Погружения графов в поверхности (1104454), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Íàáîð êðèâûõ γi ìîæíî äîïîëíèòü äî òàêîãî íàáîðà, ÷òî êàæäàÿêîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñôåðîé ñ òðåìÿ ïðîêîëàìè, ëèáî îòêðûòûì öèëèíäðîì ñ ïëåíêîé Ìåáèóñà, ëèáî îòêðûòûì äèñêîì ñ äâóìÿ ïëåíêàìèÌåáèóñà (ò.å. èìååò ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó −1).
Òàêîé íàáîð êðèâûõ íàçîâåì ìàêñèìàëüíûì. Òåîðåìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ ìàêñèìàëüíîãî íàáîðà.Çàìå÷àíèå 4.1. Ïðîâåðèì, âûïîëíåíà ëè òåîðåìà äëÿ ïîâåðõíîñòè ñ χ(M ) ≥ 0. Åñëèïîâåðõíîñòü M ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé, äèñêîì, ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòüþ èëè ëèñòîì Ìåáèóñà, òî íà íåé âîçìîæåí òîëüêî ïóñòîé íàáîð êðèâûõ γi . Åñëè ïîâåðõíîñòü M ÿâëÿåòñÿòîðîì, òî ìàêñèìàëüíûé íàáîð ñîñòîèò èç îäíîé êðèâîé γ1 .
Òîãäà âûáåðåì êðèâóþ γ̂1 ñåäèíè÷íûì èíäåêñîì ïåðåñå÷åíèÿ ñ êðèâîé γ1 . Êðèâàÿ tkγ1 γ̂1 èìååò èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ k ñêðèâîé γ1 , ïîýòîìó ïðè ðàçíûõ k òàêèå êðèâûå íåãîìîòîïíû è òåîðåìà îñòàåòñÿ âåðíà.Åñëè ïîâåðõíîñòü M ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì, òî òåîðåìà òàêæå âåðíà. Äîêàçàòåëüñòâîàíàëîãè÷íî, òîëüêî êðèâàÿ γ̂1 èäåò îò îäíîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè äî äðóãîé. Ñëó÷àé,êîãäà ïîâåðõíîñòü M áóòûëêà Êëåéíà, ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì, êîãäà òåîðåìà íåâûïîëíÿåòñÿ.
Ìàêñèìàëüíûé íàáîð ñîñòîèò èç îäíîé êðèâîé γ1 , äîïîëíåíèå äî êîòîðîéÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì. Ïðåäñòàâèì t2γ1 êàê êîìïîçèöèþ äâóõ ñêðó÷èâàíèé Äýíà â ïðèìûêàþùèõ öèëèíäðàõ. Ïðîíåñåì îäèí èç öèëèíäðîâ âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ñêðó÷èâàíèåì ÷åðåç âñþ áóòûëêó Êëåéíà. Îðèåíòàöèÿ öèëèíäðà èçìåíèòñÿ, à çíà÷èò, ñêðó÷èâàíèå Äýíà çàìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå.
Ïîëó÷èëàñü ãîìîòîïèÿ t2γ1 ∼ tγ1 t−1γ1 ∼ id. Ïðè45ýòîì îäíî ñêðó÷èâàíèå Äýíà íå ãîìîòîïíî òîæäåñòâåííîìó, òàê êàê ñóùåñòâóåò êðèâàÿ γ̂1 , èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ êîòîðîé ñ ñîáîé ðàâåí 1 mod 2, à èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ ñ tγ1 γ̂1ðàâåí 0 mod 2. Òàêèì îáðàçîì, ñêðó÷èâàíèå Äýíà ïîðîæäàåò ãðóïïó ãîìåîìîðôíóþ Z2 .Çàìå÷àíèå 4.2.  [23] äàíî îïðåäåëåíèå ìàðêèðîâêè íà êîìïàêòíîé îðèåíòèðóåìîéïîâåðõíîñòè S áåç êðàÿ ñ ïðîêîëàìè. Åñëè â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííîé ïîâåðõíîñòè Móäàëèòü èç M âñå êîìïîíåíòû êðàÿ, à èç íàáîðà {(γ1 , γ̂1 ), . . .
, (γn , γ̂n )} âûêèíóòü âñåêðèâûå γi , ãîìîòîïíûå êðàþ, è ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå γ̂i (îïèñàííûå â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû), òî ïîëó÷èòñÿ ìàðêèðîâêà îñòàâøåéñÿ ïîâåðõíîñòè.  ÷àñòíîñòè, åñëè∂M = ∅, òî íàáîð {(γ1 , γ̂1 ), . . . , (γn , γ̂n )} ÿâëÿåòñÿ ìàðêèðîâêîé íà M .  îáùåì ñëó÷àåíàáîð {(γ1 , γ̂1 ), . . .
, (γn , γ̂n )} ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ìàðêèðîâêè äëÿ íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè ñ êðàåì.4.3ÃðàôΘ,äâîéñòâåííûé íàáîðó îêðóæíîñòåéγi ïï. 4.3, 4.4, 4.5 ïîâåðõíîñòü M îðèåíòèðóåìà, {γi }ni=1 ìàêñèìàëüíûé íàáîð. Ïîñòðîèì ãðàô Θ = ΘM,{γi } . Êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi áóäåò îòâå÷àòüâåðøèíà ñòåïåíè 3, êàæäîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà ∂M âåðøèíà ñòåïåíè1. Äâå âåðøèíû ñîåäèíèì k ðåáðàìè, åñëè çàìûêàíèÿ îòâå÷àþùèõ âåðøèíàì ìíîæåñòâïåðåñåêàþòñÿ ïî k îêðóæíîñòÿì. Êàæäîé îêðóæíîñòè γi , ëåæàùåé â çàìûêàíèè òîëüêî îäíîãî ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî âåðøèíå, ñîïîñòàâèì ïåòëþ ñ êîíöàìè â ýòîéâåðøèíå. Çàìåòèì, ÷òî çàìûêàíèÿ ìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì, ïåðåñåêàþòñÿòîëüêî ïî îêðóæíîñòÿì γi . Òåì ñàìûì îêðóæíîñòè γi íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîìñîîòâåòñòâèè ñ ðåáðàìè ãðàôà Θ.Ïîñòðîèì (íåîäíîçíà÷íî) ñþðúåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ξ : M → Θ.
ÏóñòüZ ïîäìíîæåñòâî M , îòâå÷àþùåå âåðøèíå ãðàôà Θ. Åñëè Z êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ∂M ,òî îòîáðàæåíèå ξ ïåðåâîäèò âñå Z â ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó ñòåïåíè 1. Åñëè Z ñôåðàñ òðåìÿ äûðêàìè, òî â íåé ìîæíî âûäåëèòü (íåîäíîçíà÷íî) áóêåò èç äâóõ îêðóæíîñòåé,äîïîëíåíèå äî êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì òðåõ îòêðûòûõ öèëèíäðîâ.Îòîáðàæåíèå ξ ïåðåâîäèò ýòîò áóêåò â ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó ñòåïåíè 3.
Áîëüøåïðîîáðàçîâ ó âåøèí íåò. Äîïîëíåíèå îáúåäèíåíèÿ ïðîîáðàçîâ âñåõ âåðøèí â ïîâåðõíîñòèM ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì îòêðûòûõ öèëèíäðîâ, çàìûêàíèå êàæäîãî èç êîòîðûõ ñîäåðæèò ðîâíî ïî îäíîé îêðóæíîñòè γi , à çíà÷èò ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ðåáðóãðàôà Θ. Îòîáðàæåíèå ξ îïðåäåëèì íà öèëèíäðå ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:46ξ îòîáðàæàåò öèëèíäð ñþðúåêòèâíî íà ñîîòâåòñòâóþùåå îòêðûòîå ðåáðî;ξ íåïðåðûâíî íà çàìûêàíèè öèëèíäðà.Íàçîâåì ãðàô Θ0 òîïîëîãè÷åñêèì ïîäãðàôîì ãðàôà Θ, åñëè Θ0 ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ïîäïðîñòðàíñòâîì ãðàôà Θ è êàæäàÿ âåðøèíà ãðàôà Θ0 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé òàêîéæå ñòåïåíè ãðàôà Θ.
Ïðè ýòîì òî÷êà, ÿâëÿþùàÿñÿ âåðøèíîé ãðàôà Θ è ëåæàùàÿ â Θ0 ,íåîáÿçàòåëüíî âåðøèíà ãðàôà Θ0 . Ãðàô Θ0 ìîæåò íå áûòü ïîäãðàôîì Θ ñ êîìáèíàòîðíîéòî÷êè çðåíèÿ, íî îí ãîìåîìîðôåí íåêîòîðîìó ïîäãðàôó, è ýòîò ïîäãðàô ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç Θ0 äîáàâëåíèåì âåðøèí íà íåêîòîðûõ ðåáðàõ. ßñíî, ÷òî ëþáîé òîïîëîãè÷åñêèéïîäãðàô ãðàôà Θ0 ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ïîäãðàôîì ãðàôà Θ.Ïî ïðîèçâîëüíîìó òîïîëîãè÷åñêîìó ïîäãðàôó Θ0 ãðàôà Θ ïîñòðîèì ïîâåðõíîñòè MΘ0è M̃Θ0 ⊂ MΘ0 . Ïîâåðõíîñòü M̃Θ0 ⊂ M ÿâëÿåòñÿ ìàëîé ðåãóëÿðíîé îêðåñòíîñòüþ ìíîæåñòâà ξ −1 (Θ0 ) â M . Ðàññìîòðèì çàìûêàíèå ïîâåðõíîñòè M̃Θ0 â M è ñòÿíåì â òî÷êóêàæäóþ êîìïîíåíòó êðàÿ, íå ÿâëÿþùóþñÿ êîìïîíåíòîé êðàÿ äëÿ M .
Ïîëó÷åííóþ ïîâåðõíîñòü îáîçà÷èì MΘ0 . ßñíî, ÷òî M̃Θ0 ⊂ MΘ0 è M̃Θ0 ïîëó÷àåòñÿ èç MΘ0 âûêàëûâàíèåìêîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê. Íà ïîâåðõíîñòè M̃Θ0 , à çíà÷èò, è íà MΘ0 ⊃ M̃Θ0 îïðåäåëåí èíäóöèðîâàííûé íàáîð îêðóæíîñòåé γi,Θ0 ýòî òå îêðóæíîñòè γi íà ïîâåðõíîñòè M , êîòîðûåëåæàò â M̃Θ0 .Ïîâåðõíîñòü MΘ0 ñ íàáîðîì îêðóæíîñòåé {γi,Θ0 } äîïóñêàåò è êîìáèíàòîðíîå îïèñàíèå. Êàæäîé âåðøèíå ñòåïåíè 3 ãðàôà Θ0 ñîîòâåòñòâóåò ñôåðà áåç òðåõ îòêðûòûõ äèñêîâ,êàæäîé âåðøèíå ñòåïåíè 1 öèëèíäð. Êàæäîìó ðåáðó ãðàôà Θ0 ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêàãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé ïîâåðõíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèíàì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèé ñêëåéêè ñôåð áåç äèñêîâ äîñòàòî÷íî çàäàòü îðèåíòàöèþ íà êàæäîé ïîâåðõíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíå, è äåëàòü ñêëåéêó â ñîãëàñîâàíèè ñ âûáðàííûìè îðèåíòàöèÿìè.
Êðèâûå γi,Θ0 ñîâïàäàþò ñ îêðóæíîñòÿìè ñêëåéêè. Ãîìåîìîðôíûì òîïîëîãè÷åñêèìïîäãðàôàì ñîîòâåòñòâóþò ãîìåîìîðôíûå ïîâåðõíîñòè MΘ0 . Êîìáèíàòîðíîå îïèñàíèå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ïîâåðõíîñòü MΘ0 ñ íàáîðîì îêðóæíîñòåé {γi,Θ0 } ïî ëþáîìó ãðàôó Θ0 ñâåðøèíàìè ñòåïåíè 1 è 3, à íå òîëüêî ïî òîïîëîãè÷åñêîìó ïîäãðàôó ãðàôà Θ.Ëåììà 4.1. Ïóñòü Θ0 ñâÿçíûé òîïîëîãè÷åñêèé ïîäãðàô ãðàôà Θ.
Òîãäà ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíàÿ ñþðúåêöèÿ λΘ0 : M → MΘ0 , òàêàÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå λΘ0 |M̃Θ ñîâïàäàåò ñ0îòîáðàæåíèåì âêëþ÷åíèÿ M̃Θ0 ,→ MΘ0 .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 4.1 íàì ïîíàäîáèòñÿ47Óòâåðæäåíèå 4.1. Ïóñòü Θ0 ñâÿçíûé ïîäãðàô ñâÿçíîãî ãðàôà Θ, îòëè÷íûé îò âñåãîΘ. Òîãäà íàéäåòñÿ îòêðûòîå ðåáðî e â Θ \ Θ0 , òàêîå, ÷òî ëèáî e íå ìîñò, ò.å.
ãðàô Θ \ eñâÿçåí, ëèáî e âåäåò â âåðøèíó ñòåïåíè 1 ãðàôà Θ.Çäåñü è äàëåå ïîä ðåáðîì ïîíèìàåòñÿ îòêðûòîå ðåáðî.Ðàññòîÿíèåì îò âåðøèíû ãðàôà Θ äî ïîäãðàôà Θ0 íàçîâåì ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâîðåáåð, íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáðàòüñÿ îò âåðøèíû äî Θ0 . Åñëè ñâÿçíûé ïîäãðàôΘ0 ñîäåðæèò âñå âåðøèíû ãðàôà Θ, òî ðåáðî âíå Θ0 íå ìîæåò áûòü ìîñòîì. Äàëåå ñ÷èòàåì,÷òî íàéäåòñÿ âåðøèíà âíå Θ0 . Ïóñòü v ëþáàÿ èç íàèáîëåå äàëåêèõ îò Θ0 âåðøèí ãðàôàΘ, e ëþáîå èç âûõîäÿùèõ èç v ðåáåð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e ìîñò.
Åñëè âåðøèíà v ëåæèòâ òîé æå êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ãðàôà Θ \ e, ÷òî è ïîäãðàô Θ0 , òî â ãðàôå Θ ðàññòîÿíèåîò âòîðîé âåðøèíû v 0 ðåáðà e äî ãðàôà Θ0 íà åäèíèöó áîëüøå, ÷åì îò âåðøèíû v , òàê êàêëþáîé ïóòü îò v 0 äî Θ0 ïðîõîäèò ÷åðåç ðåáðî e. Çíà÷èò, âåðøèíà v ëåæèò â êîìïîíåíòåñâÿçíîñòè ãðàôà Θ \ e, íå ñîäåðæàùåé ïîäãðàô Θ0 . Åñëè âåðøèíà v èìååò ñòåïåíü áîëüøå1, òî îíà ñîåäèíåíà ñ íåêîòîðîé âåðøèíîé v 00 (âîçìîæíî, ñîâïàäàþùåé ñ v ) ðåáðîì e0 ,îòëè÷íûì îò e.
Åñëè v 00 6= v , òî ëþáîé ïóòü îò v 00 äî Θ0 ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó v ,ïîýòîìó v 00 äàëüøå îò Θ0 , ÷åì v , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó âåðøèíû v . Åñëè v 00 = v , òîðåáðî e0 ⊂ Θ \ Θ0 ïåòëÿ, à çíà÷èò íå ìîñò. Óòâåðæäåíèå 4.1 äîêàçàíî.Òåïåðü äîêàæåì ëåììó 4.1. Åñëè Θ0 = Θ, òî λΘ0 = idM . Ïóñòü Θ0 ( Θ. Áóäåì ñòðîèòü îòîáðàæåíèå λΘ0 ïî èíäóêöèè.
Ïóñòü îòîáðàæåíèå λΘ1 ïîñòðîåíî äëÿ íåêîòîðîãîñâÿçíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïîäãðàôà Θ1 ãðàôà Θ, ñîäåðæàùåãî Θ0 â êà÷åñòâå ñâîåãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïîäãðàôà. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 4.1 â Θ1 \ Θ0 íàéäåòñÿ ðåáðî e ãðàôà Θ1 ,ëèáî âåäóùåå â âåðøèíó ñòåïåíè 1, ëèáî íå ÿâëÿþùååñÿ ìîñòîì. Îïèøåì ìàêñèìàëüíûéïî âêëþ÷åíèþ òîïîëîãè÷åñêèé ïîäãðàô Θ2 ⊂ Θ1 , íå ñîäåðæàùèé ðåáðî e. Åñëè ðåáðî eíå ÿâëÿåòñÿ ïåòëåé, òî Θ2 ïîëó÷àåòñÿ èç Θ1 óäàëåíèåì âíóòðåííèõ òî÷åê ðåáðà e, óäàëåíèåì êîíöåâîé âåðøèíû ñòåïåíè 1, åñëè òàêàÿ åñòü, è çàìåíîé êàæäîé êîíöåâîé âåðøèíûñòåïåíè 3 ñ äâóìÿ íå âõîäÿùèìè â e ðåáðàìè íà îäíî ðåáðî. Åñëè ðåáðî e ÿâëÿåòñÿ ïåòëåé, òî íàéäåòñÿ ðåáðî e0 , âûõîäÿùåå èç êîíöåâîé âåðøèíû ïåòëè e è çàêàí÷èâàþùååñÿâ âåðøèíå v ñòåïåíè 3.
Ãðàô Θ2 ïîëó÷àåòñÿ èç Θ1 óäàëåíèåì ðåáåð e è e0 âìåñòå ñ èõîáùåé âåðøèíîé è çàìåíîé âåðøèíû v è äâóõ îñòàâøèõñÿ âûõîäÿùèõ èç íåå ðåáåð íàîäíî ðåáðî. Çàìåòèì, ÷òî óäàëåííûå ïîäìíîæåñòâî Θ1 \ Θ2 ãðàôà Θ1 íå ïåðåñåêàåòñÿ íè ñêàêèì òîïîëîãè÷åñêèì ïîäãðàôîì Θ1 , îòëè÷íûì îò âñåãî Θ1 , à çíà÷èò Θ0 ⊂ Θ2 .
Çàìåòèìòàêæå, ÷òî âåðøèíû ãðàôà Θ1 , íå ÿâëÿþùèåñÿ âåðøèíàìè Θ2 , íå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìèíèêàêîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïîäãðàôà Θ1 , îòëè÷íîãî îò âñåãî Θ1 . Òàêèì îáðàçîì, ãðàô Θ048ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ïîäãðàôîì ãðàôà Θ2 .Èç âêëþ÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé M̃Θ2 ⊂ M̃Θ1 ⊂ MΘ1 ñëåäóåò, ÷òî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòüíåïðåðûâíóþ ñþðúåêöèþ λΘ1 ,Θ2 : MΘ1 → MΘ2 ñ óñëîâèåì λΘ1 ,Θ2 |M̃Θ = idM̃Θ è îïðåäåëèòü22λΘ2 := λΘ1 ,Θ2 ◦ λΘ1 .Åñëè ðåáðî e ÿâëÿåòñÿ ïåòëåé èëè âåäåò â âåðøèíó ñòåïåíè 1, òî îïðåäåëèì ñþðúåêöèþλΘ1 ,Θ2 |MΘ1\M̃Θ2êàê îòîáðàæåíèå, îáðàçîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà MΘ2 \ M̃Θ2 .
Ïî-ëó÷åííîå îòîáðàæåíèå λΘ1 ,Θ2 áóäåò ñîâïàäàòü ñî ñòÿãèâàíèåì ïîäìíîæåñòâà MΘ1 \ M̃Θ2 ⊂MΘ1 â îäíó òî÷êó, à çíà÷èò, íåïðåðûâíî. Ïóñòü âåðøèíû ðåáðà e ðàçëè÷íû è èìåþòñòåïåíü 3. Òîãäà ìíîæåñòâî MΘ1 \ M̃Θ2 ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì öèëèíäðîì, à ìíîæåñòâîMΘ2 \ M̃Θ2 ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê. Ðåáðî e â ýòîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì ãðàôà Θ1 ,ïîýòîìó íàéäåòñÿ ïóòü ìåæäó âåðøèíàìè ðåáðà e ïî ãðàôó Θ2 , à çíà÷èò, íàéäåòñÿ ïóòüτ : [0, 1] → MΘ2 ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ìíîæåñòâà MΘ2 \ M̃Θ2 ïî ïîâåðõíîñòè MΘ2 . Îïðåäåëèì îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ λΘ1 ,Θ2 íà ìíîæåñòâî MΘ1 \ M̃Θ2 êàê êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèÿ â îòðåçîê, ïåðåâîäÿùåãî îñíîâàíèÿ öèëèíäðà â êîíöû îòðåçêà, è îòîáðàæåíèÿτ . Òàêèì îáðàçîì, ñþðúåêöèÿ λΘ1 ,Θ2 ïîñòðîåíà íà âñåé ïîâåðõíîñòè MΘ1 .
Ïî èíäóêöèèáóäåò ïîëó÷åíî îòîáðàæåíèå λΘ0 . Ëåììà 4.1 äîêàçàíà.4.4Ëåììû î íåãîìîòîïíîñòè êðèâûõÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 4.3 íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû î ñîïðÿæåííîñòèâ ñâîáîäíûõ ïðîèçâåäåíèÿõ ñ àìàëüãàìèðîâàííîé ïîäãðóïïîé [26], òåîðåìà 2.8, à èìåííîÓòâåðæäåíèå 4.2. Ïóñòü G, H ãðóïïû, A ⊂ G ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ îäíèìýëåìåíòîì g , φ : A → H ìîíîìîðôèçì. Ðàññìîòðèì ãðóïïó P = G∗g=φ(g)H .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
