Погружения графов в поверхности (1104454), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi , ÿâëÿþùàÿñÿ ñôåðîé ñ òðåìÿäûðêàìè, íàêðûâàåòñÿ äâóìÿ ñôåðàìè ñ òðåìÿ äûðêàìè. Öèëèíäð ñ ïëåíêîé Ìåáèóñà(ñîîòâåòñòâåííî äèñê ñ ïëåíêîé Ìåáèóñà) íàêðûâàåòñÿ äâóìÿ ñôåðàìè ñ òðåìÿ äûðêàìè, ñêëååííûìè ïî îäíîé (ñîîòâåòñòâåííî äâóì) îêðóæíîñòè ω̄k .
Òàêèì îáðàçîì, íàáîð(2)(1)îêðóæíîñòåé γi , γi , ωk äëÿ âñåõ i, k ðàçáèâàåò ïîâåðõíîñòü M̄ íà ñôåðû ñ òðåìÿ äûðêàìè. Ñîãëàñíî óæå äîêàçàííîé òåîðåìå 4.1 äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M , íàéäåòñÿ(2)(1)íàáîð êðèâûõ γ̂i , γ̂i , ω̂k , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò ïåðåñåêàòü òîëüêî ñîîòâåòñòâóþ(1)(1)(2)ùóþ êðèâóþ íàáîðà γi , γi , ωk . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâûå p ◦ γ̂i(1)Ïîëîæèì γ̂i = p◦ γ̂i(2)è p ◦ γ̂iñîâïàäàþò.∈ πM . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâûå γ̂i è tkγi γ̂i ãîìîòîïíû ïðè íåêîòîðîìk 6= 0. Ïî òåîðåìå î íàêðûâàþùåé ãîìîòîïèè ïîäíèìåì ýòó ãîìîòîïèþ íà ïîâåðõíîñòü(1)M .
Ïîëó÷èòñÿ ãîìîòîïèÿ êðèâîé γ̂i(1)tk (1) γ̂iγ(1)è îäíîé èç êðèâûõ tk (1) γ̂iíåãîìîòîïíû ïî âûáîðó êðèâîé(1)γ̂i .γi(2)(1)è tk (2) γ̂i . Êðèâûå γ̂iγiÍåãîìîòîïíîñòü êðèâûõ(1)γ̂iè(2)tk (2) γ̂i ,γèâûòå-iiêàþùàÿ èç òîãî, ÷òî îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ, äîêàçàíà â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.5Çàêëþ÷åíèå ðàáîòå ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè ñ òî÷íîñòüþ äîðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîåí èíâàðèàíò ïîãðóæåíèÿ, îïèñàí îáðàç ýòîãîèíâàðèàíòà è äîêàçàíà áèåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïîãðóæåíèéíà îáðàç èíâàðèàíòà.
Èíâàðèàíò ñòðîèòñÿ êîíñòðóêòèâíî è ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ êîíêðåòíîãî ïîãðóæåíèÿ. Îí ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ, îïèñàííûõ53Óèòíè è ×èëëèíãâîðñîì.Òàêæå â ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âîêðóã íåêîòîðîãî ñåìåéñòâàîêðóæíîñòåé íà ïîâåðõíîñòè. Äîêàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñêðó÷èâàíèé Äýíà.Äîêàçàòåëüñòâî âî ìíîãîì îïèðàåòñÿ íà äåéñòâèå ñêðó÷èâàíèé Äýíà íà êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè.Èíòåðåñíû ñëåäóþùèå íàïðàâëåíèÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.• Êëàññèôèêàöèÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïðîåêòèâíóþ ïëîñêîñòüñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè.• Èññëåäîâàíèå ïîäãðóïï ãðóïïû êëàññîâ îòîáðàæåíèé ïîâåðõíîñòè, ïîðîæäåííûõñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã íàáîðîâ îêðóæíîñòåé áåç òðåáîâàíèÿ îòñóòñòâèÿ ïåðåñå÷åíèé.
 îáùåì ñëó÷àå ïîäãðóïïû íå áóäóò àáåëåâûìè.Áëàãîäàðíîñòè.Ãëóáîêî ïðèçíàòåëåí ñâîèì íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëÿì àêàäåìèêóÐÀÍ À.Ò. Ôîìåíêî è ê.ô.ì.í. Å.À. Êóäðÿâöåâîé çà ïîñòàíîâêó çàäà÷, ìíîãî÷èñëåííûåîáñóæäåíèÿ è âíèìàíèå ê ðàáîòå. Ãëóáîêî áëàãîäàðåí ïðîôåññîðó À.À. Îøåìêîâó çàîáñóæäåíèÿ è ñîâåòû. Áëàãîäàðþ âñåõ ñîòðóäíèêîâ êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé çà òâîð÷åñêóþ îáñòàíîâêó è âíèìàíèå ê ðàáîòå.
Áëàãîäàðþ áëèçêèõçà âäîõíîâåíèå.54Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Å.À. Êóäðÿâöåâà, È.Ì. Íèêîíîâ, À.Ò. Ôîìåíêî. Ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûå êëåòî÷íûå ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòåé è èõ íàêðûòèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê, 199:9(2008) 3-96.[2] Å.À. Êóäðÿâöåâà, Ä.À. Ïåðìÿêîâ. Îñíàùåííûå ôóíêöèè Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ //Ìàòåì. Ñá. 201:4 (2010), 33-98.[3] Å.À. Êóäðÿâöåâà.
Òîïîëîãèÿ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ // Ìàòåì.çàìåòêè, 92:2 (2012), 241261.[4] Å.À. Êóäðÿâöåâà. Ñïåöèàëüíûå îñíàùåííûå ôóíêöèè Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ //Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõàí., 4 (2012), 14-20.[5] Å. À. Êóäðÿâöåâà. Ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé Ìîðñà ñ ôèêñèðîâàííûìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ìàòåì.
Ìåõàí., 1 (2012), 312.[6] Å.À. Êóäðÿâöåâà. Î ãîìîòîïè÷åñêîì òèïå ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ // Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê, 204:1 (2013), 79118.[7] Å.À. Êóäðÿâöåâà. Òîïîëîãèÿ ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé ñ çàäàííûìè îñîáåííîñòÿìè íàïîâåðõíîñòÿõ // Äîêë. Àêàä. Íàóê, 468:1 (2016), 139-142.[8] Ñ.Â. Ìàòâååâ, À.Ò. Ôîìåíêî. Àëãîðèòìè÷åñêèå è êîìïüþòåðíûå ìåòîäû â òðåõìåðíîéòîïîëîãèè // Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, Ìîñêâà (1991).[9] Ñ.Â. Ìàòâååâ, À.Ò. Ôîìåíêî.
Àëãîðèòìè÷åñêèå è êîìïüþòåðíûå ìåòîäû â òðåõìåðíîéòîïîëîãèè. Âòîðîå èçäàíèå, ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîå // Èçäàòåëüñòâî ÍàóêàÌîñêâà (1998).[10] Ñ.Â. Ìàòâååâ, À.Ò. Ôîìåíêî. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì,ïåðå÷èñëåíèå òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ ñëîæíîñòè è âû÷èñëåíèå îáúåìîâ çàìêíóòûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé // Óñïåõè ìàòåìàòè-÷åñêèõ íàóê, 43:1(259) (1998), 522.[11] À.À. Îøåìêîâ, Ô.Þ.
Ïîïåëåíñêèé, À.À. Òóæèëèí, À.Ò. Ôîìåíêî, À.È. Øàôàðåâè÷.Êóðñ íàãëÿäíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè // Êëàññè÷åñêèé ó÷åáíèê ÌÃÓ, URSS, Ëå-ëàíä, Ìîñêâà (2014).55[12] D.A. Permyakov. Classication of immersions of graphs into a plane // Moscow. Univ.Math. Bull., 63:5 (2008), 208210.[13] D.A. Permyakov.
Abelian subgroups of the homeomorphism group generated by Dehntwists // Moscow. Univ. Math. Bull. 68:1 (2013), 4247.[14] Ä.À. Ïåðìÿêîâ. Ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè // Ìà-òåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê, 207:6 (2016) 93-112.[15] À.Ò. Ôîìåíêî. Òîïîëîãè÷åñêèå âàðèàöèîííûå çàäà÷è // Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, Ìîñêâà(1984).[16] À.Ò. Ôîìåíêî, Ä.Á. Ôóêñ. Êóðñ ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè // Èçäàòåëüñòâî Íàóêà,Ìîñêâà (1989).[17] À.Ò. Ôîìåíêî, Ä.Á.
Ôóêñ. Êóðñ ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè, âòîðîå èçäàíèå // URSS,Ëåëàíä, Ìîñêâà Êëàññè÷åñêèé ó÷åáíèê ÌÃÓ (2014).[18] J.S. Birman, A. Lubotzky, J. McCarthy. Abelian and solvable subgroups of the mappingclass group // Duke Math. J., 50:4 (1983), 11071120.[19] Y. Burman, M.
Polyak. Whitney's formulas for curves on surfaces // Geometriae Dedicata151:97 (2011), 97106.[20] D.R.J. Chillingworth. Winding Numbers on Surfaces, I // Math. Ann. 196:218 (1972),218249.[21] D.R.J Chillingworth. Winding Numbers on Surfaces, II // Math. Ann., 199:131 (1972),131153.[22] M. Dehn. Die Gruppe der Abbildungsklassen // Acta Math., 69:1 (1938), 135-206.[23] M. Duchin, K. Ra. Divergence of geodesics in Teichmuller space and the mapping classgroup // Geometric And Funct. Anal., 19:3 (2009), 722-742.[24] B. Farb, D.
Margalit. A primer on mapping class groups // Princeton University Press,(2011).[25] C.F.Gauss. Werke VIII // Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen(1900), 271-286.56[26] R. Lyndon, P.E. Schupp. Combinatorial group theory // Springer-Verlag, Berlin (1978).[27] M. McIntyre, G. Cairns. A new formula for winding number // Geometriae Dedicata 46:2(1993), 149160.[28] R.
Nikkuni. On the Wu invariants for immersions of a graph into the plane // Homology,Homotopy and Applications 12:1 (2010), 4560.[29] B.L. Reinhart. The winding number on two manifolds // Ann. Inst. Fourier 10 (1960),271283.[30] B.L. Reinhart. Further remarks on the winding number // Ann. Inst. Fourier, 13:1 (1963),155-160.[31] R. Skora. The degree of a map between surfaces // Math. Ann. 276:3 (1987), 415423.[32] S. Smale. Regular curves on Riemmannian manifolds // Trans.
Amer. Math. Soc. 87:2(1958), 492512.[33] L.B. Treybig. A characterization of the double point structure of the projection of apolygonal knot in regular position // Trans. Amer. Math. Soc., 130:2 (1968), 223247.[34] H. Whitney. On regular closed curves in the plane // Compositio Math. 4 (1937), 276286.57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
