Диссертация (1104225), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Модель разогрева активного волокна при оптической накачкеРанее в обзорной главе были рассмотрены основные термооптические эффекты в объ­ёмных АЭ твердотельных лазеров и изложен подход т.н. термооптических постоянных , и (раздел 1.3.1). Также рассмотрены основные методы измерения температуры итермооптических искажений параметров лазерного излучения (раздел 1.3.2). Для волокон­ных активных сред на основе SiO2 показано ([89], раздел 1.3.3), что в связи с особенностямигеометрии активной среды можно пренебречь влиянием фотоупругих эффектов на прочностьи профиль показателя преломления волокна и рассматривать лишь зависимость показате­ля преломления кварцевого стекла от температуры. При этом при отсутствии полимернойоболочки, в соответствии с тепловой моделью из [89], основным ограничением при дости­жении высоких мощностей генерируемого лазерного излучения будет являться температураплавления кварцевого стекла.

При наличии полимерного покрытия максимально допусти­мый температурный диапазон будет ограничиваться существенно меньшими значениями (неболее 170C по измерениям [90]). При таком диапазоне температур оказывается возмож­ным пренебречь радиационным теплообменом с поверхности волокна [94] и рассматриватьтепловые модели только с учётом конвекционного теплообмена (либо модели с фиксирован­ной температурой внешней поверхности волокна при наличии соответствующего радиатора).Далее будет рассмотрена простая модель разогрева циллиндрического волокна с двойной обо­лочкой, на основе которой затем будет выполнен ряд обобщений для волокон произвольнойгеометрии поперечного сечения.3.1.1.

Разогрев циллиндрически-симметричного световода со ступенчатымпрофилем легированияРассмотрение модели разогрева активного волокна начнём с простейшего случая цил­линдрически-симметричного волокна, покрытого слоем полмерного покрытия (рис. 3.1). Ста­ционарное распределение температуры со ступенчатым распределением мощности теплового74источника по радиуса задаётся уравнением теплопроводности (3.1)1 ∆= , 1 ∆= 0, ∆ (0 ) = ∆ (0 ),< ,2< < ,2∆ ⃒⃒∆ ⃒⃒⃒ = ⃒ 0 0(3.1)Рис. 3.1. Поперечное сечение цилиндрически-симметричного активного волокна для стационарной тепловойзадачигде ∆ () =⎧⎪⎨∆ (), < 0 ,– распределение прироста температуры (разности темпера­⎪⎩∆ (), > 0 ,туры на расстоянии от центра волокна с температурой окружающей среды) — коэффициент теплопроводности соответствующего слоя( — плавленого кварца, — полимера); = ′ — тепловая мощность, выделяемая в единице объёма; ′ — мощность излучения накачки, поглощённая в единице объёма; — коэффициент преобразования поглощённой мощности накачки в тепловую мощность.Для рассматриваемой модели активного волокна с двойной оболочкой можно ввести ко­эффициент поглощения накачки , определяющий затухание излучения накачки в волокнев соответствии с законом Бугера-Ламберта: () = 0 exp(− ).

Предполагая распределе­ние интенсивности накачки однородным по поперечному сечению многомодовой кварцевойоболочки, коэффициент поглощения можно представить в виде: = 1 , (3.2)где и – площади соответственно сердцевины и кварцевой оболочки, – сечение поглощения активных ионов на длине волны накачки,1 – концентрация активных ионов в основным состоянии.Как будет показано далее, для типичной конфигурации иттербиевого волоконного лазераинверсия населённостей не превышает 5% от общего числа активных ионов, поэтому в данноймодели примем 1 ∼ .Таким образом, величину тепловой мощности, выделяемой в единице объёма можновыразить в виде:= ,275(3.3)В качестве граничных условий для данной тепловой модели имеем непрерывность темпера­туры и плотности потока тепла на границах раздела сред, а также условие конвекционноготеплообмена на границе раздела полимер-воздух, характеризующее параметром ℎ :∆ ⃒⃒⃒ = −ℎ ∆ (3.4)Решение уравнения системы (3.1) с учётом соотношений (3.3) и (3.4) в аналитическом видепринимает вид:)︂(︂1 1, 0 < < ,∆3 () = − ln + ℎ 2(︂)︂1011 ∆2 () = − ln − ln + ,< < 0 , 0 ℎ 22(︂)︂2 (︁ )︁20111 1∆1 () = −+ +,− ln − ln 20 ℎ 22(3.5)(3.6)<2(3.7)Дифференцируя выражение (3.7) по параметру получаем оптимальное значение внешне­го радиуса, при котором для фиксированной мощности накачки температура в сердцевиневолокна будет минимальна: =ℎ(3.8)Для расчёта кинетики разогрева активного волокна при мгновенном включении накачки( () = 0 () — мощность накачки, () — тета-функция Хэвисайда), необходимо использо­вать модель, основывающуюся на нестационарном уравнении теплопроводности:где =1 ()+=, (3.9)— коэффициент температуропроводности, — плотность, - удельная теплоём­кость.В случае цилиндрически-симметричной геометрии задачи можно провести аналитиче­ский расчёт, воспользовавшись разложением решения в ряд Фурье-Бесселя [122], либо искатьрешение численными методами.Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности удобно производитьметодом конечных разностей в двухкоординатной сетке ( , ), соответствующей значениямрадиуса и различных моментов времени: = 0, 1, .

. . , , = /∆, = 0, 1, . . . , , = /∆,(3.10)где ∆, ∆ — шаги интегрирования по радиусу и времени, T — временной интервал расчёта.76Рис. 3.2. Неявная трёхточечная схема для решения нестационарного уравнения теплопроводностиДля расчётов используется неявная трёхточечная схема, изображённая на рис. 3.2,с последующим решением системы линейных уравнений на значения температуры в точкахсетки методом прогонки. Это схема первого порядка аппроксимации по и второго по [123].При задании величин и ∆ соотношениеΔ2Δмежду временным и пространственным ша­гами интегрирования определяются по сходимости вычисленного решения к стационарному,известному из формул (3.5)–(3.7).

Параметры разностной схемы в точках сетки, ближайшихк границам раздела сред, можно определить по методу контрольного объёма[124].Для расчётов распределения температуры в волокне воспользуемся следующими пара­метрами тепловой задачи, типичными для активных волоконных световодов с двойной обо­лочкой:⃒ВтДжВт⃒, ⃒ = 2.14 · 106 3, ℎ = 25 2[89],м·Км ·Км ·К⃒ВтДж⃒ = 0.2, ⃒ = 1.33 · 106 3[125] (полимер Sylgard 182)м·Км ·К = 1.46 = 10 мкм, 0 = 62.5 мкм, = 182 мкм, = 0.09, = 1.2 дБ/кмНиже на рисунке 3.3 представлены полученные расчётные распределения, а также зависи­мости температуры в центре сердцевины и на краю внешней оболочки от времени послевключения "ступенчатого импульса накачки"Из приведённых графиков видно, что в начальные моменты времени (в диапазоне времёндо 10 мс) основной прирост температуры приходится на сердцевину и кварцевую оболочкуволокна.

Однако при достижении стационарных условий профиль распределения темпера­туры устанавливается практически однородным, и разность температур между сердцевинойи оболочкой оказывается на порядок меньше величины прироста температуры в сердцевиневолокна (кривая 3 на рис. а). Это соответствует тому, что в выражениях (3.5)–(3.7) преобла­дающим является слагаемое1.ℎ Таким образом абсолютная величина прироста температурыопределяется поперечными размерами волокна и интенсивностью конвекционного теплооб­мена, а точнее величиной ℎ .77(а)(б )Рис.

3.3. (а) Зависимость температуры в волокне от времени после включения накачки мощностью 5 Вт,изображённая в логарифмическом масштабе. (1) - температура в центре сердцевины, (2) - температура навнешней границе полимерной оболочки, (3) - разность кривых 1 и 2; (б ) Зависимости температуры от радиусав различные моменты времени, пунктиром указана граница кварц полимер3.1.2. Разогрев двойного волокнаВ предыдущем разделе мы видели, что после включения накачки с течением временив волокне устанавливается практически однородный профиль распределения температуры.Очевидно, данная ситуация (т.н. «регулярный тепловой режим» [126]) будет иметь место дляволокна произвольной геометрии, в том числе и для изображённой на рис.

1.12 и 2.11. Оце­ним величину стационарной температуры разогрева и скорость её установления для такоговолокна исходя из соображений теплового баланса. Геометрические и тепловые параметрыволокна оставим теми же, расстояние от центра сердцевины до ближайшего внешнего краяоболочки примем равным радиусу b из предыдущего параграфа. Это соответствует толщинеполимерной оболочки ℎ ≈ 120 мкм.Прирост температуры определяется тепловыделением в сердцевине активного волокнапри преобразовании излучения накачки и оттоком тепла с поверхности волокна за счёт кон­векционного теплообмена. В обозначениях предыдущего параграфа это соотношение приметвид:(︀ + )︀ ∆= − ℎ ∆,(3.11)где , – теплоёмкости, соответственно, плавленого кварца и полимера, на единицу объёма; , – площадь полимерной оболочки, — периметр внешней оболочки.

Решением уравнения78является зависимость:(︁)︁− ∆ () = ∆стац 1 − стац ,(3.12)ℎ ,=— время установления стационарной температу­стацℎ + ры. При этом относительное распределение температуры внутри активного световода будетгде ∆стац =слабо отличаться от циллиндрически-симметричного случая.Различные асимптотические режимы разогрева активного волокна для геометрии, пред­ставленной на рис. 2.11, приведены на рис. 3.4:Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации