Объемы орбит присоединенного действия компактных групп Ли (1104191), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ОК БПЧЕСЛИГЛЯ ббЪВЬЮБ„СМ. ~ 1 ГЛВБЫ 1. БАЗИС ЯП'ббРБ 3 И ! Й г .3« 1~р 1 Мат)я~у Й;-, 1~~~) .су; ~ >~, 6~., 1~к."-)~п-р, ~ >5, (.-",- сбразу~ базис азиебры ли с (Фи-Р)+и~1ф пс ".'Флб алГебР2 Ли ~ ~~) цеБтратпзетсра ) ~й, А ' Щ з Й~Ф$~~ 1М~ ~ссиас ищииз Грыжа ~~ ~ Ф;., ~за ) ~~,сгг 1;. = ~ си: ~ - ау 45 ! ,;ЯВД~„ЦЯ Я СДЕДОЗВТВЛЬНО ,ус~ Щ - свае( 1 ~+1 1 ~. с Я утвеРжАЗЯОсь ( ~ — ссс ('~, -'р,)) ~ 4.)4 й. яе Результат получается ке теоряу~ 2,~,~, тае кеуу ~~и сдучВя, ОчеВВДБО, Все пРедположенея этой теоремы выяодненн.
Е с, Ньгжслеюи в случае прсстравссва ~~й")1~4~"4 ~.'„'Л, .. ~ *Й,",' ЯЗЯЯЯщй ОЩ)ВДОле".1ие Обмплект2ческой ГРУппы ~ Ф ( М . 7Р7пОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КБЛ ГРУБЯ ВСЕХ ТВКО ~ "ч У»' КЯТРЛЦ ч Л Л+ Л ((д~ твлом кватернкояОР, что ~~ = с , Где 'у = Л , здесь й - КйятерНБОНЕО СОПРИ8ЫНяя МЕ!Т~ИцВ : ЕСЛЕ е1 ' е~11 е ТО ~ = 1~ А1" 11 . ~'ЭВТОР1БИБ ~, СОНРЯЕ8ННЬЙ;Л ~=Я+ 6~~ ~~'+~~ ОдреДмЯется ЯО фо~зьГЯле ф = Й ~~ ~/ КНЗТВРБКОББ~"Ю ус ~ ~1 ЙИТРИЕ д" Р МОКЛО 32:ИСЭТЬ В РЛдЕ 1 + 5,», ГДЕ ~~~ е ~ — КОМПЛЮЬ;СБЫЕ ~ У~ Й вЂ” МВТ~ЧС~Ы, 1 Гксксльку ~ В = В~, =О умюженке задается Форьу.".Ой (а+ В~)(с.
2~) = (ЬС-ЬЛ) + (д~ ч ЬС1у. Стоб ра~ояяе А В ~(Р) = 1 '.ЯЛЯВТСЯ БЭ(Всо~;фЯ3.'ЯИКА ГРУППЫ АЛ Мй7~Щ БЦДО. А В НЗ БОДГРЩ1Т„'Г ~ НЛ70~~НИХ .ф' ТС -'с'.3 ТО- .:,а, ".чу Д4;~ л4ТЪМ1К такОГО Эдди б""Дут чуПБТЗВЕМЯ ТОГ;:; К*с ( Ф 1 $ ОЗ,~~ИУ В КакаСТМ баЗИСа аЛГВ6РК ЛИ ~Й-~ 1-. КВЯ Ф), О ВЗЯТЬ -' = к~,„ ®~ ~ ~ 1 Ь! Ф З ~ 1 1 ~ ф и Я 1',1. У.",' . К. '~н~ К+мь ф ~в ЗФМ будем изучать орбитц присоединенного дейстИОТОРые обРазукй' пространства Мантурова. .Яю й.ц . ~ а Навтурона, воли ~"~ однородно, т.в.г1=64~..
бра Дк Н подтрунив дн «й двйстпуот пв- Б этой главе мы '~ мадлн пар 1'й $) ~,. $ 1.~и) ~фкзодемо на касательном пространстве. Здесь 1 ~И) обозначает Трий ПРОСЦИЛСТВЙ ~"~, СМ. ~33 3 Работе ~ 11 ~ ДАЯН полнаЯ классифиеаЦБЯ таких пространстВ, ои. такие работу ~353 . Слитию здесь только слалущую теорему. т3 тво.ома 3.1.~. ~ ;,:: к 9=1.~И). йслы йй ~3 ~ ) . Пусть М вЂ” арострапство Мантурова некоьпактно , то Й вЂ” ОдносВязное симтло.
асли Ч компактно, то или М ок- МВТЭКЧЕСКСЕ ПРОСТРЯЯС Ружность, или гя'ппа Все не сиьметриче -':.::-'1 лаются некоторой коит крвдотвнлвнивм .т "" ~ф полупрос та. скис пространства Ивнтурона ~см. ~11$ ва- аКТНОЙ ПО.~вУПРОСТОИ ГРУППОЙ ЛЛ и Ее — С~»(Ч) и простой компактной груп° У(Ъ) .Яса~М вдинвннов двйстиив грунин ди Я)С $ на каинову влвмвнту й" нУ® состввтстнувт $ '- — ~ ф, гдв 1~~) =Йий"', ги9 . этого двйствия, т.в. Й~)= 1~И~б~Ц= И~)~=~~Ж~ую ' ~~~ ~~ кой йк 'и' такой, чт М~ изучаем присо группо ли $, т.в.
сквобрВэоввннв Р' агота ФУ~ орб ° = ~1~1' ~~йу в 3, Найдем базис 1»,. „, ~.~;ц,геб Л ~~~Ц~ Ц»,...,0у Все ОПЕРАТОРЫ ИМЕЮТ МатрсгчНОЕ ~ыв 8Н 8 ~~ф.;~ л, - 4а., ~у%;~ = ~! л~~ 1~ ЪбеРем из ~ » * * ~~ базес по модулю пентреляэатора Сф) реЯ~7Щ)НОГО элемента ~ ~"- $: уу.ц ... Й~~ к Й Л 4. Вычлстзм мйтсипу Д ф ~ц у — л, с ~ л ~)ЕГУЛЯЗЕБЙ ЗЛемеЕТ ~'Рупнц ДН ~ф Пртлнрдлть уаШН~ рочмясму мвлсюи3.'ьному тору 7 с. Я о. миисвлвм ~М ~А,~;)=*, ~И ~ 1~„,~; )=~~ 6 нахаттм остом ГОо Д(у) = сслор 1/Ж 1 /~ ВН~ЛСЛЕЕЕЯ,Лля ПредстЕВдЕЕЫя ~-о=, -Π— »'у тр1ж перый пример пространстна Феп",~ВОВН ~сы. тзбликацлч таких простзанстз В работе ~113 ) .
=,~~(д~+~) дейструет по тензОРБОму закону В прсстБсех ЕОВплексенх кососйымот~улческчх теизОРОВ Й.~ ., ~+") . 3то дейстаке сохраняет эрыхтоэу форму повтому ~ ~4у~ лллввтсл полгруппож в группо Лай~) НЫХ ПРеобРЯЕОТИНИЙ Пространств. 7 С ОПР8ДЕАИТ8ЛВИв лпв. Злвсь ~: 3Ымт+~) К~4 ооотпвтстпуецвв с о.2.1. Пусть оп = флугов';...,Л'. ~~- рвгулярнй уппп 5Ш~Ф)~т.в.''т";.в ~~. ~'м~)' . роглв лж ~ с1о00 00О.ОО О -~ обОо О 0 О 0 00 1 сааб 000 Р 00-100 О 0~000 60О О0О ~0ОООО 0 00 09~ 000 О 00 00О~ОО 0 000ОО О О~ 000 О ~0000 0 ООбОС О ОО ОО» О ОО 0 ~О 4 е Ф Нееислея еееменен ~ = ес ~ ~ ен — ~, и скнлнрно их аеремнснан, почим фО~ЗЯ~лу, ~хьзэЯнуж В т8(Цю$60- еынььь м4$1 т1н 3. .,; ~,:.';::".'а.-;:.'::;-::.'~.."": "': - " .
Р:М;-' "! .-"'~ф;';," ' ''" "";:В:,;, ',, '- '~'."""::,'--""'," ' ". > а~:,':-~~Ж:-:::,:~!: ---:--::-:--"'---':-'':-":-':-,::::,::'::-::"-,-,: ' «~ ~)бупчот6$ К ЭНИЛОГИЧНОЙ - ИЩВЧВ:ПЭ, ЗцЩЕ~~рфщ~ущу-:::,~ф)))щ~",~:::.-с;:,,'::-' '::-::;::,-;,',-:.-:::::,,-" '', фуОФЬ у ) — Р~мШОИО МЕ4Ф666РВЗЖ9 т -'''МЖ".::~ИЯМЩОМ;: ащц9д::::-;~44й~;,.',::- и труппа пвометрвй 3 ~ И . ) .' рассмстьрим подгруппу ф~1~ф, ) ~И) - спивная иоваоиепта единвпм:и,труиие1, 1(И) ..
и. ', Ч~сй - ~~.: р , настыла группм $ . Каа )/:, твя н все М раосвовнс ва дтвчп $~х) ~ ~х 1 ~ б ф ), см. ~ дб3 . Ьд3, ~вх3 ° ~и3 . )),б ~)3уе минимальности помрхностщ Ч в Й моим в зтоа Олуию сввстп к поучению минвмаььпости поверхности Ч$ в ' 1~та ° атмр-пространство ЙIЯ, вообае говоре, пе является гввдвш )шообраэеем Оно може'т иметь Особенноотк т ОДК9ко В /Ч ООть обритое иск)3)у плотное подмножество Я ~ОООтоящее из глцвих Ор=- ат), твясс, что 4/$ есть глвддое иеогообрввие, см. ~313 . йусть ь: ~Ч вЂ” Й/$ - пвновпчеоква проепцвя ва проот- 3)иесаи орбит.
Если Ф ~Х, 3. ) - скалярное произведение иа Г~ 8 . и мино построить рпмвпову метрику на пространстве ФД оледу- МФ 9Фмстаенным образом. Фиксируем распределение 3~~ иормакькнх внсйамей и орбитам $~Ф3, н пусть Х, У с 1и~иу ~Ф . Тоща,:,::.» Ф))ветювт е33кнствекнце зекторы Х 1 ~ТхуЧ .- прообраза ~-,,У-.', ддидьимвипе б, н моипо паиьвать Ф'(м',У') Ф(х,й .,'-', ае дваввпрпов прои апемие.п рсивиет и Йф мвтрньу ~:.,~. )ддивйилев па Мф фуввцпа .
Ф .:.'„,подвив Фд)"Ф$Ф '~...,,':,. 4 :®'':::~:.":::~"-Рвоморнссть главвмд. орпйвй' оваив Ч:~~ М -.,стево -ф',-:-".":.",'.: 68 ~иаБТБО6 полмиОГООбрази6.- Пйдощцд 4 ~~-Ф:: уо, ть,~, М/$' ИОБУЖ) ь~етРи~~ 48~ п,цц~щ ф =, ф 4~~ П ОЖОЕИ6 4 ~'~ Ре'ьа БЫ.еще„п 3- тр))~~6 ~3~~-)' '-Пу©Ю ~~; ~Ч - БТО ~ф — ИНБарйбжтяо6 Под) щорооб~ „6ь тел лотлльво мввемельввм в Я (оревыкы щвтвввва Н ео) у~ЛЬКО ТОЛИ т КО~'Па ~ ~~~~~ ЛОКБЛЬНО' М~ИИ®6ЛЬИО Б ~~$::-' ущо )~У 8въИО МетрИКт 4. - ЬОЛ86 Торов Щ~~~ '~ м= ~~~ ~/ф И КОР66)р~ерпость Орбит~ общи'О поливмин щ~ 8Р Это У™РБПение позБО)лет ОБсдить задачи О мнжимальносж — ввварвеытвых поверхвоотей к ввелогвчтеве ведавеы ва проот8Бстав орбит.
при ото)4 н64О О~раничитьсЯ, естестБенео, только дщЯЦМИ ОрбИтаМИ е Уже при ~ = ~) ьи получиы интереспое следстБие, которци м„~Р ~д ко и будеи пользОББ.тьсЯ Б ДальнеЙшем. Если " — сВЯзнаЯ по- ВбрХНОСТЬ, 78 раэеНСТБС ОЗНачаетт Что Ч НЕКОтораЯ Ор- й=о ~и.ь лейзтвия группы Дв $ ва многообразии ~Ь) 'Ф Втек, все локально мвввмельвые 1 Н О) главные оролты $Ж 75~гП6 ~ З МНО1'ОООРПЗХИ УЧ НОХОДЯТСЯ таК, НУЖНО РЯССИОГРЕТЬ гю~тревство главных орбыт ~/4, вычислить ыа нем ~Рункцив обвыв )и Офйт ~)~х) 2 нялтл 88 критлческие точки, т.е. такие тОчки» Б юторих фиЫ й~) =О, см.
~123 . Они и ЯБллются орбитами, я)акапа~ся локально ьснимальними подмногообразжнми Б М ~Н О,) ~еы. ~уд), о. ЛЗО). ПР6ЖЛ8 Ч8М СфОРзфЛИ~ОБЯТЬ ОСНОБНОЙ Р637ЛЬтат Этой ГЛЗБНт МЫ Ф"Бо~им ОснОБнце пОЕЯтиЯ, сБЯзйБЯие с ГлаВньми Орбитбкй. ыуоть.ва 1 действует группа $ . Мвокеотво.
отиповарвык теьтрувп ~ ~ ~, д б )~ ~ очеввлиым .обраеои равбвваеток ва клае' '~~Мжепнцх пои'рупп; соотБетстБум)ЩЙ6 Разнмй теотим Орбит з А $ )(1 0(Н),, (ц~ ~ф~фТИи. нсветнп, ето олворолиое пространстве фф.;,:., нвпинтпо стсбрнпепо в файф' в топ и топепс в топ 'овущщ.,.потир'. щк 4 сспояиева пеистороя полтруппе тр ~~ ф ветле уе ~ 9 ~ еу при полхолн~щщ .не 6 ф . Понтону естест~ ЭБ~р Я38СТЕ СЛ8ЩПИ188 ОТНОЩЕКИ8 ту~СТИЧБОГО цОрщ~~щ ИЕ Л ()-),) ~ ~Г~ ) лли всех Хб Й 2) обнелвненпе Й (Не) = ~~ ) б~ к Н Щ всех орбит типа ОТ)ЩЦТО йх ДДОТЯО 3 г т т й1 Е(Д)Д,'ЩЕ11НОСТхи )ДЯОЯЕС ЩЯ У ( УЧ у.~~ йЦ еВ Меньше 1 с) нвопество Г (Не, К) неподвпиннх тонок группн Нт на пересе'(жется с каждой Орбитой ; 4) пространство орбит ~) ~ц,) / ~ санино.
ЕО определению единсТВекный ьиесжмЗльный тип Одбит нс~зиВБ87ся ~лз)!8(м типОм орбит, 2 соотВетстВ~пзщие стзцконзрнне подгР7ппы ий- "иштся глввньии стационв(япми подгруппами. Зто определение не (О((СЧ)УКТИВНО т Т.О. С ПОМОЩЬР 8ГО 7~)уДЕО ОПР8ДЕЛИТЪ ЯВЛЯ8ТСЯ ЛК )~®~ЗЕ (ПбИТЯ.т ПРОХОДЯ)ЦЯЯ Ч8383 фИКСЩКЛЗЙЯНУЮ ТОЧКУ Х6 ~Ч ~~Жсй ал нет. Дуи ре)пения этого вопроса можно еспользоветь' сле- Ф7ОМ ~Р ' ' ~ ~ ~~ СОЩЖЖЖИ ЕОДРЯГПйй :-':-'~ ~рудПИ И) Основное снойстьо введенного отщщщд~ц ц, .„ '; "-;;ф::-: ~дуурщВЯ теорема,. ыаю ~л. о ~.
~ °, ~~ . е,н -. иеб ннстсобренпе. на которсп лействует понпнктещн тд~ппа $~~ Я ', ":.'~Я тетин в нноиестве типов орбит 0 ~~Ч) ~~ Н;)~ инеетсн еввпстнеп '-:"не щ1 тансу нексщщлъннй жп орбит ~ Нт), что ЯрИНИМаЕт ОЯНО И3 СЛЩЦЩЯЩ Знаьиа рф '. ь ф~ Йь~~ь,~ '.с "), и'и~(.'й' иь',~), Йау(а%, ~,а7') ас~~ь, ' и~Ъ4и~(и '.и~',~) й ~(с-ь~' ~ и '~ И~ жсии 9=~~М, 4-~ОФ) Жз~, ис у'~ ~ ийчи~иИИ Ой) ~, ~бМ) 1~ ~оказательство этой теореьи получается применением вынеопиСЕ%0й техники,и оно состоит в нахождении критических точек Функ- Ш Объема на пространства главньк орбит.
Эти вычисления будут ФЮени в следующих параграФах. Пусьь Гс- $ — маисиьвиьний юр гсуииы ли Я, ~'и ~ !П ~ "7" ~ ~итуиВИ, описанной в теореме. Пуоть АР: 4~ ' ~ ' — экспО-.. ®~мъное отобракенме алгабры Ли Я. гРуппы Ли 7 .з ГруппУ~, ~"' 2 '- коо$)дкнати в А.. ', которые мы будеи лспольЗовзть ,;-"'я-,', ) ~ ~~$'ЯВДЯДЗЛОСЬ ° Ваа ЕЙЛЙ ~ОМ .е р~~ К~~~~ ~ ~ ~м~ ~~~~ ~~ ~ ~~™ ГлаЗНОЙ лля дейстием лад ~фОРО ~ ~ '2 ' ~ / Иф6ДИИ6'р д~щууддрду~ др$дуу ддд ~Р— 1Р ~ д~~Я „*~~-1 И~ ~ ..'", Ф~~~~ ~Р~~-'~" "~'"' "~~~~ "~ Г ~~~ ° в) ОРбата, проходящая че:, -,-" ур сиНГ~ЛЯЮКМИ ЭЛВМ8КТ, ~~ЧЛ ~щтс~~оу~ ~".~ =О ~~ ~' + б «',щи НВСбОДОТ), б7Л8Т ГЛВВЕОЙ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
