Диссертация (1104114), страница 6

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hx1; x2; : : : ; xn i { ª®°²¥¦ ¤¢®¨·­»µ ±«®¢; ±·¨² ¥¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ­¥ª®²®°³¾ ¢»·¨±«¨¬³¾ ­³¬¥° ¶¨¾ ¢±¥µ ª®­¥·­»µ ª®°²¥¦¥© ±«®¢. , , , . . . { ±«³· ©­»¥ ¢¥«¨·¨­». ‚±¥ ±«³· ©­»¥ ¢¥«¨·¨­», ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»¥ ¢ ° ¡®²¥, ¨¬¥¾² ª®­¥·­³¾ ®¡« ±²¼ §­ ·¥­¨©. K (x) { ª®«¬®£®°®¢±ª ¿ ±«®¦­®±²¼ ±«®¢ x. K (x1; x2; : : : ; xn) { ª®«¬®£®°®¢±ª ¿ ±«®¦­®±²¼ ª®°²¥¦ ±«®¢hx1; x2 ; : : : ; xni: K (xjy) { ³±«®¢­ ¿ ª®«¬®£®°®¢±ª ¿ ±«®¦­®±²¼ ±«®¢ x ®²­®±¨²¥«¼­®±«®¢ y. K (x1; x2; : : : ; xnjy1; y2; : : : ; ym) { ª®«¬®£®°®¢±ª ¿ ±«®¦­®±²¼ ª®°²¥¦ hx1; x2; : : : ; xn i ®²­®±¨²¥«¼­® ª®°²¥¦ hy1; y2; : : : ; ym i. I (x : y) := K (y) K (yjx) { ¢§ ¨¬­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿ ±«®¢ x ¨ y. I (x : yjz ) := K (yjz ) K (yjx; z ) { ¢§ ¨¬­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿ ±«®¢ x ¨y ®²­®±¨²¥«¼­® z ; ­ «®£¨·­® ®¡®§­ · ¥²±¿ ¢§ ¨¬­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿ª®°²¥¦¥© ±«®¢ (®²­®±¨²¥«¼­® ª®°²¥¦¥© ±«®¢).27 H () { ½­²°®¯¨¿ ˜¥­­®­ ±«³· ©­®© ¢¥«¨·¨­» ; ¥±«¨ ±«³· ©­ ¿¢¥«¨·¨­ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ a1,.

. . ,an, ²®H () :=nXi=1Prob[ = ai] log (Prob[ = ai]) :…±«¨ ±«³· ©­»¥ ¢¥«¨·¨­» , ¨¬¥¾² ­¥ª®²®°®¥ ±®¢¬¥±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥, ¯°¨·¥¬ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ a1; : : : ; an, ¯°¨­¨¬ ¥²§­ ·¥­¨¿ b1; : : : ; bm, ²® ³±«®¢­ ¿ ½­²°®¯¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ªXProb[ = ai; = bj ] log (Prob[ = bj j = ai]) :H ( j) :=i;j I ( : ) := H ( ) H ( j) { ¢§ ¨¬­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿ ±«³· ©­»µ ¢¥«¨-·¨­ ¨ ; ³±²¼ hx1; x2 : : : ; xk i { ª®°²¥¦ ±«®¢, V = fi1; : : : ; ir g f1; : : : ; kg {­ ¡®° ¨­¤¥ª±®¢; ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ xV ª®°²¥¦ hxi1 ; xi2 ; : : : ; xir i.

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‚±¥ «®£ °¨´¬» ¢ ±² ²¼¥ ¡¥°³²±¿ ¯® ®±­®¢ ­¨¾ 2.28ƒ« ¢ 1.P-²¨¯¨·­®±²¼ ¨ P-±«³· ©­®±²¼‚ ¤ ­­®© £« ¢¥ ¬» ¤ ¤¨¬ ®±­®¢­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ¤®ª ¦¥¬ ­¥±ª®«¼ª®²¥µ­¨·¥±ª¨µ «¥¬¬. °¥¦¤¥ ¢±¥£® ¬» ¤®ª ¦¥¬ «¥¬¬³ 1. “²¢¥°¦¤¥­¨¥½²®© «¥¬¬» ¢ ²®© ¨«¨ ¨­®© ´®°¬¥ ¢±²°¥· ¥²±¿ ¯° ª²¨·¥±ª¨ ¢® ¢±¥µ ° ¡®² µ ¯® ª®«¬®£®°®¢±ª®© ±«®¦­®±²¨.  ½²®¬ ¯°®±²®¬ ª®¬¡¨­ ²®°­®¬´ ª²¥ ¢ ª®­¥·­®¬ ¨²®£¥ ®±­®¢ ­® «¾¡®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ª®«¬®£®°®¢±ª®©±«®¦­®±²¨. ‹¥¬¬ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ±«®¢ A ¨¬¥¥² ¯°®±²®¥ ®¯¨± ­¨¥, ²® ¢±¥ ±«®¢ ¨§ ¤ ­­®£® ¬­®¦¥±²¢ ¨¬¥¾² ±«®¦­®±²¼ ­¥­ ¬­®£® ¡®«¼¸¥ log jAj; ª°®¬¥ ²®£®, ¢ A ­ ©¤¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­® ±«®¢® ±®±«®¦­®±²¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ log jAj.

—²®¡» ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±²°®£®, ­¥®¡µ®¤¨¬® ³²®·­¨²¼, ·²® §­ ·¨², ·²® ¬­®¦¥±²¢® A ¨¬¥¥² ¯°®±²®¥®¯¨± ­¨¥.  ¬ ¡³¤¥² ³¤®¡­® ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® § ¤ ­® ¶¥«®¥ ±¥¬¥©±²¢®¬­®¦¥±²¢ An, ¨ ¤«¿ ¯®«³·¥­¨¿ ±¯¨±ª ½«¥¬¥­²®¢ n-®£® ¬­®¦¥±²¢ ¤®±² ²®·­® ¨¬¥²¼ «®£ °¨´¬¨·¥±ª³¾ ¯® n ¨­´®°¬ ¶¨¾.³±²¼ § ¤ ­® ±¥¬¥©±²¢® ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢ An, n =1; 2; : : :, ½«¥¬¥­² ¬¨ ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ±«®¢ ¢ ­¥ª®²®°®¬ «´ ¢¨²¥.³±²¼ ¯°¨ ½²®¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® n ±¯¨±®ª ±«®¢, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ An, ¬®¦¥²¡»²¼ ¯®°®¦¤¥­ «£®°¨²¬®¬ ° §¬¥° O(log n) (¨­ ·¥ £®¢®°¿, ª®«¬®£®°®¢±ª ¿ ±«®¦­®±²¼ ª®°²¥¦ , ±®±² ¢«¥­­®£® ¨§ ¢±¥µ ±«®¢ ¬­®¦¥±²¢ An ¢ «¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª®¬ ¯®°¿¤ª¥, ° ¢­ O(log n)).

’®£¤ ±«®¦­®±²¼«¾¡®£® ±«®¢ ¨§ An ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² log jAnj + O(log n); ª°®¬¥ ²®£®, ¤«¿ª ¦¤®£® n ­ ©¤¥²±¿ ±«®¢® xn 2 An ±«®¦­®±²¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ log jAnj.‹¥¬¬ 1.‘­ · « ¤®ª ¦¥¬ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬».³±²¼ ±«®¢® xn ¯°¨­ ¤«¥¦¨² An. —²®¡» ¯®«³·¨²¼ xn ¬®¦­® ¤¥©±²¢®¢ ²¼±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ±­ · « ­ ©¤¥¬ ±¯¨±®ª ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ An, § ²¥¬ ¢»¡¥°¥¬ ¨§ ½²®£® ±¯¨±ª ­³¦­®¥ ±«®¢®. ® ³±«®¢¨¾ «¥¬¬»±«®¦­®±²¼ ¯®°®¦¤¥­¨¿ ±¯¨±ª ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ An ° ¢­ O(log n). „ «¥¥„®ª § ²¥«¼±²¢®.29®±² ¥²±¿ ³ª § ²¼ ­®¬¥° ±«®¢ xn ¢ ±¯¨±ª¥ ½«¥¬¥­²®¢ An.

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,K (xn) log jAnj + O(log n).„®ª ¦¥¬ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬». ³¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¢® ¬­®¦¥±²¢¥ An ­ ©¤¥²±¿ ½«¥¬¥­² ±«®¦­®±²¨ ­¥ ¬¥­¥¥ log jAnj. ‡ ¬¥²¨¬, ·²®·¨±«® ±«®¢, ¨¬¥¾¹¨µ ±«®¦­®±²¼ ¬¥­¼¸¥ ­¥ª®²®°®£® ·¨±« C , ­¥ ¡®«¼¸¥,·¥¬ ·¨±«® ¯°®£° ¬¬ ¤«¨­» ¬¥­¥¥ C . € ·¨±«® ¯°®£° ¬¬ ¤«¨­» ¬¥­¥¥ C±ª« ¤»¢ ¥²±¿ ¨§ ·¨±« ¯°®£° ¬¬ ¤«¨­» 0, 1, . . . , (C 1) ¨ ° ¢­®1 + 2 + 22 + : : : + 2C 1 = 2C 1:’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ·¨±«® ±«®¢ ±«®¦­®±²¨ ¬¥­¼¸¥ log jAnj ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨²jAnj 1. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, µ®²¿ ¡» ®¤­® ±«®¢® ¨§ An ¨¬¥¥² ±«®¦­®±²¼ ­¥¬¥­¼¸¥ log jAnj. 2 ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ «¥¬¬» 1.°¨¬¥° 1.

³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® An ±®±²®¨² ¨§ ¢±¥µ ¤¢®¨·­»µ ±«®¢ ¤«¨­» n. °¨¬¥­¿¿ «¥¬¬³ 1, § ª«¾· ¥¬, ·²® ª ¦¤®¥ ±«®¢® ¤«¨­» n ¨¬¥¥²±«®¦­®±²¼ ­¥ ¡®«¥¥ n + O(log n), ¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® n ­ ©¤¥²±¿ ±«®¢® ¤«¨­»n ±® ±«®¦­®±²¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ n.Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¤ ­­®¬ ¯°¨¬¥°¥ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¬®¦­® ³±¨«¨²¼,§ ¬¥­¨¢ «®£ °¨´¬¨·¥±ª®¥ ±« £ ¥¬®¥ ­ ª®­±² ­²³, ². ¥.

¬®¦­® ¤®ª § ²¼,·²® ±«®¦­®±²¼ «¾¡®£® ¤¢®¨·­®£® ±«®¢ ¤«¨­» n ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² n + O(1).°¨¬¥° 2. ³±²¼ p1 ; p2 ; : : : ; pk { ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ·¨±« , ¨ ¨µ ±³¬¬ ° ¢­ 1. ³±²¼ ² ª¦¥ C { ­¥ª®²®° ¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ª®­±² ­² . Ž¯°¥¤¥«¨¬±¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢ An. Š ¦¤®¥ An ¡³¤¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ±«®¢ ¢ «´ ¢¨²¥ ¨§ k ¡³ª¢.

³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ m1(x); : : : ; mk (x) ·¨±«® ¢µ®¦¤¥­¨©¢ ±«®¢® x ±®®²¢¥²±²¢¥­­® 1-®©,. . . , k-®© ¡³ª¢ «´ ¢¨² . Œ­®¦¥±²¢® An¡³¤¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ²¥ ¨ ²®«¼ª® ²¥ ±«®¢ x ¤«¨­» n, ¤«¿ ª®²®°»µjmi(x) npi j C; i = 1; 2 : : : ; k:(1.1)’® ¥±²¼ An ±®±²®¨² ¨§ ±«®¢, ¢ ª®²®°»µ ¤®«¨ ¡³ª¢ ¡«¨§ª¨ p1; : : : ; pk .„«¿ ª ¦¤®£® n ¨¬¥¥²±¿ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ­ ¡®°®¢ ·¨±¥« m1,. .

. ,mk , ¤ ¾¹¨µ ¢ ±³¬¬¥ n ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ (1.1). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ·¨±«® ² ª¨µ­ ¡®°®¢ ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²», ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ·¨±« ¬¨C ¨ k (­® ­¥ § ¢¨±¿¹¥© ®² n). ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ®¤¨­ ¨§ ² ª¨µ ­ ¡®°®¢hm1; : : : ; mk i. Š®«¨·¥±²¢® ±«®¢ ¤«¨­» n, ±®¤¥°¦ ¹¨µ mi ¢µ®¦¤¥­¨© i-®©¡³ª¢» «´ ¢¨² (¤«¿ i = 1; : : : ; k), ° ¢­®(1.2)S = m !m n! :! : : m !1 2k30ˆ±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³ ‘²¨°«¨­£ , ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²®Xlog S = n mi log mi + O(log n):nn(Š®­±² ­² ¯¥°¥¤ «®£ °¨´¬¨·¥±ª¨¬ ·«¥­®¬ § ¢¨±¨² ®² C ¨ k.) “·¨²»¢ ¿ (1.1), ¯®«³· ¥¬log S = (pi log pi)n + O(log n):(1.3)®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ª ¦¤®£® n ¨¬¥¥²±¿ O(1) ­ ¡®°®¢ ·¨±¥« hm1; : : : ; mk i, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ (1.1), «®£ °¨´¬ ·¨±« ½«¥¬¥­²®¢ ¢ An ¬®¦¥² ®²«¨· ²¼±¿®² (1.3) «¨¸¼ ­ ¤¤¨²¨¢­³¾ ª®­±² ­²³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,log jAnj = (pi log pi )n + O(log n):’¥¯¥°¼, ¯®«¼§³¿±¼ «¥¬¬®© 1, ¬» ¬®¦¥¬ ±¤¥« ²¼ ¤¢ ¢»¢®¤ :P ) ±«®¦­®±²¼ «¾¡®£® ±«®¢ ¨§ An ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ( pi log pi)n +O(log n).¡) ­ ©¤¥²±¿ ±«®¢® xn 2 An, ¤«¿ ª®²®°®£® K (xn) = (pi log pi)n +O(log n):Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢»° ¦¥­¨¥ (pi log pi ) ¥±²¼ ¸¥­­®­®¢±ª ¿ ½­²°®¯¨¿ ±«³· ©­®© ¢¥«¨·¨­», ¯°¨­¨¬ ¾¹¥© k §­ ·¥­¨© ± ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨p1 ; : : : ; p k .³±²¼ ±«³· ©­»¥ ¢¥«¨·¨­» '1 ; '2; : : : ; 'k ¯°¨­¨¬ ¾²§­ ·¥­¨¿ ¢ ª®­¥·­»µ «´ ¢¨² µ A1; A2; : : : ; Ak ¨ ¨¬¥¾² ±®¢¬¥±²­®¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.P (a1; a2; : : : ; ak ) = Prob['1 = a1; '2 = a2; : : : ; 'k = ak ]: §®¢¥¬ ª®°²¥¦ hx1 ; x2; : : : ; xk i, ±®±²®¿¹¨© ¨§ k ¡¥±ª®­¥·­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ±«®¢, P -²¨¯¨·­»¬, ¥±«¨ ª ¦¤®¥ ±«®¢® xin ¨¬¥¥² ¤«¨­³ n, ¨ ¤«¿ «¾¡®£® ­ ¡®° §­ ·¥­¨© ha1; a2; : : : ; ak i ·¨±«® ² ª¨µ ¯®§¨¶¨© i, ·²® ¢ ª ¦¤®¬ ±«®¢¥ xjn ­ i-¬ ¬¥±²¥ ±²®¨² ¡³ª¢ aj , ° ¢­®nP (a1; a2; : : : ; ak ) + O(1). ±±¬®²°¨¬ ±®¢¬¥±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯ °» ±«³· ©­»µ ¢¥«¨·¨­ h'; i ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: ®¡¥ ¢¥«¨·¨­» ', ¯°¨­¨¬ ¾²§­ ·¥­¨¿ 0 ¨ 1 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1=2 (².

¥. ¿¢«¿¾²±¿ ¤¢®¨·­»¬¨ ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¥­­»¬¨); ¯°¨ ½²®¬ ' ¨ ¯°¨­¨¬ ¾² ° §­»¥ §­ ·¥­¨¿ ±°¨¬¥° 3.31¢¥°®¿²­®±²¼¾ (¨, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ (1 )).’ ª¨¬ ®¡° §®¬,Prob[' = 0; = 0] = Prob[' = 1; = 1] = 1 2 ;Prob[' = 1; = 0] = Prob[' = 0; = 1] = 2 :³±²¼ ¯ ° ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© hx; yi P -²¨¯¨·­ ®²­®±¨²¥«¼­® ³ª § ­­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿.

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