Обобщение метода характеристик Коши для построения численно-аналитических методов решения задач синтеза оптимального управления (1104177), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Разработаны новые численно-аналитические методырешения задач синтеза оптимального управления, использующие аппарат обобщенных характеристик задачи Коши для уравнения ГЯБ и применимые к системам с одномерным линейно входящим управлением при отсутствии фазовыхограничений. Для ряда новых моделей математической биологии и медицины cфармакокинетическим уравнением, описывающим динамику концентрации терапевтического агента, построен глобальный синтез оптимального управления.Теоретическая и практическая значимость. Разработанный подход,во-первых, открывает широкое поле для исследований задач синтеза управления и, во-вторых, позволяет выявлять структуру оптимального позиционногоуправления для определенных классов математических моделей биологии, медицины, механики.На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:•метод синтеза оптимального управления в задачах без особых режимов ис не более чем одним переключением;•решение задачи синтеза оптимального управления в математической модели терапии злокачественной опухоли, учитывающей реакцию иммуннойсистемы, основанной на модели Н.
В. Степановой и содержащей стандартное линейное фармакокинетическое уравнение;•метод синтеза оптимального управления в задачах с особыми характеристиками и достаточные условия гладкости решения уравнения ГЯБ;9•метод оценки альтернативных стратегий управления системами с асимптотически устойчивыми положениями равновесия.Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались на:•секции «Вычислительная математика и кибернетика» XIX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2012» (Москва, МГУ имени М.
В. Ломоносова, 9–13 апреля 2012г.);•научно-исследовательском семинаре «Прикладные задачи системного анализа» кафедры системного анализа факультета ВМиК МГУ имени М. В.Ломоносова под руководством академика РАН, профессора А. Б. Куржанского;•научно-исследовательском семинаре «Динамические системы и математические модели биологии» кафедры системного анализа факультета ВМиКМГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. С. Братуся;•научно-исследовательском семинаре «Геометрические методы в теории оптимального управления» кафедры общих проблем управления механикоматематического факультета МГУ имени М. В.
Ломоносова под руководством члена-корреспондента РАН, профессора М. И. Зеликина;•научно-исследовательском семинаре «Методы оптимизации в функциональных пространствах» кафедры оптимального управления факультетаВМиК МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Ф. П.Васильева;•научно-исследовательском семинаре отдела имитационных систем и исследования операций Вычислительного центра РАН имени А. А. Дородницы10на под руководством профессора В. И.
Елкина.Публикации. Материалы диссертационной работы опубликованы в пятипечатных работах, список которых приведен в конце автореферата [1–5], из нихчетыре статьи в журналах перечня ВАК [1–4] и один тезис доклада [5].Во всех работах автором постановки задач является научный руководитель, профессор А. С. Братусь. Автором диссертации целиком проведены аналитические исследования и численное моделирование в работах [2–4], написанныхединолично. Работа [1] написана в соавторстве с А. С.
Братусем, Й. Т. Тодоровым и Д. В. Юрченко; в ней автором диссертации проведен ряд теоретическихисследований, касающихся применения обобщенного метода характеристик Коши для построения глобального синтеза оптимального управления, и построенынекоторые графические иллюстрации.К публикациям [2–4] все материалы были подготовлены автором диссертации, подготовка материалов к публикации [1] осуществлялась совместно сЙ. Т.
Тодоровым.Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научномуруководителю, профессору А. С. Братусю, за постановки задач, ценные указания и консультации в процессе подготовки публикаций, диссертации и автореферата (в том числе за критические замечания к соответствующим текстам), атакже благодарит академика РАН, профессора А. Б. Куржанского, члена-корреспондента РАН, профессора М.
И. Зеликина, члена-корреспондента РАН, профессора Н. Н. Субботину, профессора Ф. П. Васильева, профессора А. М. Филимонова, доцента А. С. Новожилова и Й. Т. Тодорова за методические рекомендации и обсуждения результатов.Личный вклад автора:•структуризован, формализован и дополнен подход к построению синтезаоптимального управления, использующий обобщение классического метода характеристик Коши и возникший из накопленного опыта решения11конкретных прикладных задач математической биологии, медицины, механики;•получены достаточные условия гладкости решения уравнения ГЯБ длянекоторых классов задач;•для ряда новых моделей математической биологии и медицины c фармакокинетическим уравнением построен глобальный синтез оптимальногоуправления.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения,обзора литературы, четырех глав, заключения, библиографии и трех приложений.
Общий объем диссертации — 181 страница, из них 158 страниц текста,включая 15 рисунков. Библиография включает в себя 162 наименования на 20страницах.Содержание работыВо Введении раскрыты актуальность, цели и задачи, теоретическая ипрактическая значимость работы, кратко описаны полученные результаты.В Обзоре литературы кратко описано историческое и систематическоеразвитие исследуемой проблемы в научных работах.Глава 1 диссертации посвящена разработке метода синтеза оптимального управления, основанного на обобщении метода характеристик Коши, применительно к задачам, в которых у допустимых процессов, удовлетворяющихпринципу максимума Понтрягина, отсутствуют участки особых режимов и имеется не более одного переключения. Управление предполагается одномерным илинейно входящим в систему.В Разделе 1.1 дана общая постановка задачи в тесной связи с обобщенным методом характеристик для уравнения ГЯБ и получен ряд утверждений,12составляющих теоретическую основу исследований первых трех глав диссертации.Рассматриваются управляемая системаdx= f (x, u(t)) := f 1 (x) + u(t) · f 2 (x),dtnx(t) ∈ R ,u(t) ∈ P := [u1 , u2 ] ⊂ R,соответствующая сильно инвариантная областьG ⊆ Rn(1)t ∈ [0, T ],фазового пространстваи целевой функционалΦ(x(T )) −→infu(·) ∈ L∞ ([0,T ], P ),(2)удовлетворяющие ряду естественных предположений.
Запишем гамильтониан,задачи Коши для характеристической системы в прямом времени и для уравнения ГЯБ в обратном времени:H(x, ψ, u) =ψ, f 1 (x) + ψ, f 2 (x) u,dx= f 1 (x) + u(t) · f 2 (x),dt dψ = − Dx f 1 (x) > · ψ − u(t) · Dx f 2 (x) > · ψ,dtx |t=T = x0 , ψ |t=T = −∇Φ(x0 ), x0 ∈ G,S = S(x, τ ), τ := T − t, ∂S = ∇x S, f 1 (x) + min∇x S, f 2 (x) ū ,u1 6ū6u2∂τ(x, τ ) ∈ G × [0, T ], S(x, 0) = Φ(x), x ∈ G.(3)(4)(5)(6)В обратном времени система (1) и задача Коши (4),(5) для характеристическойсистемы принимают видdx= −f (x, u(T − τ ))) = −f 1 (x) − u(T − τ ) · f 2 (x),dτdx= −f 1 (x) − u(T − τ ) · f 2 (x),dτ dψ = Dx f 1 (x) > · ψ + u(T − τ ) · Dx f 2 (x) > · ψ,dτ(7)(8)13x |τ =0 = x0 ,ψ |τ =0 = −∇Φ(x0 ),x0 ∈ G.(9)Имеет место следующее:1) существует единственное вязкостное решение задачи Коши (6), котороесовпадает с функцией ценыS(x0 , τ 0 ) =u(·) ∈ L∞Φ (x (t = T ; T − τ 0 , x0 , u(·))) ,inf([T −τ 0 ,T ],P)заданной и непрерывной на множестве2) при любомS(x0 , τ 0 )3) значениенимумτ ∈ (0, T )Φ(x00 )функцияв точкепо всем таким(x0 , τ 0 ) ∈ G × [0, T ];S(·, τ ) : G → R(x0 , τ 0 ) ∈ G × [0, T ]x00 ∈ G,(10)локально липшицева;представляет собой мидля которых найдется хотя бы однахарактеристика^x^(·), ψ(·) : J^ → G × Rn(в обратном времени) задачи (6), удовлетворяющая равенствам(11)x^(τ 0 ) = x0 ,x^(0) = x00 ;(x0 , τ 0 ) ∈ G × (0, T ) супердифференциалD+ S(x0 , τ 0 ) :=(ax , aτ ) : ax ∈ Rn , aτ ∈ R,4) для каждой точкиlim(x,τ ) → (x0 ,τ 0 )S(x, τ ) − S(x0 , τ 0 ) − hax , x − x0 i − aτ (τ − τ 0 )6 0kx − x0 k + |τ − τ 0 |непуст и представляет собой выпуклую оболочку всех таких векторов000^^−ψ(τ ), −H x^(τ ), ψ(τ ) ,что (11) — какая-нибудь характеристика задачи (6), подчиненная равенствамx^(τ 0 ) = x0 , S(x0 , τ 0 ) = Φ (^x(0)).В Разделе 1.2 даны основные понятия разработанного метода синтезаоптимального управления и описано его применение к задачам, в которых у допустимых процессов, удовлетворяющих принципу максимума Понтрягина, отсутствуют участки особых режимов и имеется не более одного переключения.14Зафиксируем числаПусть приi = 1, 2T− < 0, T+ > T .функцияS i : G × (T− , T+ ) → Rпредставляет собойгладкое решение задачи Коши i ∂S = ∇x S i , f 1 (x) + ∇x S i , f 2 (x) ui ,∂τ S i (x, 0) = Φ(x), x ∈ G,(x, τ ) ∈ G × (T− , T+ ),(12)которое существует и единственно в принятых предположениях.i = 1, 2 функция S i находится аналитически посредdτинтегралов расширенной системы (1),= −1 c u ≡ ui .dtМы полагаем, что приствомnпервыхПоложимD1 := cl (x0 , τ 0 ) ∈ G × (T− , T+ ) : ∇x S 1 (x0 , τ 0 ), f 2 (x0 ) > 0 ∩D2∩ (G × (T− , T+ )) ,:= cl (x0 , τ 0 ) ∈ G × (T− , T+ ) : ∇x S 2 (x0 , τ 0 ), f 2 (x0 ) < 0 ∩γi∩ Di,гдеcl(13)∩ (G × (T− , T+ )) ,:= (x0 , τ 0 ) ∈ G × (T− , T+ ) : ∇x S i (x0 , τ 0 ), f 2 (x0 ) = 0 ∩i = 1, 2,обозначает операцию замыкания, иDτi :=x ∈ Rn : (x, τ ) ∈ Di ,γτi :=x ∈ Rn : (x, τ ) ∈ γ i∀τ ∈ (T− , T+ ),Полученные аналитически функции(14)i = 1, 2.S i , i = 1, 2, дают аналитические представления для множеств (13),(14).
Ясно, что прирешением уравнения ГЯБ из (6) на множествеi = 1, 2функцияSiявляетсяDi.Если зафиксирован номер i ∈ {1, 2} и множество Di совпадаетсо всей рассматриваемой частью расширенного фазового пространства переменных (x, τ ) то S ≡ S i и uopt ≡ ui всюду в G × [0, T ].Теорема 1.,Следующее предположение является ключевым в первых трех главах диссертации.15τγ2Dγ12D1D01γ0D02xРис. 1. К предположению (15).Предположение 1.Предположим что,γ01 = γ02 := γ0 .(15)С помощью принципа максимума Понтрягина получены достаточные условия для выполнения равенства (15).Пусть дляi = 1, 2 и x0 ∈ G θi (x0 ) — первый момент достижения множества(ext G × R) ∪ (Rn × [T+ , +∞))выходящей из позицииu ≡ ui(x, τ ) = (x0 , 0)(16)интегральной кривой системы (7) с(при этом в ряде естественных предположенийθi : G → (0, T+ ]—локально липшицевая однозначная функция), аxi (·; 0, x0 ), ψ i (·; 0, x0 ) :есть решение (8),(9) сu ≡ ui .T− , θi (x0 ) → R2nКроме того, пусть приi = 1, 2(17)для любых(x0 , ψ 0 , τ 0 ) ∈ G × Rn × (T− , T+ )xi (·; τ 0 , x0 ), ψ i (·; τ 0 , x0 , ψ 0 ) :есть решение системы (8) с(xi(·; τ 0 , x0 )отψ0T− , τ 0 + θi (x0 ) → R2n(18)u ≡ ui , подчиненное равенству (x, ψ) |τ =τ 0 = (x0 , ψ 0 )не зависит).16Предположим что int D01 int D02 — открытые областив Rn int D0i = D0i \ γ0 i = 1, 2 и γ0 — связная регулярная гиперповерхностьбез краевых точек в Rn делящая G на две части D01 D02.,Предположение 2.,,,,,,Положим: x0 ∈ D0i , τ ∈ T− , θi (x0 ) , iω i :=x (τ ; 0, x0 ), τ : x0 ∈ γ0 , τ ∈ T− , θi (x0 ) ,Ωiτ := x ∈ Rn : (x, τ ) ∈ Ωi∀τ ∈ (T− , T+ ), i = 1, 2.Ωi :=xi (τ ; 0, x0 ), τ(19)В Разделе 1.2 принято еще одно ограничение, заключающееся в том, чтоу допустимых процессов, удовлетворяющих принципу максимума Понтрягина,отсутствуют участки особых режимов и имеется не более одного переключения.Предположимчто для любойхарактеристикизаDE^ ), f 2 (^дачи скалярное произведение ψ(τx(τ )) не равно нулю всюду ни накаком невырожденном интервале содержащемся в J^ и имеет не более одногонуля на J^.,Предположение 3.(11)(6),,В Разделе 1.2.1 рассматривается случай, при которомΩ1τ ⊇ Dτ1иΩ2τ ⊆ Dτ2 \ γτ2 ∀τ ∈ (0, T ].(20)Получены достаточные условия для выполнения требования (20).Из следующей теоремы вытекает алгоритм синтеза оптимального управления.В сделанных предположениях при условии единственное переключение допустимого процесса удовлетворяющего принципу максимумаПонтрягина может произойти только на множестве γ 1 в расширенном фазовом пространстве переменных (x, τ ) и только с u = u2 на u = u1 при увеличении прямого времени t соответственно только с u = u1 на u = u2 приувеличении обратного времени τ но не наоборот.(20)Теорема 2.,,(),17τω2u = u2γ1u = u1u = u2ω1u = u1u = u2D1u = u1D02D01γ0xРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
