , O2 ) ∈ Z2 êàê ðàçíîñòü ωX (f1 , O1 ) è ωX (f2 , O2 ) ïî ìîäóëþ 2. ñëó÷àå, êîãäà M = T 2 èëè M = Kl2 è X âåêòîðíîå ïîëå áåç íóëåé, ÷èñëî N çàâèñèòîò ãîìîòîïèè, íî îíî íå ó÷àñòâóåò â îïðåäåëåíèè dω . Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå îñòàåòñÿ áåçèçìåíåíèé:dωX (f1 , O1 , f2 , O2 )= ωX (f1 , O1 ) − ωX (f2 , O2 ),dωX (f1 , O1 , f2 , pM (f1 (0)), f1 (0))= ωX (f1 , O1 , pM (f1 (0)), f1 (0), θpM (f1 (0)) ) − ωX (f2 , O1 , pM (f1 (0)), f1 (0), θpM (f1 (0)) ).Èç Ëåììû 1.5, ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå êðèâûõ pM ◦f1 , pM ◦f2 , ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ,÷èñëî dωX íå ìåíÿåòñÿ ïðè ãîìîòîïèÿõ îòîáðàæåíèé f1 è f2 .
 ñëó÷àå êðèâûõ pM ◦ f1 ,pM ◦ f2 , ìåíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, ÷èñëî dωX íå ìåíÿåòñÿ ïðè ãîìîòîïèÿõ ñîõðàíÿþùèõpM (ft (0)) = pM (f1 (0)) è ft (0) = f1 (0).12Àíàëîãè÷íî ÷èñëó âðàùåíèÿ, â ñëó÷àå, êîãäà îòîáðàæåíèÿ f1 , f2 ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìèñêîðîñòè êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ γ1 , γ2 , îáîçíà÷èìdωX (γ1 , O1 , γ2 , O2 ) = dωX (γ10 , O1 , γ20 , O2 )èdωX (γ1 , O1 , γ2 , γ1 (0), γ10 (0)) = dωX (γ10 , O1 , γ20 , γ1 (0), γ10 (0)).Îïðåäåëåíèå ÷èñëà âðàùåíèÿ êðèâîé îñíîâàíî íà ðàáîòå [20]. Îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âðàùåíèÿ äëÿ îòîáðàæåíèÿ ξ : L → T M , à òàêæå ÷èñåë N è dωX ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.1.2ËåììûÑôîðìóëèðóåì çäåñü òåîðåìó 3.1 èç [20].
 îðèãèíàëüíîé ñòàòüå òåîðåìà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ êðèâûõ, ñîõðàíÿþùèõ îðèåíòàöèþ, íî äîêàçàòåëüñòâî äîñëîâíî ïîâòîðÿåòñÿäëÿ ëþáûõ êðèâûõ.Òåîðåìà 1.1 ([20], òåîðåìà 3.1). Ïóñòü γ1 è γ2 äâå ðåãóëÿðíûå çàìêíóòûå êðèâûå íà M ,γ10 (0) = γ20 (0) = X(x), ãäå X âåêòîðíîå ïîëå áåç íóëåé íà êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè M ,òî÷êà x ∈ M , è [γ1 ] = [γ2 ] ∈ π1 (M, x). Òîãäà êðèâûå γ1 , γ2 ãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî X(x)òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ωX (γ1 , Ox , x, X(x)) = ωX (γ2 , Ox , x, X(x)), ãäå Ox ëîêàëüíàÿîðèåíòàöèÿ â òî÷êå x.Äîêàæåì ëåììó 1.4 î íåçàâèñèìîñòè îïðåäåëåíèÿ ÷èñåëN (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x), N (γ1 , O1 , γ2 , γ1 (0), x)îò âûáîðà ãîìîòîïèè, ñîåäèíÿþùåé γ1 è γ2 . Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿËåììà 1.1.
Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íàÿ îò òîðà è áó-òûëêè Êëåéíà. Ïóñòü a, b ∈ π1 (M ) äâà êîììóòèðóþùèõ ýëåìåíòà. Òîãäà íàéäóòñÿýëåìåíò c ∈ π1 (M ) è m, n ∈ Z òàêèå, ÷òî a = cm , b = cn .Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïîâåðõíîñòü M èìååò êðàé, òî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà π1 (M )ñâîáîäíà, è ëåììà äîêàçàíà â [26], ïðåäëîæåíèå 2.17. Ïóñòü äàëåå ïîâåðõíîñòü M çàìêíóòà. Ðàññìîòðèì ãîìîìîðôèçì ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû hu, v | uvu−1 v −1 i òîðà T â ôóíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó ïîâåðõíîñòè M , ïåðåâîäÿùèé îáðàçóþùèå u, v â ýëåìåíòû a, b.
Ýòîòãîìîìîðôèçì èíäóöèðîâàí íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì f : T → M . Ïî òåîðåìå Êíåçåðàãåîìåòðè÷åñêàÿ ñòåïåíü G(f ) ≥ 0 ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ëèáî ðàâíà 0, ëèáî óäîâëåòâîðÿåò13íåðàâåíñòâó Êíåçåðà χ(T ) ≤ χ(M )G(f ), ñì. [31]. Ïîýòîìó ëèáî χ(M ) ≥ 0, ëèáî G(f ) = 0.Åñëè χ(M ) ≥ 0, òî M ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé èëè ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòüþ, à çíà÷èò ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà M ïîðîæäàåòñÿ íå áîëåå ÷åì îäíèì ýëåìåíòîì. Åñëè χ(M ) < 0, òîG(f ) = 0 è ïî îïðåäåëåíèþ ãåîìåòðè÷åñêîé ñòåïåíè f ãîìîòîïíî îòîáðàæåíèþ g , íå ÿâëÿþùåìóñÿ ñþðúåêòèâíûì (ò.å. îáðàç g ñîäåðæèòñÿ â ïðîêîëîòîé ïîâåðõíîñòè M̊ ). Òàê êàêôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïðîêîëîòîé ïîâåðõíîñòè M̊ ñâîáîäíà, ïîëó÷àåì ãîìîìîðôèçìhu, v | uvu−1 v −1 i â ñâîáîäíóþ ãðóïïó. Íî â ñâîáîäíîé ãðóïïå êîììóòèðóþùèå ýëåìåíòûÿâëÿþòñÿ ñòåïåíüþ îäíîãî è òîãî æå ýëåìåíòà, à ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà π1 (M ) ÿâëÿåòñÿ ôàêòîð ãðóïïîé ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû π1 (M̊ ). Ïîýòîìó ïðè χ(M ) < 0 ëþáûåäâà êîììóòèðóþùèõ ýëåìåíòà ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû M ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ñòåïåíÿìèîäíîãî è òîãî æå ýëåìåíòà.
Ëåììà 1.1 äîêàçàíà.Ëåììà 1.2. Ïóñòü f : T 2 → M íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå òîðà â êîìïàêòíóþ ïî-âåðõíîñòü M , îòëè÷íóþ îò T 2 , Kl2 , S 2 è RP 2 . Òîãäà íàéäåòñÿ c ∈ π1 (M ) òàêîé, ÷òîäëÿ ëþáîé êðèâîé γ , [γ] = c, îòîáðàæåíèå f ìîæíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü òàê, ÷òî åãîîáðàç ñîâïàäåò ñ îáðàçîì γ .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü a, b îáðàçóþùèå òîðà. Òîãäà ýëåìåíòû f |a , f |b ∈ π1 (M ) êîììóòèðóþò. Ñîãëàñíî ëåììå 1.1 ýòè êðèâûå ãîìîòîïíû ñòåïåíÿì îäíîé ïåòëè γ . Ãîìîòîïèåéîòîáðàæåíèÿ f äîáüåìñÿ, ÷òîáû f |a è f |b ñîâïàäàëè ñ γ m è γ n , m, n ∈ Z. Ðàññìîòðèì äâàîòîáðàæåíèÿ f˜, g : D2 → M . Îòîáðàæåíèå f˜ îïðåäåëÿåòñÿ êàê f˜ = f ◦ t, ãäå t : D2 → T 2 ïðèêëåèâàíèå äèñêà ê îáðàçóþùèì.
Îòîáðàæåíèå g çàäàäèì íà ïîëîâèíå ãðàíè÷íîéîêðóæíîñòè äèñêà ìåæäó åãî íèæíåé è âåðõíåé òî÷êàìè ðàâíûì êðèâîé γ m+n è ïðîäëèì íà âåñü äèñê, ïîëàãàÿ g ïîñòîÿííûì íà êàæäîì ãîðèçîíòàëüíîì îòðåçêå. Òàêèìîáðàçîì, g îòîáðàæàåò äèñê â êðèâóþ γ . Îãðàíè÷åíèÿ f˜|∂D2 è g|∂D2 ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü èõ íà äâóõ ïîëóøàðèÿõ ñôåðû è ïîëó÷èòü îòîáðàæåíèå S 2 → M .Íî π2 (M ) = 0, ïîýòîìó ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå ñòÿãèâàåìî. Çíà÷èò îòîáðàæåíèÿ f˜ è gãîìîòîïíû îòíîñèòåëüíî ∂D2 . Ëåììà 1.2 äîêàçàíî.Ëåììà 1.2 âëå÷åòËåììà 1.3. Ñòåïåíü íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ òîðà â êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü M ,îòëè÷íóþ îò T 2 , Kl2 , S 2 è RP 2 , ðàâíà íóëþ.Ëåììà 1.4. Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì èëè îòðèöàòåëüíîéÝéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè, ò.å. îòëè÷íàÿ îò T 2 , Kl2 , S 2 è RP 2 .14(À) Ïóñòü γ1 , γ2 : S 1 → M äâå ñâîáîäíûå ïåòëè, ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ, òî÷êàx ∈ M \ (Imγ1 ∪ Imγ2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
