Обобщение метода характеристик Коши для построения численно-аналитических методов решения задач синтеза оптимального управления (1104177), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Проде­монстрировано, что при большем значенииa2(увеличение параметраa2вле­чет за собой увеличение негативного влияния химиотерапевтического агентана иммунную реакцию) время “активной” терапии (когдаПоскольку определенная равенством (48) функцияΦ,u = R)сокращается.будучи положительной,имеет очень большой разброс значений для взятых параметров, то для числен­ного моделирования бралась целевая функцияln Φ,эквивалентнаяΦс точкизрения отношения порядка.Результаты Главы 2 опубликованы в работе [4].Глава 3 является продолжением Главы 1, в которой при определенныхпредположениях был изложен метод построения синтеза оптимального управ­ления на основе исследования расположения характеристик задачи Коши дляуравнения ГЯБ (выяснения того, как расширенное фазовое пространство запол­няется характеристиками).

Предлагается метод отыскания глобального реше­ния задачи Коши для уравнения ГЯБ посредством задания граничных значенийна поверхности особых характеристик, соответствующих особым оптимальнымуправлениям. Как и в Главе 1, управление считается одномерным и линейновходящим в систему.В Разделе 3.1 дана постановка задачи.Рассматривается та же самая задача оптимального управления (1),(2), чтои в Главе 1. Все предположения и обозначения Главы 1, предшествующие фор­мулировке указанного выше Предположения 3, считаются сохраняющими силу.Черезγsобозначим совокупность всех таких интегральных кривых систе­мы (7), которые соответствуют допустимым особым управлениям, проходят че­резγ0 ×{0} и рассматриваются до момента первого своего попадания на множе­ство (16).

Основная идея предлагаемого метода заключается в задании гранич­ного условия для искомой функции цены наγsс целью решения уравнений вчастных производных из (12) в областях, которые не заполнены интегральнымикривыми, составляющими множестваΩ1иΩ2 .28В первой половине Раздела 3.2 разобран ряд примеров, в числе которыхзадачаdm= q(m) − αmf (h),dt dh = −µh + u(t), α = const > 0,dt0 6 u(t) 6 R, R = const > 0, Φ(m(T )) := m(T ) −→ inf,µ = const > 0,(52)гдеq(m) := rm −илиq(m) :=r|m|1+βθrm (β − ln |m|) , m 6= 0,0,r ,β , θhf : [h, +∞) → Rнепрерывно— отрицательная константа,f (0) = 0,f 0 (h) > 0например,(54)m = 0,— положительные константы, функциядифференцируема,(53)f (h) > 0приh > 0,f 0 (h0 ) = 0,R0;f (h) < 0 при h > h0 , h0 = const ∈ 0,µµf (h) := ahe−bh с константами a > 0, b > .

Здесь h = h0Rприh 6 h < h0 ,наγ s,функция цены представляется аналитически и является гладкой. Это математи­ческая модель терапии однородной твердой несосудистой опухоли с немонотон­ной функциейвремени t,f (h).При этомm(t)— количество опухолевых клеток в моментh(t) — концентрация лекарства в момент t, функция q(·) задает логи­стический закон (в случае (53)) либо закон Гомперца (в случае (54)) для ростаопухоли.Во второй половине Раздела 3.2 описана общая ситуация, имевшая местов последнем примере.29Рис.

5. Геометрическая картина оптимального синтеза в одном из примеров Раздела 3.2.Имеемdψ, f 2 (x) ψ(T ), f 2 (x(T )) (5) =dtt=T,Вторая производнаяd2 2ψ,f(x)dt2= 0приx(T ) ∈ γ0 .(55)(4),(5)с помощью соотношений (4) может бытьзаписана в формеd2 2ψ,f(x)= a1 (x, ψ) + a2 (x, ψ)u.dt2(4)С учетом представления (56) из условияu = ũs (x, ψ) := −Предположение 5.КеллиПусть такжеa1 (x, ψ)a2 (x, ψ)d2 2ψ,f(x)= 0dt2(56)получаем, что(x, ψ) ∈ G × Rn , a2 (x, ψ) 6= 0.при(57)Будем считать что на γ s выполнено усиленное условие,∂ d2 ∂H= a2 (x, ψ) > 0.∂u dt2 ∂uũs (x, ψ) ≡ us (x) ∈ (u1 , u2 )на(58)γ s.(59)30Если имеет место (59), то из равенстви соотношений (4),(5) сintPd ≡ 0ψ(t), f 2 (x(t)) dt(4)ψ(t), f 2 (x(t)) ≡и независимостьx0 ∈ γ0выводится, что включениеũs (x, ψ) ∈ (u1 , u2 ) =ũs (x, ψ) от ψ имеют место тождественно на особой поверх­ности.

В примерах Главы 3 таким образом получены аналитические выражениядляus (x).При этом в ряде дополнительных естественных предположенийявляется связной регулярной гиперповерхностью вRn+1 , делящей рассматрива­емую область расширенного фазового пространства переменныхчасти, которых мы обозначим черезQ1иγs(x, τ )на двеQ2 .Известно, что локальный синтез экстремалей в некоторой окрестности осо­бой поверхностиγ s строится посредством соединения особых интегральных тра­екторий с регулярными (соответствующими постоянным граничным управлени­ямu ≡ ui , i = 1, 2).Более того, части полученных при этом траекторий, лежа­щие в некоторой окрестностиγ s,удовлетворяют принципу максимума Понтря­гина. В Разделе 3.2 введены еще два предположения, обеспечивающие глобаль­ность такой геометрической картины оптимального синтеза и проверяемые впримерах. Тем самым особая поверхность единственна и переключение любо­го допустимого процесса, удовлетворяющего принципу максимума Понтряги­на, может быть совершено только на ней, причем не более одного раза.

Отсюдавытекает алгоритм синтеза оптимального управления.Следующее предположение позволяет уточнить полученный результат.Предположим что какова бы ни была точка (x, τ ) ∈γ s , если n1γ (x, τ ) — какой-нибудь нормальный вектор к γ s в точке (x, τ )принадлежащий ради определенности нормальному конусу Кларка NQCl (x, τ ),то выполнены неравенства,Предположение 6.,,s()1n1γ s (x, τ ), (−f (x, u1 ), 1)n1γ s (x, τ ),(−f (x, u2 ), 1)< 0,(60)> 0.31ОбозначимQi∗ :=Qi \ Ωi ∪ γ s ∪ ω i ∩ (Rn × [0, T+ )) ,i = 1, 2(61)(см., например, Рисунок 5).В предположениях Главы существуют и единственны гладкиерешения задач Коши3Теорема 4. i ∂S∗ = ∇x S i , f 1 (x) + ∇x S i , f 2 (x) ui ,∗∗∂τ S i (x, τ ) = S s (x, τ ), (x, τ ) ∈ γ s ,γ∗(x, τ ) ∈ Qi∗ ,i = 1, 2,(62)функция цены имеет видS(x, τ ) =S i (x, τ ),(x, τ ) ∈ Ωi ,i = 1, 2,S∗i (x, τ ),(x, τ ) ∈ Qi∗ ,i = 1, 2,Sγ s (x, τ ),(x, τ ) ∈ γ s ,(63)и мы приходим к следующему представлению оптимального позиционногоуправления:uopt (x, T − τ ) =см.

Рисунки( ui ,(x, τ ) ∈ Qi , us (x),(x, τ ) ∈ γi = 1, 2,s(64).5,6)В Разделе 3.3 разработанный подход применен к задаче синтеза опти­мального управления для математической модели терапии вирусных инфекцийdx1= λ1 − γ1 x1 − α1 x1 f1 (h),dtdx2= λ2 + α3 f3 (h) − γ2 x2 − α2 x2 f2 (h), dtdh= −γ3 h + u(t),dt0 6 u(t) 6 R, t ∈ [0, T ], Φ(x1 (T ), x2 (T )) := x2 (T ) + εx2 (T ) −→ inf,12где:(65)32• x1 (t)— численность основных вирусов в моментвирусов-мутантов в момент• λi > 0, i = 1, 2,t, h(t)t, x2 (t)— численность— концентрация лекарства в моментt;— скорости воспроизводства основных и мутировавшихвирусов;• γi > 0, i = 1, 2,— показатели смертности вирусов двух типов,γ3 > 0—коэффициент диссипации лекарства;• αi , i = 1, 2, 3, R, ε• fi (h) = f (h) :=— положительные константы;h, i = 1, 2, B = const > 0,B+h— функциитерапии, характеризующие интенсивность негативного влияния лекарствана клетки, зараженные основными и мутировавшими вирусами,f 0 (h) =B> 0 ∀h > −B;(B + h)2h2• f3 (h) :=, A = const > 0,A + h2(66)— функция, описывающая увеличениескорости воспроизводства вирусов-мутантов под воздействием лекарства,f30 (h) =• u(·)2Ah> 0 ∀h > 0;(A + h2 )2(67)— управляющая функция, которая задает количество лекарства, по­ступающего в организм пациента в единицу времени.Также приняты следующие предположения:•справедливы неравенстваR− h − 4Bh + 3 A − B h + 4ABh + AB > 0 ∀ h ∈ 0,,γ3 0 Rrα2α3 f3 γ3 < x1 ,x1 <ε·α1 2α2 f 0 Rγ3vu 2u0 R0u α f3 γR3α3 f 3 γ 3 3  − α1 x21 , + ux2 <t2α2 f 0 R2α2 f 0 Rεα2γ3γ343222(68)(69)33где0 < x1 = const <λ1γ1 + α1 fλ20 < x2 = const < ,Rγ3x1 = const >λ1,γ1 ,γ2 + α2 f γR3 λ2 + α3 f3 γR3x2 = const >;γ2•(70)выполнены требованияRh3 + 3Bh2 − 3Ah − AB < 0 ∀ h ∈ 0,,γ30 < us (x1 , x2 , h) < R ∀ (x1 , x2 , h) ∈R∈ G := x1 < x1 < x1 , x2 < x2 < x2 , 0 < h <,γ3(71)(72)гдеus (x1 , x2 , h) := γ3 h −α3−1f30 (h)f 00 (h)− f300 (h)·0f (h)000· λ1 x−11 (α3 f3 (h) − α2 x2 f (h)) − α3 f3 (h)(γ2 + α2 f (h)) +(73)+ α2 f 0 (h)(λ2 + α3 f3 (h)))есть особое позиционное управление.В сделанных допущениях к задаче (65) применим алгоритм синтеза опти­мального управления, описанный в Разделе 3.2.

Чтобы можно было получитьпредставления (63),(64), необходимо проверить выполнение Предположения 4.Однако в этом примере не было получено аналитическое представление дляγ s , а потому вопрос установления справедливости Предположения 4 аналитиче­ским путем остается нерешенным. Заметим, что в рассмотренной ранее задаче(52) с немонотонной функцией терапииf γsобладает тривиальным аналитиче­ским представлением и выполнение Предположения 4 проверяется элементар­но.

Вместе с тем, действуя неформально, можно проводить численную проверкусправедливости Предположения 4 для имеющихся конкретных значений пара­метров.34Рис. 6. Синтез оптимального управления в математической модели терапии вирусных ин­фекций.Раздел 3.4 посвящен теореме о гладкости функции цены вида (63). В этомслучае поверхностьγ s , во всех точках которой сохраняется гладкость функциицены, является универсальной согласно модифицированной А.

Характеристики

Список файлов диссертации