Обобщение метода характеристик Коши для построения численно-аналитических методов решения задач синтеза оптимального управления (1104177)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиНа правах рукописиЕгоров Иван ЕвгеньевичОбобщение метода характеристик Коши дляпостроения численно-аналитических методоврешения задач синтеза оптимальногоуправления01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы иоптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2014Работа выполнена на кафедре системного анализа факультета вычислительной математикии кибернетики федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего профессионального образования «Московский государственный университетимени М.

В. Ломоносова»Научный руководитель:Братусь Александр Сергеевич,доктор физико-математических наук, профессор кафедры систем­ного анализа факультета вычислительной математики и киберне­тики федерального государственного бюджетного образователь­ного учреждения высшего профессионального образования «Мос­ковский государственный университет имени М. В. Ломоносова»Официальные оппоненты:Разжевайкин Валерий Николаевич,доктор физико-математических наук, профессор, главный науч­ный сотрудник федерального государственного бюджетного учре­ждения науки «Вычислительный центр Российской академии на­ук имени А. А.

Дородницына»Павлова Наталья Геннадьевна,кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры нели­нейного анализа и оптимизации факультета физико-математиче­ских и естественных наук федерального государственного бюд­жетного образовательного учреждения высшего профессиональ­ного образования «Российский университет дружбы народов»Ведущая организация:федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Ин­ститут математики и механики имени Н. Н. Красовского Ураль­ского отделения Российской академии наук»Защита состоится 24 декабря в 15 час.

30 мин. на заседании диссертационного советаД 501.001.43 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова поадресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 52, 2-й учебный корпус,ВМК, аудитория 685.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственногоуниверситета имени М. В. Ломоносова по адресу: 119192, г.

Москва, Ломоносовский проспект,д. 27.Автореферат разослан «»2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.001.43,доктор физико-математических наук, профессорЕ. В. Захаров3Общая характеристика работыАктуальность работы.Известно, что задача синтеза оптимальногоуправления, т. е. отыскания оптимального закона обратной связи (позиционно­го, не программного управления), сводится к глобальному построению в фа­зовом или расширенном фазовом пространстве обобщенного решения задачиКоши для, вообще говоря, нелинейного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллма­на (коротко — уравнения ГЯБ) в частных производных первого порядка.

Средиметодов сугубо вычислительного характера для решения таких задач можно вы­делить полулагранжевые, конечно-разностные, использующие схему Ultra-Beeи основанные на аппроксимации множеств уровня. Их применение ограничива­ется следующими обстоятельствами:•численное решение задачи Коши для уравнения ГЯБ ищется в ограничен­ной области фазового или расширенного фазового пространства, в то вре­мя как сама задача обычно ставится в неограниченной области, и тем са­мым возникает проблема корректного выбора ограниченной области длявычислений;•близость приближенных решений задачи Коши для уравнения ГЯБ к точ­ному решению далеко не всегда может быть обосновано той или инойтеоремой о сходимости;•с помощью методов сугубо вычислительного характера сложно получитьцелостное представление о геометрической картине синтеза оптимальногоуправления, особенно для задач размерности, большей двух (в значитель­ной степени это связано с тем, что такие методы, как правило, описыва­ются для систем общего вида и поэтому не учитывают особенности дина­мики, имеющие место в конкретных классах математических моделей).С другой стороны, если для определенного (возможно, достаточно узкого)класса задач удается задать все поверхности переключений оптимального пози­4ционного управления, то глобальная геометрическая картина синтеза естествен­ным образом выявляется без возникновения перечисленных выше трудностей.Центральное место в диссертации занимает разработка численно-аналити­ческих методов исследования и построения указанных поверхностей переклю­чений в конкретных классах задач без фазовых ограничений и с одномернымлинейно входящим управлением.

В основу этих методов положено обобщениеклассического метода характеристик Коши для уравнений в частных производ­ных первого порядка, восходящее к работам Н. Н. Субботиной и А. А. Меликя­на. Важной особенностью разрабатываемого подхода является одновременноеиспользование следующих двух видов качественной информации:•аналитических представлений, которые определяют локальные решениязадачи Коши для уравнения ГЯБ, отвечающие постоянным граничнымуправлениям, и находятся из первых интегралов расширенной системыуравнений динамики;•результатов исследования как участков постоянства, так и особых участ­ков оптимальных управлений принципом максимума Понтрягина.Тем самым метод динамического программирования (достаточные условия оп­тимальности) комбинируется с принципом максимума Понтрягина (необходи­мыми условиями оптимальности).Также известно, что в тех точках переключений оптимального позиционно­го управления, где фазовые компоненты обобщенных характеристик с разныминачальными позициями на целевом множестве пересекаются друг с другом, мо­жет нарушаться дифференцируемость функции цены — решения задачи Кошидля уравнения ГЯБ.

В литературе по теории оптимального управления наблю­дается существенный дефицит примеров нетривиальных и содержательных за­дач, в которых функция цены является всюду гладкой (непрерывно дифферен­цируемой). В диссертационной работе для некоторых классов задач выводятсяусловия, обеспечивающие гладкость функции цены. Помимо этого представлен5ряд нетривиальных примеров (в том числе конкретные математические моде­ли), в которых выполнены указанные достаточные условия гладкости функциицены.

В некоторых из них удается получить полное аналитическое представ­ление для функции цены (что тоже крайне редко встречается в литературе),позволяющее непосредственно проверить ее гладкость.В диссертационной работе использование разработанных методов глобаль­ного синтеза оптимального управления демонстрируется на следующих моде­лях математической биологии и медицины:•математическая модель терапии однородной твердой несосудистой опухо­ли;•математическая модель терапии лейкоза;•математическая модель терапии злокачественной опухоли, учитывающаяреакцию иммунной системы и основанная на модели Н. В. Степановой;•математическая модель терапии вирусных инфекций.В каждой из них динамика самого терапевтического агента определяется стан­дартным линейным фармакокинетическим уравнением, оперирующим величи­ной концентрации вместо абсолютного значения дозировки.

Тем самым воздей­ствие терапии на рассматриваемые клетки или вирусы задается так называемы­ми функциями терапии, которые зависят от меняющейся со временем концен­трации терапевтического агента и могут быть как монотонными, так и немо­нотонными. Это более корректно с медицинской точки зрения по сравнениюс учетом в модели полностью управляемого абсолютного значения дозировкибез отдельного соответствующего уравнения динамики. Вместе с тем, такое до­бавление в управляемую систему нового уравнения и новой фазовой перемен­ной может сильно изменить структуру оптимального позиционного управленияи усложнить его поиск.

Поэтому примеры исследования задач оптимального6управления для моделей математической биологии и медицины с фармакокине­тическими уравнениями слабо распространены в литературе. Например, в рядеработ У. Ледзевич и Х. Шаттлера рассматриваются математические модели те­рапии злокачественной опухоли, которые так же, как и соответствующая задачав настоящей диссертационной работе, учитывают реакцию иммунной системыи основаны на модели Н.

В. Степановой, но с целью упрощения не содержатфармакокинетических уравнений и функций терапии.В диссертационной работе помимо проблематики синтеза оптимальногоуправления затронут и следующий вопрос, касающийся связи теории оптималь­ного управления с качественной теорией обыкновенных дифференциальныхуравнений. Для ряда автономных систем с терминальным целевым функцио­налом, обладающих при каждом фиксированном значении управляющего пара­метра единственным и асимптотически устойчивым положением равновесия,удается построить “разумное” допустимое управление, руководствуясь лишьанализом свойств динамики. Такие управления принято называть “альтерна­тивными” по отношению к управлениям, удовлетворяющим принципу макси­мума Понтрягина. Для указанного класса систем разработан способ априорно­го оценивания отклонения значения целевого функционала на альтернативномуправлении от оптимального значения, основанный на применении аппаратафункций Ляпунова и результатов предварительного исследования принципоммаксимума Понтрягина.Степень разработанности темы исследования.

Тематика качествен­ного исследования и отыскания решений задач синтеза оптимального управле­ния на текущий момент развита слабо даже для достаточно простых моделеймалых размерностей с одномерным линейно входящим управлением при отсут­ствии фазовых ограничений. Однако необходимо отметить два следующих осве­щенных в литературе подхода к синтезу оптимального управления в задачах содномерным линейно входящим управлением:7•общий теоретический подход к поиску локального синтеза, развивавшийсяв основном Х. Шаттлером, применимый, как правило, к системам малойразмерности и распространяемый на некоторые классы задач с фазовымиограничениями первого и, что значительно реже, второго порядков;•аналитический подход к глобальному построению решения уравнения ГЯБв конкретных классах задач без фазовых ограничений, намеченный в ра­ботах А.

С. Братуся и его учеников, а также структуризованный, форма­лизованный и дополненный в настоящей диссертационной работе.Цели и задачи диссертационной работы:•разработка численно-аналитического метода глобального синтеза опти­мального управления в задачах без особых режимов и с не более чемодним переключением;•разработка численно-аналитического метода глобального синтеза опти­мального управления в задачах с особыми характеристиками и получениедостаточных условий гладкости решения уравнения ГЯБ;•решение предложенными методами задач синтеза оптимального управле­ния для ряда новых моделей математической биологии и медицины, со­ответствующая программная реализация, проведение и содержательнаяинтерпретация набора вычислительных экспериментов с графической ви­зуализацией;•разработка численно-аналитического подхода к оценке альтернативныхстратегий управления системами с асимптотически устойчивыми поло­жениями равновесия, соответствующая программная реализация и про­ведение на конкретном примере вычислительных экспериментов для ил­люстрации уменьшения правой части априорной теоретической оценки сувеличением конечного момента времени;8•исследование двух специальных примеров моделей механики, в первом изкоторых разработанные методы синтеза оптимального управления не при­менимы, а во втором аналитически находится точное решение уравненияГЯБ для задачи другого вида, нежели рассматривавшийся при изложенииметодов.Научная новизна.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации