Обобщение метода характеристик Коши для построения численно-аналитических методов решения задач синтеза оптимального управления (1104177), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

2. К условию (20).В Разделе 1.2.2 аналогично разбирается случай, при которомΩ2τ ⊇ Dτ2Ω1τ ⊆ Dτ1 \ γτ1 ∀τ ∈ (0, T ].и(21)В Разделе 1.2.3 получены результаты, описывающие ситуации, в которыхфазовые компоненты характеристик задачи (6) с разными начальными позици­ями приτ = 0 (т. е.приt = T)является гладкой всюду вне пересекаются друг с другом и функция ценыG × (0, T ) .Пусть выполнено условие (20); случай выполнения условия (21) разбира­ется аналогично.Предположим чтоγ 1 — связная регулярная гиперповерхность без краевых точек в Rn+1делящая G×(T−, T+) на две части D1 и Q2 := ((G×(T−, T+)) \ D1) ∪ γ 1,которые при удалении из них γ 1 становятся открытыми областями в,Предположение 4.:1),Rn+1 ;если (x, τ ) ∈ γ 1 и nγ (x, τ ) — какой-нибудь нормальный вектор кγ 1 в точке (x, τ ) принадлежащий ради определенности нормальному2)1,()18Рис.

3. К Предположению 4.конусу КларкаNQCl2 (x, τ ),то справедливы неравенстваhnγ 1 (x, τ ), (−f (x, ui ), 1)i < 0,i = 1, 2.(22)∀τ ∈ (T− , T+ ).(23)ОбозначимQ2τ :=ИмеемQ20 = D02 = Ω20 .x ∈ Rn : (x, τ ) ∈ Q2Из условия (22) приi=2следует, чтоΩ2τ ⊆ Q2τ \ γτ1 ∀τ ∈ (0, T+ ).(24)Q2 \ Ω2 ∪ γ 1 ∪ ω 2 ∩ (Rn × [0, T+ ))(25)Также положимQ2∗ :=(см. Рисунок 3).В сделанных предположениях при условии существует един­ственное гладкое решение S∗2 : Q̃2∗ × (T−, T+) → R задачи КошиТеорема 3. 2 ∂S∗ = ∇x S 2 , f 1 (x) + ∇x S 2 , f 2 (x) u2 ,∗∗∂τ S 2 (x, τ ) = S 1 (x, τ ), (x, τ ) ∈ γ 1 ,∗(20)(x, τ ) ∈ Q̃2∗ ,(26)19гдеQ̃2∗ :=x2 (τ ; τ 0 , x0 ), τ: (x0 , τ 0 ) ∈ γ 1 , τ ∈ T− , τ 0 + θ2 (x0 )(27)есть содержащая множество Q2∗ открытая область в Rn+1 и,S 1 (x, τ ), (x, τ ) ∈ D1 ∩ (Rn × [0, T ]),S(x, τ ) =S 2 (x, τ ), (x, τ ) ∈ Ω2 ∩ (Rn × [0, T ]),S∗2 (x, τ ), (x, τ ) ∈ Q2∗ ∩ (Rn × [0, T ]),uopt (x, T − τ ) =u1 , (x, τ ) ∈ D1 ∩ (Rn × [0, T ]),(28)(29)u2 , (x, τ ) ∈ Q2 ∩ (Rn × [0, T ]).В Разделе 1.3 рассматривается пример — математическая модель тера­пии лейкоза с подчиненной закону Гомперца динамикой численностей здоровыхи зараженных клеток, стандартным линейным фармакокинетическим уравне­нием и монотонно возрастающими функциями терапии.ПустьN (t)— численность здоровых клеток в момент временичисленность лейкозных клеток в моменттического агента в моментt.tиh(t)t, L(t)—— количество химиотерапев­Следующая модель описывает динамику числен­ностей клеток обоих типов:LadL= rl L ln− γl L − fl (h)L,dtLNadN=rNln− γn N − cN L − fn (h)N,nN dtdh= −γh h + u(t),dt0 6 u(t) 6 R, 0 6 t 6 T, Φ1 (L(T ), N (T )) −→ inf .(30)20Здесьfl (h) := λl f (h), fn (h) := λn f (h)f : (−κ, +∞) → R—функции терапии,— непрерывно дифференцируемая функция,hf 0 (h) > 0 ∀h > −κ, например, f (h) :=,κ+hL2 ,N > N̆ ,Φ1 (L, N ) :=2L2 + α N − N̆ , N 6 N̆ ,rl ,rn ,La ,Na ,γl ,γn ,γh ,c,λl ,λn ,κ,R,α,N̆ ,T(31)— положительные константы.С помощью замены переменныхl := lnLa,Ln := lnNaN(32)мы приходим к задачеdl= −rl l + γl + fl (h),dtdn= −rn n + γn + ca e−l + fn (h),dtdh= −γh h + u(t), dt0 6 u(t) 6 R, 0 6 t 6 T,Φ(l(T ), n(T )) −→ inf,L2 e−2l ,Na e−n > N̆ ,aΦ(l, n) :=2L2 e−2l + α Na e−n − N̆ , Na e−n 6 N̆ ,aгде(33)ca := cLa .ОбозначимS 0 := S 1 ,S R := S 2 ,D0 := D1 ,DR := D2 ,γ 0 := γ 1 ,γ R := γ 2 ,Ω0 := Ω1 ,ΩR := Ω2 ,ω 0 := ω 1 ,ω R := ω 2 .Выпишем первые интегралыΨR,0i , i = 1, 2, 3,(34)для расширенной системы21(33),dτ= −1dtсu≡Rиu ≡ 0:Ψ01 (h, τ ) = he−γh τ ,−γh τΨR+1 (h, τ ) = heR1 − e−γh τ ,γhZ10 (h, τ, s) = Ψ01 (h, τ )eγh s ,R γh s(e− 1) ,γhγl+1 − e−rl τ +rlZτR,0−rl s+ e fl Z1 (h, τ, s) ds,γh sZ1R (h, τ, s) = ΨR−1 (h, τ )e−rl τΨR,02 (l, h, τ ) = le0γl rl srl s(e − 1) −Z2R,0 (l, h, τ, s) = ΨR,0−2 (l, h, τ )erlZsR,0rl s−rl ξ− ee fl Z1 (h, τ, ξ) dξ,(35)0γn−rn τΨR,0+1 − e−rn τ +3 (l, n, h, τ ) = nernτZτZR,0+ e−rn s fn Z1R,0 (h, τ, s) ds + ca e−rn s − Z2 (l,h,τ,s) ds.00ТогдаR,0R,0L2a e−2Ψ2 (l,h,τ ) , Na e−Ψ3 (l,n,h,τ ) > N̆ ,2R,0R,0R,02−2Ψ(l,h,τ)−Ψ(l,n,h,τ)23S (l, n, h, τ ) =La e+ α Na e− N̆ ,R,0Na e−Ψ3 (l,n,h,τ ) 6 N̆ ,где(36)∂S R,0R,0>∇(l,n,h) S (l, n, h, τ ), (0, 0, 1)=(l, n, h, τ ) =∂hR,0R,02 −2ΨR,02 (l,h,τ ) ·Ψ(l, h, τ ), Na e−Ψ3 (l,n,h,τ ) > N̆ ,−2Lea2hR,0R,0R,02−2Ψ(l,h,τ)(37) − 2 La e 2(l, h, τ ) + αNa e−Ψ3 (l,n,h,τ ) ·· Ψ2h=R,0−ΨR,0(l,n,h,τ )3· Ψ3(l, n, h, τ ) · Na e− N̆ ,hR,0Na e−Ψ3 (l,n,h,τ ) 6 N̆ ,R,0R,0частные производныеΨ2(l, h, τ ), Ψ3(l, n, h, τ ) могут быть вы­hh22Рис.

4. Сечения множествременныхD0 ,γ 0 ,DR ,γ R , рассматриваемых в четырехмерном пространстве пе­(L, N, h, τ ), плоскостью, заданной уравнениями N = N 0 , τ = τ 0 при фиксированныхN 0 ,τ 0 .числены с помощью соотношений (35). Представления множествDR,0 ,γ R,0по­лучаются из определений (13),(34) с использованием (35),(37).Утверждение 1.rl − rnВ случаеλl< ca e−l ,λnγl + fl h,l = const >rlh = const >R,γh(38)справедливы Предположение и требованиет. е.

мы приходим к алго­ритму оптимального синтеза из Разделадиссертации. В случае3(20),1.2.1rl − rn > ca e−lλl,λnl = const <γl + fl (h),rlh = const ∈ (−κ, 0),(39)справедливы Предположение и требованиет. е. мы приходим к алго­ритму оптимального синтеза из Разделадиссертации.3(21),1.2.2Вопрос аналитической проверки условий, обеспечивающих применимостьрезультатов Раздела 1.2.3 диссертации к задаче (33), остается нерешенным. Од­нако, действуя неформально, можно проводить численную проверку для имею­щихся конкретных значений параметров.Основные результаты Главы 1 опубликованы в работе [1].23В Главе 2 с помощью методологии, изложенной в Главе 1, исследуется за­дача оптимального управления в математической модели, которая описываетдинамику роста злокачественной опухоли вместе с соответствующей реакциейиммунной системы при воздействии химиотерапевтического агента и основанана модели Н.

В. Степановой. Учитывается негативное влияние химиотерапевти­ческого агента как на опухолевые, так и на иммунокомпетентные клетки; приэтом, как и в математической модели терапии лейкоза из Главы 1, рассматри­ваются монотонно возрастающие функции терапии. Динамика самого химиоте­рапевтического агента задается стандартным линейным фармакокинетическимуравнением, в отличие от ряда работ У. Ледзевич и Х.

Шаттлера, где оно от­сутствует. Задача состоит в отыскании стратегии лечения, оптимальной с точкизрения минимизации объема опухоли и в то же время поддержания иммуннойреакции не ниже фиксированного допустимого уровня настолько, насколько этовозможно.В Разделе 2.1 дана постановка указанной задачи оптимального управ­ления. Пустьиhx— объем опухоли,y— плотность иммунокомпетентных клеток— концентрация химиотерапевтического агента.

Динамика роста злокаче­ственной опухоли вместе с соответствующей реакцией иммунной системы привоздействии химиотерапевтического агента описывается системойЗдесьx∞dxx∞=µxln− ρ1 xy − f1 (h)x,1dtxdy= − (µ2 x(βx − 1) + ρ2 + f2 (h)) y + α,dt dh = −γh h + u(t), 0 6 t 6 T.dt— вместимость (потенциальная емкость) опухоли, µ1(40)иαопределяютскорости роста численностей опухолевых и иммунокомпетентных клеток соот­ветственно,ρ1иρ2— показатели их смертности, выражениес положительными параметрамиµ 2 ,β−µ2 x(βx − 1)yописывает взаимодействие между двумятипами клеток, т. е. зависимость иммунной реакции от численности опухолевыхклеток.

Негативное влияние химиотерапевтического агента на опухолевые и им­24мунокомпетентные клетки задается функциями терапиинем дифференциальном уравненииγhf1 (h),f2 (h).В послед­можно интерпретировать как параметрдиссипации химиотерапевтического агента, аu(·) ∈ L∞ ([0, T ], R)— управляю­щая функция, представляющая поступление препарата в организм пациента.Допустимые управления удовлетворяют ограничению0 6 u(t) 6 R ∀t ∈ [0, T ]с фиксированной положительной константой(41)R.Пустьf1 (h) := a1 f0 (h),f0 : [h, +∞) → Rf2 (h) := a2 f0 (h),(42)— непрерывно дифференцируемая функция,f00 (h) > 0 ∀h > h(т.

e. функции терапии строго возрастают приные константы,hbгдеa1 , a2— положитель­— отрицательная константа. Например, можно положитьf0 (h) :=гдеh > h),h,b+h(43)— положительная константа.Оптимальное управление заключается в достижении точной нижней гранигладкой целевой функцииΦ1конечный момент времениΦ1 (x(T ), y(T )) :=от фазовых координат системы в фиксированныйT > 0:x2 (T ),y(T ) > y^,−→Здесь параметр−→x2 (T ) + A (y(T ) − y^)2 , y(T ) 6 y^y^ характеризуетinfu(·) ∈ L∞ ([0,T ],[0,R])(44).приемлемый уровень иммунной реакции,A—достаточно большая положительная константа.С помощью замены переменныхc := lnx∞x(45)25мы приходим к задачеdc= −µ1 c + ρ1 y + f1 (h), dtdy= − µy e−c (βy e−c − 1) + ρ2 + f2 (h) y + α,dt dh = −γh h + u(t), 0 6 t 6 T,dt(46)гдеµy := µ2 x∞ ,βy := βx∞ .(47)При этом целевая функция (44) преобразуется к видуΦ(c(T ), y(T )) :=x2 e−2c(T ) ,∞y(T ) > y^,−→x2 e−2c(T ) + A (y(T ) − y^)2 , y(T ) 6 y^∞−→infu(·) ∈ L∞ ([0,T ],[0,R])(48).Очевидно, что открытая областьG :=сильно(c, y, h) ∈ R3 : c > 0, y > 0, h < h < h ,Rh = const < 0, h = const >,γhинвариантнаотносительно(41).

В случае (43) будем считать, чтоуправляемой−b < h < 0.системы(49)(46),Далее рассматриваютсятолько допустимые фазовые траектории, проходящие вG.В Разделе 2.2 с помощью принципа максимума Понтрягина выведеныдостаточные условия для существования у оптимального управления не болееодного и не более двух переключений при отсутствии участков особых режимов.В Разделе 2.3 получены вспомогательные оценки для допустимых фазо­вых траекторий управляемой системы (46),(41).Раздел 2.4 посвящен синтезу оптимального управления в задаче (46),(41),(48). Аналитические представления для поверхностей в расширенном фазовомпространстве, на которых совершается последнее переключение, получены с26помощью первых интегралов−1сu≡RиΨR,0i , i = 1, 2, 3,расширенной системы (46),dτ=dtu ≡ 0:uR,0= he+1 − e−γh τ , uR := R, u0 := 0,γhuR,0 γh sR,0R,0γh sZ1 (h, τ, s) := Ψ1 (h, τ )e−(e − 1) ,γhR,0R,0−c−cg (c, h, τ, s) := −µy eβy e − 1 − ρ2 − f2 Z1 (h, τ, s) ,τZ g R,0 (c, h, τ, s)ds −ΨR,02 (c, y, h, τ ) = y expΨR,01 (h, τ )−γh τ(50)0sZτZ− α exp  g R,0 (c, h, τ, ξ)dξ  ds,00 µ1R,0 − γh−ΨR,0(c,y,h,τ)=cγh+uh3Zh−µ 1R,0 1− γh(ρ1 y + f1 (η)) γh η − udη.0Отсюда имеемS R,0 (c, y, h, τ ) =ρ12x∞ exp −2 ΨR,02 (c, y, h, τ ) −µ1 µρ1 − 2ΨR,0(c, y, h, τ ) ΨR,0(c, y, h, τ ) 1 ,31ΨR,0^,2 (c, y, h, τ ) > y=ρ1x2∞ exp −2 ΨR,02 (c, y, h, τ ) −µ1 µρ1 R,0R,0− 2Ψ3 (c, y, h, τ ) Ψ1 (c, y, h, τ ) 1 +2R,0^.+ A Ψ2 (c, y, h, τ ) − y^ , ΨR,02 (c, y, h, τ ) 6 yПредставления множествDR,0 ,γ R,0(51)выводятся с использованием соотношений(50),(51).В предположениях Раздела 2.3 сформулирован алгоритм синтеза опти­мального управления (по аналогии с Разделами 1.2.1,1.2.2).27В Разделе 2.5 приведены результаты численного моделирования.

Характеристики

Список файлов диссертации