Диссертация (1104238), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Учитывая, что плотность электронных состояний графена линейно зависит от энергии:ν(E) =gs gv|E|,2π~2 vF2(1.31)46где gs gv =4 - произведения факторов долинного и спинового вырождения, полное количество электронных состояний пропорционально квадратуэнергии фотона, легко получить оценку Isat ≈ 3, 75MВт/см2 . Рабочие интенсивности имеющегося титанат сапфирового лазер лежат в окрестностизначения 0, 8ГВт/см2 , тем самым условие существования насыщения поглощения выполняется с превышением на два порядка по интенсивности.§ 1.7.Электронные и оптические свойства топологических изоляторов1.7.1.Введение в теорию топологических изоляторовВ соответствии с основами физики твердого тела электронные состояния для в кристалле описываются собственными состояниями периодического гамильтониана TR−1 ĤTR = Ĥ:hr|φnk i = eikr hr|unk i,hr + R|unk i = hr|unk i,(1.32)(1.33)где unk - блоховские волны, для которых в свою очередь можно записатьзадачу на стационарное уравнение Шредингера в виде:H(k)|unk i = En (k)|unk i,H(k) = eikr He−ikr ,(1.34)(1.35)где H - блоховский гамильтониан, заданный на первой зоне Бриллюэнакристалла, которая, в общем случае, представляет собой поверхность че3тырехмерного гипертора TBZ.
Зонная структура материала, таким образом, представляет собой отображение зону Бриллюэна на пространствовсех блоховских гамильтонианов. Именно топологические свойства данногопространства определяют, является ли материал тривиальным изоляторомили топологическим.
Будем говорить, что два блоховских гамильтонианаH, H0 являются топологически эквивалентными, если существует гладкаяфункция F (λ), λ ∈ [0, 1], такая, что H = F (0) и H0 = F (1). Гладкуюфункцию F (λ) можно представить как плавную «деформацию гамильтониана», происходящую без закрытия щели. Эта аналогия обуславливаетприменимость топологического подхода в физике конденсированного состояния вещества. Для того, чтобы описать топологически свойства количественно, необходимо ввести некий инвариант, сохраняющийся для всех47топологически эквивалентных блоховских гамильтонианов и называемыйтопологическим инвариантом. Простейший пример такого инварианта в 2D- так называемое первое число Черна С1 .
Для его введения используетсяформализм, основанный на понятиях связности и кривизны Берри. Легкопоказать, что смещенная в обратном пространстве на бесконечно малуювеличину блоховская функция |unk+dk i, может быть записана как:hunk |unk+dk i = 1 + iAn (k)dk(1.36), где An (k) = −ihunk |∇k |unk i называется связностью Берри. Поскольку выражение (1.36) представляет собой первый член разложения экспоненты,очевидно, что конечное перемещение по замкнутому контуру, принадлежащему первой зоне Бриллюэна, дается выражением:f inalihuinitnk |unk i = eHCdk0 An (k0 ),(1.37)Hгде выражение в показателе экспоненты γn (S) = i ∂S dkAn (k) называетсягеометрической фазой или фазой Берри [83].
Если ввести дополнительнопонятие кривизны Берри Bn (k) = ∇k ×An (k), то выражение для геометрической фазы переписывается в виде интеграла по поверхности части зоныБриллюэна от кривизны Берри:Zγn (S) =d2 kBn (k)(1.38)SВ общем виде, выражение для кривизны Берри с учетом (1.36) можно записать :X hunk |H|un0 k i × hun0 k |H|unk iBn (k) = −i(1.39)0 (k))2(E(k)−Enn0n6=nЛегко показать (проинтегрировав по одной той же замкнутой траекториикак внутренней и внешней границе), что фаза Берри для всей зоны Брил2люэна равна γ(TBZ) = 2πN , где N - целое число. Таким образом, каждойблоховской функции можно поставить в соответствии целое число, котороеносит название числа Черна:Z11Cn =d2 kBn (k)(1.40)22π TBZСуммарное число черна получается из (1.40) суммированием по всем заP1полненным состояниям ниже уровня Ферми (C 1 = occn Cn ). Не составляет48труда видеть, что, согласно теореме Гаусса-Бонне, полученное выражениедля числа Черна полностью математически эквивалентно эйлеровой характеристике поверхности (описывающей количество ручек на поверхности,гомеоморфной данной поверхности):Z1χ(M ) =dS · K(1.41)2π MПростейшим примером двумерной физической системы описываемойс помощью числа Черна является двумерный электронный газ в состоянииквантового холлoвского изолятора [22, 84].
В квантующем магнитном полеэлектроны в (двумерном) объеме образца вынуждены двигаться по замкнутым циклотронным орбитам, а зонная структура вырождается в последовательность уровней Ландау EM = ~ω(m + 1/2), разделенных эффективными запрещенными зонами [22]. В тоже время, приложенное электрическоеполе заставляет циклотронные орбиты дрейфовать, что приводит к возникновению холловского тока, описываемого квантованной проводимостьюσxy = N e2 /h.
Хорошо известно, что электронный транспорт в квантовомхолловском состоянии обусловлен существованием однонаправленных проводящих краевых состояний, которые можно феноменологически рассматривать как результат того, что циклотронные орбиты электронов эффективно «размыкаются» в присутствии границы [22]. С точки зрения топологического подхода же возникновение проводящих состояний на поверхности является следствием топологической неэквивалетности состояния квантового холловского изолятора и вакуума. Однако, подобное состояние ещене является топологическим изолятором, поскольку для его существования необходимо сильное квантующее магнитное поле.
Простейший способреализовать аналогичную систему - найти материал с достаточно сильнымспин-орбитальным взаимодействием. Одной из первых систем такого родастали квантовые ямы CdTe/HgTe, в которых, благодаря сильному спинорбитальному взаимодействию, наблюдается инверсия зонной структуры вHgTe [19, 20]. При определенной толщине квантовой ямы (больше некоторого критического значения) гибридизация зон соседних материалов приводит к возникновению спин-поляризованных одномерных поверхностныхсостояний на границе квантовой ямы. Такой материал получил названиеквантового спин-Холловского изолятора (QSHI) или двумерного топологического изолятора. В отличие от описанного выше квантового холловского49изолятора данную систему нельзя описать с помощью числа Черна, поскольку число Черна отлична от нуля только в системах с нарушеннойсимметрией относительно обращения времени.
Вместо него инвариантом,описывающим топологию зонной структуры спин-холловского изолятора,является так называемый Z2 топологический инвариант [21]. Опуская подробное математической описание, проиллюстрируем его введение следующим образом. В присутствии сильного спин-орбитального взаимодействияРис. 1.12. Двумерная зонная структура между двумя точками Крамерса. (a) Случай таммовских поверхностных состояний, b Случай топологически защищенных поверхностных состояний.
По работе [22]уровни энергии являются расщепленными (по аналогии с действием квантующего магнитного поля), однако для зонной структуры, порожденнойблоховским гамильтонианом, симметричным относительно обращения времени, в соответствии с теоремой Крамерса существует 2D (D - размерностьобратного пространства) точек высокой симметрии, в которых блоховскиефункции вырождаются.
Данные точки носят название точек Крамерса иобозначаются Γ1−2D . Для двумерной зонной структуры спин-холловскогоизолятора существует 4 точки Крамерса: одна в центре и 3 на границе зоны Бриллюэна. Для краевых состояний, существующих внутри объемнойзапрещенной зоны, изменения между двумя последовательными крамерсовыми точками определяет значение топологического инварианта Z2 (ито, будут ли данные состояния топологически защищены).
Если для любого значения энергии внутри щели соответствующая изоэнергетическаяповерхность пересекает поверхностное состояние четное число раз (рис.1.12(a)) подобное состояние не являются топологически защищенными имогут быть смещены за счет внешних воздействий вглубь объемной валентной зоны или зоны проводимости. Данный факт можно интерпретировать50как то, что данные поверхностные состояния «происходят» только из одной из объемных зон и могут быть непрерывно деформированы обратно.
Вслучае, если для всех значений энергии пересечений нечетное число (рис.1.12(b)), состояния являются топологически защищенными. Математически можно представить, что в зависимости от конкретного вида блоховского гамильтониана каждой из четырех крамерсовых точек ставится в соответствие некий параметр δa = ±1. Результирующий Z2 топологическийинвариант ν связан с данными параметрами следующим образом:Y(−1)ν =δa(1.42)a:1,4Данный подход легко обобщается на случай трехмерных топологическихизоляторов.
Одночастичный блоховский гамильтониан для краевых состояний в спин-холловского изолятора имеет вид [22]:Hedge = Aky σ z ,(1.43)таким образом, в отличие от квантового холловского изолятора на каждой границе существует ровно два состояния с противоположными спинами, распространяющиеся в разные стороны. Легко показать простыми рассуждениями, что данные состояния защищены от обратного рассеяния нанемагнитной примеси. Действительно, в рамках полуклассического описания рассеяния назад, электрон обязан сменить спин на противоположный.Можно представить два возможных пути подобного рассеяния с «поворотом» спина по и против часовой стрелки, в результате чего соответствующие волновые функции оказываются в противофазе и за счет квантовой интерференции подавляют друг друга [24].
Данное свойство топологическойзащищенности является основным критерием, отличающим поверхностныесостояния топологических изоляторов от Таммовских состояний.1.7.2.3D топологические изоляторыПо аналогии с двумерными топологическими изоляторами вскоре были найдены соединения, являющиеся трехмерными топологическими изоляторами. Как и в квантовых ямах CdTe/HgTe, это материалыBi2 Se3 ,Bi2 Te3 , Sb2 Te3 и другие [85,86], обладающие большой энергией спинорбитального взаимодействия, приводящей к инверсии зонной структуры в51окрестности Γ точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
