Диссертация (1104429), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В случае плазмы с резкой границей (   0 ) решение (4.2.12) переходит в выражение (1.2.7). В отличие отпростейших спектров (1.2.7), частоты (4.2.12) являются комплексными и зависят от волнового числа k z . Это – основные эффекты, к которым приводитразмытость границы плазмы в длинноволновом пределе.При k z   1 из общего дисперсионного уравнения (4.2.7) можно найтипомимо частотного спектра (4.2.12) еще и следующий спектр:   p01 i.2  kz(4.2.13)Формула (4.2.13) описывает сильно затухающее поверхностное возмущение,которое, именно из-за его сильного затухания, можно было бы вообще неупоминать. Однако, в коротковолновой области ( k z   1) возмущение (4.2.13),как будет показано ниже, оказывается слабозатухающим.

В коротковолновойобласти формула (4.2.13) нуждается в уточнении, поскольку само дисперсионное уравнение (4.2.11) применимо только в длинноволновом пределе. Случай произвольных значений k z  будет рассмотрен в дальнейшем.Теперь перейдем к рассмотрению поверхностных волн магнитоактивной плазмы с профилем (2.2.1) в волноводе, образованном металлическими95плоскостями x  L0 и x    L0 ( L0  0 , Рис. 2.1б). Поскольку на металлических плоскостях электростатический потенциал равен нулю, то вместо (4.2.4)справедливы следующие решения: L0  x  0 , A exp( k z x)1  exp( 2k z L0 ) exp( 2k z x) , B exp(  x)1  exp[ 2 (  L0 )] exp( 2 x) ,   x    L0 .(4.2.14)В области неоднородности плазмы по-прежнему имеет место решение (4.2.5).Для исключения произвольных постоянных в решениях (4.2.5) и (4.2.14),следует сшить их на границах x  0 и x   используя соответствующие граничные условия.

В итоге получаем следующую систему уравнений:A[1  exp( 2k z L0 )]  C ln ~x0  D ,1Ak z [1  exp( 2k z L0 )]  C ~ ,x0B exp(  )[1  exp( 2L0 )]  C (ln(   ~x0 )  i s)  D ,B exp(  )[1  exp( 2L0 )]  C(4.2.15)1.~x0После исключения произвольных постоянных в (4.2.15), получаем дисперсионное уравнениеth ( L0 ) th (k z L0 )~x ln ~ 0  i s  0 ,~~ (  x0 )k z x0x0(4.2.16)которое можно также записать в виде:th (k z  ||   L0 ) p2 0 ||   ( 2g   2 )th (k z L0 ) p2 0 2   e2  2g   2 k z  ln 2 i s   0 .2  e(4.2.17)Если в уравнении (4.2.17) положить  e2  0 , то оно преобразуется в уравнение(2.5.7) в отсутствии внешнего магнитного поля.Дисперсионное уравнение (4.2.17) может быть записано и в иной форме, а именно: || th (k z  ||   L0 )k (  ~x0 )  ||    ~x ln ~ 0  i s   . zth (k z L0 )th (k z L0 )   x0(4.2.18)Можно видеть, что в случае плазмы с резкой границей, дисперсионное уравнение (4.2.18), переходит в ранее полученное уравнение (1.2.10)Для решения уравнения длинноволнового приближения (4.2.18) также96следует использовать метод последовательных приближений, который былприменен ранее при решении уравнения (4.2.9).

Опуская промежуточные выкладки, приведем только окончательный результат2  p2 0   e2    p2 0   e2  g  1 ,1  kz lni 2222 8p0p0e  2   e2  1 1 i ,2  4 L0 2p0k z L0  1,(4.2.19)k z L0  1 .В случае плазмы без внешнего магнитного поля, т.е.  e2  0 , первое решение(4.2.19) переходит в (2.2.8), а второе – в (2.5.9). При   0 решение (4.2.19)переходит в (1.2.11) (если положить L1  L2  L0 ).§4.3. Поверхностные волны плазменного слоя в длинноволновом приближенииСвойства поверхностных волн в плазме с двумя резкими границами вовнешнем магнитном поле были рассмотрены в первой главе, теперь же рассмотрим как изменится характер поверхностных волн при размытии двухплазменных границ.

Пусть нерезкие границы плазмы расположены в областях  x2  x   x1 и x1  x  x2 ( x2  x1 ), а в области x  [ x1 , x1 ] плазма являетсяоднородной (Рис 2.14а). Поскольку система симметрична относительно нуля,ограничимся рассмотрением области x  0 , в которой ленгмюровская частотаэлектронов плазмы определяется формулой (2.6.1).В области неоднородности плазмы x1  x  x2 потенциал  (x) удовлетворяет уравнению (4.2.2), в котором2 2  e2~xx( x2  x1 ) .иx0  x2 (xx)022122 p0 p0(4.3.2)Поэтому при x1  x  x2 потенциал определяется формулой (4.2.5). Вне области неоднородности плазмы, потенциал определяется формулами AFh ( x) , B exp[k z x] , ( x)  0  x  x1x  x2,(4.3.3)где97sh( x),Fh( x)  ch( x), ( x)  нечетная функция x. ( x)  четная функция x(4.3.4)Сшивая решения (4.2.5) и (4.3.3) на границах x  x1 и x  x2 с использованиемграничных условий, получаем следующую систему уравненийAFh ( x1 )  C ln( ~x0  x1 )  D,1,x0  x1 AFh ( x1 )  C ~Bexp[k z x2 ]  C (ln( x2  ~x0 )  i s  )  D ,k z Bch[k z x2 ]  C(4.3.5)1,x2  ~x0исключая произвольные постоянные в системе (4.3.5), находим дисперсионное уравнение~x0  x1Th(  x1 )1ln i s   0,~~ ( x0  x1 ) k z ( x2  x0 )x2  ~x0(4.3.6)th ( x1 ), нечетная волнаTh ( x1 )  . cth ( x1 ), четная волна(4.3.7)гдеВидно, что в отсутствии внешнего магнитного поля уравнение (4.3.6) переходит в (2.6.8).Из (4.3.6) следуют два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы ||  ~x  x th (k z x1  ||   )  k z ( ~x0  x1 ) ||  ln 0 ~1  i s  ,   x 2  x0 ||  ~x  x cth (k z x1  ||   )  k z ( ~x0  x1 ) ||  ln 0 ~1  i s  .   x 2  x0(4.3.8)В случае плазмы с резкими границами дисперсионные уравнения(4.3.8) переходят в ранее полученные дисперсионные уравнения (1.2.13б).Первое уравнение (4.3.8) определяет частоту нечетной волны, а второе уравнение (4.3.8) – четной.Для решения уравнений (4.3.8) следует использовать метод последовательных приближений, который был продемонстрирован в предыдущем параграфе.

В результате несложных выкладок получаем следующие выражения98для определения частотных спектров поверхностных волн: 2   2g   p2 0 k z x1[1  k z ( x2  x1 )(ln k z x1  i  )] , p2 0 k z x1   e2   k x 1  k z ( x2  x1 ) p2 022p0 z 1  2g ln  i   .   p2 0 k z x1   e2  (4.3.9)Можно заметить, что в отсутствии внешнего магнитного поля, т.е. при e  0 ,первое выражение в (4.3.9), переходит в первое уравнение в (2.6.11), а второевыражение в (4.3.9) во второе выражение в (2.6.11).

В случае же плазмы срезкой границей, первое выражение в (4.3.9), переходит в (1.2.15), а второевыражение в (4.3.9) переходит в (1.2.19). Поскольку ln( 1)  i , то из второйформулы (4.3.9) следует, что при  p20 k z x1  e2 декремент затухания четнойволны равен нулю. Это обусловлено тем, что при  2  e2 точка плазменногорезонанса находится вне области неоднородности плазмы ( ~x0 ()  x2 , см.(4.3.2)).Теперь перейдем к рассмотрению слоя магнитоактивной плазмы в волноводе. Пусть при x   L0 расположены проводящие стенки, границы волновода (Рис.

2.14б). В этом случае выражение для потенциала имеет вид0  x  x1 AFh ( x) ,. B sh[k z ( L0  x)] , x2  x  L0 ( x)  (4.3.10)Решение в области неоднородности плазмы останется прежним (4.2.5). Сшивая решения (4.2.5) и (4.3.10) на границах x  x1 и x  x2 используя граничныеусловия, получаем следующую систему уравнений:AFh ( x1 )  C ln( ~x0  x1 )  D,1,x0  x1 AFh ( x1 )  C ~Bsh[k z ( L0  x2 )]  C (ln( x2  ~x0 )  i s  )  D ,k z Bch[k z ( L0  x2 )]  C(4.3.11)1.x2  ~x0После исключения из системы (4.3.11) произвольных постоянных, получаемискомое дисперсионное уравнение99~x0  x1Th(  x1 ) th[k z ( L0  x2 )]ln i s   0,~~ ( x0  x1 )k z ( x2  x0 )x2  ~x0(4.3.12)Видно, что в отсутствии внешнего магнитного поля уравнение (4.3.12) переходит в (2.6.16).

Из (4.3.12) находим два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы вволноводе:   ||   th[k z ( L0  x2 )]  th(  x1 )   k z ( ~x0  x1 ) ||  ~x0  x1 ln i s   ,~   x 2  x0(4.3.13)  ~x  x ||   th[k z ( L0  x2 )]  cth(  x1 )  k z ( ~x0  x1 ) ||  ln 0 ~1  i s   .   x 2  x0Можно заметить, что в случае плазмы с резкими границами дисперсионныеуравнения (4.3.13) переходят в ранее полученные уравнения (1.2.23б).

Дляопределения спектров частот поверхностных волн в плазме используем продемонстрированный ранее метод последовательных приближений. В итогеполучаем следующие спектры:2  2122 x1 ( L0  x2 )( x2  x1 ) F1 , e ( L0  ( x2  x1 ))   p 0 ( L0  x2 )   p 02L0  ( x2  x1 ) ( L0  ( x2  x1 )) (4.3.14) 2  k z2 x1 ( L0  x2 ) p2 0  k z2 x1 ( x2  x1 )(k z2 x1 ( L0  x2 ) p2 0   e2 )  F2 ,здесьF1  lnF2  lnx1i ,L0  x2 2g  k z2 x1 ( L0  x2 ) p2 0k z2 x1 ( L0  x2 ) p2 0   e2(4.3.15) i .В отсутствии внешнего магнитного поля первое выражение в (4.3.14) сводится к первому выражению в (2.6.18), а второе выражение в (4.3.14) ко второмувыражению (2.6.18).

В случае плазмы с резкими границами ( x1  x2  x0 ) выражения (4.3.14) переходят в ранее полученные выражения (1.2.24).§4.4. Общее дисперсионное уравнение для поверхностных волнмагнитоактивной плазмы с плавной границейТеперь перейдем к получению точного дисперсионного уравнения,описывающего поверхностные волны плазменного полупространства с раз100мытой границей при наличии внешнего магнитного поля (Рис.

2.1а). В этомслучае необходимо использовать точное дифференциальное уравнение(4.2.1). В области однородности плазмы решение уравнение (4.2.1) остаетсяпрежним (4.2.4). Далее, обозначим линейно независимые решения уравнения(4.2.1) через W1, 2 ( x) . Заметим, что одно из этих решений, для определенностиW1 , имеет при x  ~x0 логарифмическую особенность. Тогда другое решениеW2 особенностей не имеет.

Общее решение уравнения (4.2.1) в области неод-нородности плазмы запишем в виде ( x)  CW1 ( x)  DW2 ( x) .(4.4.1)Далее, подставляя решения (4.2.4) и (4.4.1) в граничные условия и исключаяпостоянные A, B, C, D , получим следующее дисперсионное уравнение:W1()   W1 () W1(0)  k z W1 (0) 0.W2()   W2 () W2(0)  k z W2 (0)(4.4.2)Здесь W1, 2 ( x)  dW1, 2 ( x) dx . Таким образом, остается только найти явный видлинейно независимых решений W1, 2 ( x) .

При этом необходимо учитывать наличие особой точки ~x0 ( ) и необходимость ее обхода в соответствии с правилом Ландау.В качестве линейно независимых решений дифференциального уравнения (4.2.1) можно, например, взять следующие функции [85]:~1U( x)    exp[   ( ~x0  x)]U  [1   ( ~x0  x0 )], 1, 2  ( ~x0  x) ,2~ 1L( x)  exp[   ( ~x0  x)]L  [1   ( ~x0  x0 )], 2  ( ~x0  x) , 2(4.4.3)где U(a, b, z ) - вырожденная гипергеометрическая функция, L(a, z ) - функцияЛагерра.

В частном случае ~x0  x0 , имеющем место при e  0 , справедливыформулы exp(  z ) U(1 / 2, 1, 2 z )  K 0 ( z ),(4.4.4)exp(  z )L(1 / 2, 2 z )  I 0 ( z ).Здесь K0 ( z) - функция Макдональда, I 0 ( z ) - функция Инфельда, а z  k z ( x0  x) .101~Поскольку функция L( x) не имеет особенностей, то можно положить~W2 ( x)  L( x) .(4.4.5)~Функция U ( x) имеет логарифмическую особенность при x  ~x0 , но простовзять ее в качестве решения W1 ( x) нельзя, поскольку при этом не будет учтено правило Ландау.

Характеристики

Список файлов диссертации