Диссертация (1104299), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Таким образом, мы можем положить:d 2C pdx 2 k pxdC pdx.(1.36)Это дает возможность пренебречь вторыми производными в (1.35).Следующим шагом является учет ортогональности гармонических функций в(1.35). В результате получается система связанных уравнений [А6,А7]:dC pdxqp2C p 1 exp j p x   C p 1 exp  j p 1x  ,( p  0,  1,  2, ... )(1.37)с дополнительными условиями: p  0  p ,k p 1, z  k pz  K z(1.38)k p 1 sin  p 1  k p sin  p  K cos  .или(1.39)Система (1.37) описывает ситуацию, в которой каждый дифракционный максимум pвзаимодействует только с двумя соседними максимумами p  1 и p  1 .

Двух- и болеефононные взаимодействия не рассматриваются в обычно решаемых АО задачах.Эффективность дифракции зависит от двух наборов параметров: q p и  p . КоэффициентыАО связи q p определяются соотношениями:qp 2p nnk pxc22n2 Mwa , cos  p  cos  p(1.40)где wa – плотность акустической мощности, а M – коэффициент АО качества.

Параметрырасстройки  p характеризуют степень нарушения фазового синхронизма: p  k px  K x  k p 1, x  k p cos  p  K sin   k p 1 cos  p 1  k p cos  p  K sin   k 2p 1  k p sin  p  K cos  2 .(1.41)Условие фазового синхронизма 0  0 определяет угол Брэгга  B для +1-го порядкадифракции:fsin  B     2n0VV2221  2 2 n0  n1  f .(1.42)Для численных расчетов удобно перейти к безразмерным величинам:X x,lp  q p l 2n l, cos  p(1.43)26R p   pl 22 ffl n p cos  p  sin   n 2p 1   n p sin  p cos    . VV (1.44)Тогда система уравнений (1.37) принимает вид:dC pdXp2C p 1 exp jRp X   C p 1 exp  jRp 1X  .(1.45)Важно отметить, что эта система описывает АО взаимодействие в любом режимедифракции: раман-натовском, брэгговском и промежуточном, и также справедлива какдля изотропной, так и для анизотропной дифракции.

В последнем случае, необходимоучитывать измененияпоказателей преломления n p в зависимости от направленийраспространения света  p .Вакустооптикепринятоотсчитыватьуглы,задающиенаправлениядифрагированных волн, от фронта акустической волны [3]. В нашем случае это означаетзамену переменных  p   p   . Такая замена не меняет вид уравнений (1.45). Однакопараметры p и R p принимают несколько другой вид:p Rp 2nl, cos p   22 ff l n p cos  p    sin   n 2p 1   n p sin  p    cos    . VV (1.46)(1.47)Отметим, что переход от углов  p к углам  p превращает соотношение (1.42) вхорошо известную формулу (1.32), описывающую угол Брэгга в анизотропной среде. Изэтого следует, что снос акустической энергии не оказывает влияния на условие фазовогосинхронизма.

Однако выражения для p и R p меняются, что означает изменениедиапазона АО взаимодействия и, следовательно, угловых, частотных и спектральныххарактеристик.1.2.3. Брэгговская дифракция в анизотропной средеОдним из основных параметров, характеризующих дифракцию света наультразвуке, является волновой параметр АО взаимодействия (параметр Кляйна-Кука)Q  2 l n2  2 lf 2 nV 2 . Наибольший практический интерес представляет случайQ >> 1.

При этом обычно наблюдается только один боковой максимум +1-го или –1-гопорядка. В этом случае система (1.45) принимает вид:27 dC0 0 dX  2 C1 exp  jR0 X   ,dC 1   1 C exp - jR X   00 dX2(1.48)0 dC0 dX   2 C1 exp - jR1 X   .dC1  1 C exp  jR X   01 dX2(1.49)Решение этих систем уравнений приводит к следующим выражениям для эффективностидифракции  :1  C1 l C1* l  12 1sinc 2 0 1  R02  ,4 2 1  C1 l C*1 l  21 1sinc 2 0 1  R21  .4 2Таким образом, эффективность дифракции определяется параметрами(1.50)(1.51) и R, которыезависят от угла сноса  .

Заметим, что зависимость   является тривиальной; величинаАО эффекта пропорциональна длине пути, который свет проходит внутри акустическогополя: L0,1  l cos 0,1   при рассеянии в +1-й порядок и L0,1  l cos 0,1   прирассеянии в –1-й. Обычно полный угол дифракции, т.е. угол между нулевым и ±1-мипорядками не превышает 10°, так что с хорошей степенью точности можно положить0  1  1 . Уравнения (1.50) и (1.51) вместе с (1.46) и (1.47) позволяют рассчитатьугловые, частотные и спектральные характеристики АО взаимодействия для обоихвариантов взаимодействия: как изотропного, так и анизотропного.Уравнения (1.39) и (1.41) для p = 0, 1 могут быть интерпретированы как проекциина оси x и z векторного соотношения:k1  k 0  K  η0 ,(1.52)где η0 – вектор расстройки для дифракционного перехода 0  1 .

Этот вектор направленортогонально к вертикальным границам звукового пучка. Длина вектора определяетэффективность дифракции света в +1-й порядок. Чем длиннее этот вектор, тем сильнеенарушается условие фазового синхронизма, и тем меньше будет интенсивностьрассеянного света. Диапазон АО взаимодействия обычно определяется соотношением0l  R0   .281.2.4. Изотропная дифракция в акустически анизотропной средеВ данном разделе рассматривается вариант АО взаимодействия без сменыоптической моды (изотропная дифракция), но среда предполагается акустическианизотропной, так что акустический пучок распространяется со сносом акустическойэнергии. Впервые этот вариант дифракции был изучен в работах [34,35] на примерекристалла парателлурита. Расчет угловых характеристик был выполнен для медленнойакустической моды, распространяющейся под углом 7.5 к направлению [110] вкристаллографическойплоскости(001).Этаакустическаямодахарактеризуетсячрезвычайно большой величиной угла сноса:   74 .

Так как исследование былопроведено только для одного среза единственного кристалла, то полученный результат неможет быть распространен на общий случай дифракции света на наклонном акустическомпучке. В данном разделе представлено общее решение поставленной задачи для вариантаизотропного взаимодействия [А15,А21].Вслучаеизотропнойдифракциифазоваярасстройка0определяетсясоотношением:02  20 k cos0    K sin   K K  2k sin 0   0 ,(1.53)которое прямо следует из (1.41) при подстановке k0  k1  k  2n  . Это уравнениеможет быть упрощено с учетом того, чтоK << k , что верно до частот ультразвукапорядка 1 ГГц.

В результате имеем:0 Отсюда,фиксируячастоту1 02  20k cos   K 2 .2kKультразвукаfи,(1.54)следовательно,уголБрэггаB   K 2k   f 2nV , получаем выражение для ширины угловой характеристики:  2max cos  K   l  cos  ,(1.55)где max   l , а  – длина волны ультразвука.Для оценки влияния сноса акустической энергии на угловую характеристикувведем коэффициент B   0 , где  – ширина угловой характеристики вреальной ситуации, а 0 – ширина при отсутствии сноса, т.е.

при   0 . Из (1.54)следует, что B  cos  . Этот результат имеет простое физическое объяснение. Согласнотрактовке АО взаимодействия в изотропной среде, представленной в [135], угловойдиапазон взаимодействия определяется расходимостью акустического пучка S   l , гдеl –ширина акустического пучка и, одновременно, ширина пьезопреобразователя. Вакустическианизотропнойсредеситуацияоказываетсяпохожей:  S ,но29S   Ltr   l cos  , где поэтому угловой спектр акустического пучка определяетсяшириной пьезопреобразователя Ltr  l cos  независимо от угла сноса  .Частотный диапазон АО-взаимодействия f может быть найден из (1.53) похожимобразом.

Для этого зафиксируем угол падения света 0  B   K0 2k . В предположениивысокой частотной селективности ( f  f 0 ) получим:K  K0 1 02  20k cos  .K0(1.56)Отсюдаf 2nVcos  ,lf 0Bf f   cos  .f   0(1.57)Таким образом, в случае изотропной дифракции акустический снос приводит ксужению угловых и частотных характеристик в 1 B  1 B f  1 cos  раз независимо отчастоты ультразвука или длины волны света. Например, для   74 сужение составляет3.6 раза. Следовательно, снос акустического пучка приводит к заметным эффектам. Темне менее, расчет характеристик АО взаимодействия может быть произведен постандартным формулам [135] при условии, что ширина пьезопреобразователя Ltr  l cos будет использована вместо ширины звукового столба l.1.2.5.

Анизотропная дифракция в акустически анизотропной средеЕсли под действием акустической волны происходит поворот собственных осейанизотропной среды, то имеет место анизотропная дифракция, при которой в процессе АОвзаимодействия происходит смена моды световой волны. Это означает, что еслипадающая волна имеет обыкновенную поляризацию, то дифрагированная волна будетполяризована как необыкновенная и наоборот.Как было показано в п. 1.1.4, зависимость угла Брэгга от частоты ультразвука прианизотропной дифракции имеет сложный вид.

Получить явные аналитические выраженияне представляется возможным, и поэтому все расчеты приходится выполнять численно.Сравнительно несложно разработать программу расчетадляслучая, когда надифракционную решетку падает необыкновенно поляризованная световая волна. Этосвязано с тем, что для такой волны, задав угол падения 0 , можно найти из уравненияФренеля показатель преломления n0 0  . Дифрагированное излучение представляетсобой обыкновенную волну, для которой показатель преломления N o не зависит отнаправления. Далее, задав частоту ультразвука f, по формулам (1.47), (1.50) и (1.51) можно30рассчитать эффективность дифракции и построить угловые и частотные характеристики.Для падающей обыкновенной волны вычисления значительно усложняются, изависимость угла Брэгга от частоты ультразвука имеет принципиально другой характер. Вэтом случае показатель преломления продифрагировавшей необыкновенной волныопределяется ее направлением 1 , а само это направление зависит от частотыультразвука.

Поэтому для каждого направления 0 надо решать неявную системууравненийNe Non1 (1 ) Ne sin(  1)2  No cos(  1)2 .n ( ) sin(  )  N sin      f cos 1 11o0V(1.58)Здесь  – задаваемый угол среза кристалла АО ячейки. Первое уравнение представляетсобой известную зависимость показателя преломления для необыкновенной волны отнаправления ее распространения в кристалле. Второе – условие (1.39), учитывающееконкретную ситуацию.Поскольку получить аналитические выражения для диапазонов АО взаимодействиянепредставляетсявозможным,длярешенияАОзадачбылразработанспециализированный программный комплекс, включающий несколько подпрограмм. Напервом шаге решалась акустическая задача.

Характеристики

Список файлов диссертации