Погружения графов в поверхности (1104454)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 515.162.6Ïåðìÿêîâ Äìèòðèé Àëåêñååâè÷Ïîãðóæåíèÿ ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:àêàäåìèê ÐÀÍ,ïðîôåññîð À.Ò. Ôîìåíêî,ê.ô.ì.í. Å.À. ÊóäðÿâöåâàÌîñêâà 2016ÑîäåðæàíèåÂâåäåíèå31×èñëî âðàùåíèÿ: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû71.1Îïðåäåëåíèÿ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2Ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132345Ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè172.1Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïëîñêîñòü . . . . . .
. . . . . . . . .172.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.3Ãîìîòîïíîñòü ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.4Íåîáõîäèìîñòü â Òåîðåìå 2.2 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.5Äîñòàòî÷íîñòü â Òåîðåìå 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè293.1Îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .293.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.3Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.4Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363.5Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.3 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñêðó÷èâàíèé Äýíà444.1Îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.2Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.3Ãðàô Θ, äâîéñòâåííûé íàáîðó îêðóæíîñòåé γi. . . .
. . . . . . . . . . . .464.4Ëåììû î íåãîìîòîïíîñòè êðèâûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494.5Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M . . . . . .514.6Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M . . . . .53Çàêëþ÷åíèå53Ñïèñîê ëèòåðàòóðû552ÂâåäåíèåÎáçîð îñíîâíûõ èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâÏîãðóæåíèÿ êðèâûõ âñåãäà âûçûâàëè èíòåðåñ. Ïîãðóæåíèå êðèâîé â ïëîñêîñòü åñòåñòâåííî âîçíèêàåò êàê ïðîåêöèÿ óçëà.
Ãàóññ [25], ñì. ñòð. 271-286, ðàññìàòðèâàë êîíå÷íûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû. Îí çàäàâàëñÿ âîïðîñîì, êàêèå èç òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîîòâåòñòâóþò ñàìîïåðåñå÷åíèÿì ïðîåêöèè óçëàíà ïëîñêîñòü. Çàäà÷à áûëà ðåøåíà Òðåéáèãîì [33].Óèòíè [34] îïðåäåëÿåò ÷èñëî âðàùåíèÿ êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé. Îí ïðåäëîæèë ñëåäóþùóþ êëàññèôèêàöèþ ïîãðóæåíèé êðèâûõ âïëîñêîñòü.Òåîðåìà 0.1 (Whitney-Graustein, [34]).
Äâå çàìêíóòûå ðåãóëÿðíûå êðèâûå ìîãóò áûòüïðîäåôîðìèðîâàíû îäíà â äðóãóþ, ò.å. ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ â êëàññåçàìêíóòûõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ÷èñëà âðàùåíèÿ ñîâïàäàþò.Óèòíè òàêæå ñâåë ïîäñ÷åò ÷èñëà âðàùåíèÿ ê ïîäñ÷åòó êîëè÷åñòâà òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ðàçíûõ òèïîâ, ñì. [34], Òåîðåìà 2.Ñìåéë ðåøèë çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè ïîãðóæåíèé êðèâûõ â òåðìèíàõ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ.Òåîðåìà 0.2 (Smale, [32]).
Ïóñòü x0 òî÷êà åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T 1 Mðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ M . Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìåæäó π1 (T 1 M, x0 ) è ìíîæåñòâîì êëàññîâ (ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè, ñîõðàíÿþùåé êîíöû è íàïðàâëåíèÿ â íèõ) ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ íà M ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè è íàïðàâëåíèÿìè â íèõ,çàäàâàåìûìè x0 .Ðåéíõàðò [29] îïðåäåëèë ÷èñëî âðàùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ñ íåïóñòûì êðàåì. Îí ðàññìàòðèâàë îðèåíòèðóåìóþ çàìêíóòóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü è êðèâóþ ñ ôèêñèðîâàííûìè â áàçèñíîé òî÷êå x ∈ M êîíöàìè è íàïðàâëåíèåì, çàäàâàåìûì âåêòîðîì x0 ∈ Tx1 M .×èñëî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿëîñü ïî ìîäóëþ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ïîâåðõíîñòè. Òî÷íåå, Ðåéíõàðò îïðåäåëèë è äîêàçàë ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ãîìîìîðôèçìà âðàùåíèÿ ω : πR (M, x0 ) → Zχ èç ãðóïïû êëàññîâ ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êðèâûõ â êîëüöîöåëûõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè χ ïîâåðõíîñòè M , äëÿ êîòîðîãî ω = 03íà íåêîòîðîì íàáîðå îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè, è ω = 1 íà ïðîñòîé ñòÿãèâàåìîé ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé êðèâîé.
 ïðîäîëæåíèè [30] Ðåéíõàðò ðàñøèðèë îïðåäåëåíèå÷èñëà âðàùåíèÿ äëÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ.×èëèíãâîðñ â ñòàòüå [20] è åå ïðîäîëæåíèè [21] äàë ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ÷èñëà âðàùåíèÿ ωX (γ, x) îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî ïîëÿ X áåç íóëåé. Íåôîðìàëüíî, ÷èñëîâðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé, íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X , îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Äëÿíåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ìîäóëþ 2.Òåîðåìà 0.3 (Chillingworth, [20], òåîðåìà 3.1.).
Ïóñòü M ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ñ íåïó-ñòûì êðàåì. Ïóñòü γ1 , γ2 äâå ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ ðåãóëÿðíûå çàìêíóòûå êðèâûåíà ïîâåðõíîñòè M , ñ ñîâïàäàþùèì âåêòîðîì ñêîðîñòè X(x) â íà÷àëüíîé òî÷êå, ãäå X âåêòîðíîå ïîëå áåç íóëåé íà M è x ∈ M . Ïóñòü [γ1 ] = [γ2 ] ∈ π1 (M, x). Òîãäà γ1 ðåãóëÿðíîãîìîòîïíà γ2 îòíîñèòåëüíî X(x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ωX (γ1 , x) = ωX (γ2 , x).Ïîìèìî ýòîãî, â ðàáîòàõ [20], [21] äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü (äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðííîãî ïîëÿ) ÷èñëó âðàùåíèÿ, îïðåäåëåííîìó Ðåéíõàðòîì, à òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîâðàùåíèÿ äëÿ ýëåìåíòà ãðóïïû π1 (M, x0 ).  ñòàòüå åñòü îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòîâ íà ñëó÷àè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, ìåíÿþùåé îðèåíòàöèþ êðèâîé èëè îòñóòñòâèÿáàçèñíîé òî÷êè, íî àíàëîã òåîðåìû Óèòíè-Ãðàóøòåéíà äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ íå ïîëó÷åí.Áóðìàí è Ïîëÿê [19] ðàññìàòðèâàëè îðèåíòèðóåìóþ ñâÿçíóþ ïîâåðõíîñòü è çàìêíóòûåêðèâûå áåç áàçèñíîé òî÷êè.
Èõ ôîðìóëû óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè âðàùåíèÿè ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè êðèâûõ.Íèêêóíè [28] âû÷èñëèë èíâàðèàíò Âó äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ âïëîñêîñòü è ïîêàçàë, ÷òî äâà ïîãðóæåíèÿ ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà èõ èíâàðèàíòû Âó ñîâïàäàþò.Ãðóïïà ãîìåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòè äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå ïîãðóæåíèé êðèâûõ âïîâåðõíîñòü. Èññëåäîâàíèå ýòîãî äåéñòâèÿ ÷àñòî ïîìîãàåò óñòàíîâèòü íåòðèâèàëüíîñòüãîìåîìîðôèçìà, ò.å. åãî íåèçîòîïíîñòü òîæäåñòâåííîìó. Ñêðó÷èâàíèå Äýíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïðèìåðîì íåòðèâèàëüíîãî ãîìåîìîðôèçìà è âîçíèêàåò â ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷àõ, àïîòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ.Áèðìàí è ñîàâòîðû [18] ðàññìàòðèâàþò îðèåíòèðóåìóþ êîìïàêòíóþ ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòü M , êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâçÿçíîñòè êîòîðîé èìååò îòðèöàòåëüíóþ ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó. Îíè îïðåäåëÿþò ãðóïïó M(M ) êëàññîâ èçîòîïèé àâòîìîðôèçìîâ (ò.å.
ñîõðàíÿ4þùèõ îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçìîâ) ïîâåðõíîñòè M , ñîõðàíÿþùèõ êàæäóþ êîìïîíåíòóñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòè è ïåðåâîäÿùèõ êàæäóþ ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü â ñåáÿ. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ïîäãðóïïà â M(M ) êîíå÷íî ïîðîæäåíà, íå ñîäåðæèò êðó÷åíèÿ,è ðàíã îãðàíè÷åí ÷èñëîì 3g + b − 3c, ãäå g ðîä ïîâåðõíîñòè, b êîëè÷åñòâî ãðàíè÷íûõîêðóæíîñòåé, c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè.  òîé æå ñòàòüå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òîñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âäîëü íàáîðà ïðîñòûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âëîæåííûõ îêðóæíîñòåé (ò.å. êðèâûõ) íà îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè ïîðîæäàþò àáåëåâó ïîäãðóïïó, ðàíãêîòîðîé äîñòèãàåò óêàçàííóþ âåðõíþþ îöåíêó. Ñîãëàñíî ðàáîòå Äýíà [22], ñêðó÷èâàíèÿÄýíà âäîëü âñåâîçìîæíûõ äâóñòîðîííèõ êðèâûõ ïîðîæäàþò ãðóïïó M(M ).Óïîìÿíóòûé âûøå ðåçóëüòàò Áèðìàí è ñîàâòîðîâ èìååò âàæíûå ïðèëîæåíèÿ.
Íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðåçóëüòàòà è âàæíîãî ðåçóëüòàòà Êóäðÿâöåâîé è Ïåðìÿêîâà [2]î ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé Ìîðñà íà ïðîèçâîëüíûõ (îðèåíòèðóåìûõ è íåîðèåíòèðóåìûõ)ïîâåðõíîñòÿõ, Êóäðÿâöåâà â öèêëå ðàáîò [3], [4], [5], [6], [7] áîëåå äåòàëüíî èçó÷àåò ãîìîòîïè÷åñêèé òèï ýòèõ ïðîñòðàíñòâ â ñëó÷àå îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òîóïîìÿíóòûé âûøå ðåçóëüòàò Áèðìàí è ñîàâòîðîâ, à òàêæå èñïîëüçóþùèé åãî ðåçóëüòàòÊóäðÿâöåâîé, ïîëó÷åíû òîëüêî äëÿ îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïîýòîìó çàäà÷à ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðåçóëüòàòà Áèðìàí è ñîàâòîðîâ íà ñëó÷àé íåîðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåéïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà àêòóàëüíîé.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏîëó÷èòü êðèòåðèé ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ãðàôàâ ñâÿçíóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü M . Ïîëó÷èòü êëàññèôèêàöèþ òàêèõ ïîãðóæåíèé. Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷èòü àíàëîã òåîðåìû Óèòíè-Ãðàóøòåéíà äëÿ çàìêíóòîé êðèâîé íà íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè áåç áàçèñíîé òî÷êè. Âû÷èñëèòü ðàíã àáåëåâîé ïîäãðóïïû ãðóïïû êëàññîâ îòîáðàæåíèé ïîâåðõíîñòè, ïîðîæäåííîé ñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã ïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé íà ïîâåðõíîñòè.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè1.
Ïîñòðîåí èíâàðèàíò invX,F0 ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðó-æåíèé ãðàôîâ â êîìïàêòíûå ïîâåðõíîñòè (îðèåíòèðóåìûå èëè íåîðèåíòèðóåìûå, ñ êðàåìèëè áåç êðàÿ), îáîáùàþùèé èíâàðèàíò Á.Ë. Ðåéíõàðòà ÷èñëî âðàùåíèÿ ðåãóëÿðíûõïîãðóæåíèé îêðóæíîñòè â ïîâåðõíîñòü ñ íåïóñòûì êðàåì, ñì. ðàçäåë 3.1.52. Ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ëþáîãî êîíå÷íîãî ãðàôàâ ïðîèçâîëüíóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè.
Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷åí êðèòåðèé ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè äâóõ ïîãðóæåíèé, ñì. òåîðåìû 2.2,3.1, 3.2, 3.3 èëè ðàáîòû àâòîðà [12], [14].3. Âû÷èñëåí ðàíã àáåëåâîé ïîäãðóïïû ãðóïïû êëàññîâ îòîáðàæåíèé ïîâåðõíîñòè, ïî-ðîæäåííîé ñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ äâóñòîðîííèõ îêðóæíîñòåé íà íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, ñì. òåîðåìó 4.1 èëè ðàáîòó àâòîðà [13].Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòûÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü:(1) íà ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû (ðóêîâîäèòåëè àêàä.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
