Диссертация (1104114), страница 15

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‚±¥£® ¨¬¥¥²±¿ Tn2 ² ª¨µ ¯°®¤®«¦¥­¨©. „®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® ±°¥¤¨ ½²¨µ ¯°®¤®«¦¥­¨©¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¯®«¨­®¬¨ «¼­ ¿ ¤®«¿ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¿¬ ( ) ¨ (¡).® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ K (xi jz ) ¨ K (yijz ) ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿² D, ¨ ¯ ° hxi ; yi i±«³· ©­ . (°¨ i = 0 ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ y0 = y.) “·¨²»¢ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ D ¨­¥ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬79±®®²­®¸¥­¨¥ (4.12), ¯®«³· ¥¬K (z jxi) = K (xi ; z ) K (xi ) + O(log n) == K (xijz ) + K (z ) K (xi ) + O(log n) D + K (z ) K (x) + O(log n) = O(log n): ±±¬®²°¨¬ ¬­®¦¥±²¢® L ¢±¥µ k-¬¥°­»µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ y^, ª®²®°»¥®°²®£®­ «¼­» xi ¨ K (^yjz ) D. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® §­ ¿ ±«®¢® xi ¬®¦­® ±«®£ °¨´¬¨·¥±ª®© ±«®¦­®±²¼¾ ¯®«³·¨²¼ z , § ²¥¬ § ¯³±²¨²¼ ¯°®¶¥±±¯¥°¥·¨±«¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢ L.

®¤¯°®±²° ­±²¢® yi «¥¦¨² ¢ L. ®½²®¬³¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ yi ¤®±² ²®·­® ¨¬¥²¼ ¯°®£° ¬¬³, ¯¥°¥·¨±«¿¾¹³¾ L, ¨§­ ²¼ ­®¬¥° yi ¢ ½²®¬ ¯¥°¥·¨±«¥­¨¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,K (yijxi) log jLj + O(log n):® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ ¯ ° hxi; yi i ±«³· ©­ , ¨ ±«®¦­®±²¼ yi ®²­®±¨²¥«¼­® xi ­¥ ¬¥­¼¸¥ log Tn ‘ log n. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, jLj Tn=poly(n).’¥¯¥°¼ ¢»¡¥°¥¬ ­¥ª®²®°³¾ ª®­±² ­²³ C 0 > C ¨ ®²¡°®±¨¬ ²¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¨§ L, ±«®¦­®±²¼ ª®²®°»µ ®²­®±¨²¥«¼­® xi ¬¥­¼¸¥ Tn C 0 log n.®«¥¥ ²®·­®, ¯³±²¼ L0 L ±®±²®¨² ¨§ ¢±¥µ ² ª¨µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ y^, ·²®K (^yjxi ) Tn C 0 log n:…±«¨ ª®­±² ­² C 0 ¤®±² ²®·­® ¢¥«¨ª , ²® jL0j T (n)=poly(n). ‹¾¡®¥¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¨§ L0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ yi+1.

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¤«¿«¾¡®£® y^ 2 L0 ¯ ° hxi ; y^i ±«³· ©­ , ¨ K (^yjz ) D.€­ «®£¨·­® ¬®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ yi+1 2 L0 ¢»¡° ­®, ²® ¨¬¥¥²±¿­¥ ¬¥­¥¥ Tn=poly(n) ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ x^, ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ¢§¿²¼¢ ª ·¥±²¢¥ xi+1 .’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±°¥¤¨ Tn2 ¯°®¤®«¦¥­¨© ¢»¡° ­­®© ¶¥¯®·ª¨ ¤«¨­» iTn , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ³±«®¢¨¿¬ ( ) ¨ (¡). (Ž²¬¥²¨¬,¨¬¥¥²±¿ ­¥ ¬¥­¥¥ poly(n)·²® ±²¥¯¥­¼ ¯®«³· ¥¬®£® ¬­®£®·«¥­ poly(n) § ¢¨±¨² ®² r.) 2Ž¯°¥¤e«¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ·¨±¥« li ±«¥¤³¾¹¨¬ °¥ª³°°¥­²­»¬ ±®®²­®¸¥­¨¥¬:l0 = k;(4.14)li+1 = maxfli + 2k m; 0g:(4.15)‡ ¬¥²¨¬, ·²® ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° ¢±¥ ·¨±« li ° ¢­» ­³«¾.280 §®¢¥¬ ¶¥¯®·ª³ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¯° ¢¨«¼­®©, ¥±«¨ ¤«¿ i = 1; 2; : : : ; rdim(x0 \ xi) = li(4.16)„ «¥¥ ¯®ª ¦¥¬, ·²® ±«³· ©­® ¢»¡° ­­ ¿ ¶¥¯®·ª ± ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­®¡«¨§ª®© ª ¥¤¨­¨¶¥ ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¿¢«¿¥²±¿ ¯° ¢¨«¼­®©. ®«¥¥ ²®·­®, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ «¥¬¬ .‘°¥¤¨ ¶¥¯®·¥ª ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¢¨¤ (4.13) ¤®«¿ ¯° ¢¨«¼­»µ ­¥ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 1 2 cn, ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ± > 0.‹¥¬¬ 17.„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬».¡¨­ ²®°­»¥ ±³¡«¥¬¬».°¥¦¤¥ ¢±¥£® ¤®ª ¦¥¬ ¤¢¥ ¯°®±²»¥ ª®¬-³±²¼ ¤ ­ ±¨±²¥¬ ¨§ q1 «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ®¤­®°®¤­»µ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© ± s ¯¥°¥¬¥­­»¬¨ ­ ¤ ¯®«¥¬ Fn.

‚»¡¥°¥¬ ±«³· ©­® (®²­®±¨²¥«¼­® ° ¢­®¬¥°­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿) ¥¹¥ q2 ³° ¢­¥­¨© ±²¥¬¨ ¦¥ ¯¥°¥¬¥­­»¬¨. ’®£¤ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ­¥ ¬¥­¼¸¥ 1 2 ±n (¤«¿­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» c > 0) ° ­£ ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬» ¨§ q1 + q2³° ¢­¥­¨© ¡³¤¥² ° ¢¥­ minfs; q1 + q2g.‘³¡«¥¬¬ 1.Ž¡®§­ ·¨¬ q = q1 + q2. ³±²¼ q s.®ª ¦¥¬, ·²® ± ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¡«¨§ª®© ª ¥¤¨­¨¶¥ ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¢±¥q ³° ¢­¥­¨© ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬» «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬». „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ³° ¢­¥­¨¿ ®ª § «¨±¼ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬», ²® µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ q2±«³· ©­® ¢»¡° ­­»µ ³° ¢­¥­¨© ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ®±² «¼­»µ (q 1) ³° ¢­¥­¨©. ˆ§ (q 1) ³° ¢­¥­¨¿ ¬®¦­® ±®±² ¢¨²¼ ­¥ ¡®«¥¥jFnjq 1 «¨­¥©­»µ ª®¬¡¨­ ¶¨©.

€ ¤«¿ ¢»¡®° ±«³· ©­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¨¬¥¥²±¿ jFnjs ±¯®±®¡®¢. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ª ¦¤®£® i ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²®i-¥ ³° ¢­¥­¨¥ ±¨±²¥¬» ¥±²¼ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ®±² «¼­»µ, ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² jFnj(q 1) s : Ž±² ¥²±¿ ¯°®±³¬¬¨°®¢ ²¼ ¤ ­­»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¯® ¢±¥¬­®¬¥° ¬ i ¤®¡ ¢«¥­­»µ ³° ¢­¥­¨© (®² 1 ¤® q2). ®±ª®«¼ª³ q1 q s,¤®«¿ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬»µ ±¨±²¥¬ ³° ¢­¥­¨© ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² qjFnj 1.

®jFnj = 2(n) , ¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­®.…±«¨ q > s, ²® ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¡«¨§ª®© ª ¥¤¨­¨¶¥¯¥°¢»¥ s ³° ¢­¥­¨© ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬» «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬», ¨ ° ­£±¨±²¥¬» ° ¢¥­ s. 2„®ª § ²¥«¼±²¢® ±³¡«¥¬¬».Ž²¬¥²¨¬ ®·¥¢¨¤­®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¤®ª § ­­®© ±³¡«¥¬¬».³±²¼ ¤ ­ ±¨±²¥¬ ¨§ q1 «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© ± s ¯¥°¥¬¥­­»¬¨ ­ ¤‡ ¬¥· ­¨¥ 4.81ª®­¥·­»¬ ¯®«¥¬ F . „®¡ ¢¨¬ ª ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¥¹¥ q2 ±«³· ©­® ¢»¡° ­­»µ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨©. °¥¤¯®«®¦¨¬, ® ­¥ª®²®°»µ ±®¢®ª³¯­®±²¿µ³° ¢­¥­¨© ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬» ¨§¢¥±²­®, ·²® ®­¨ ®ª § «¨±¼ «¨­¥©­®­¥§ ¢¨±¨¬»¬¨. ( ¯°¨¬¥°, ¨§¢¥±²­®, ·²® 1-®¥, 2-®¥ ¨ (q1 + 1)-®¥ ³° ¢­¥­¨¥, ² ª¦¥ 3-¥, 4-®¥ ¨ (q1 + 2)-®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬»«¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬».) Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ ¤ ­­®¬ ³±«®¢¨¨ ¢¥°®¿²­®±²¼±®¡»²¨¿ \° ­£ ¢±¥© ° ±¸¨°¥­­®© ±¨±²¥¬» ° ¢¥­ minfs; qg" ²¥¬ ¡®«¥¥½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¡«¨§ª ª ¥¤¨­¨¶¥. ) ³±²¼ W { «¨­¥©­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ ª®­¥·­»¬ ¯®«¥¬ F , a { ­¥ª®²®°®¥ s1-¬¥°­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¢ W . ‚»¡¥°¥¬ ±«³· ©­® (®²­®±¨²¥«¼­® ° ¢­®¬¥°­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿) s2-¬¥°­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® b ¢ W .

’®£¤ ¢¥°®¿²­®±²¼ ±®¡»²¨¿ dim(a \ b) = r § ¢¨±¨²²®«¼ª® ®² ¢¥«¨·¨­ r; s1; s2; dim(W ); jF j (­® ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° s1¬¥°­®£® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ a).¡) ³±²¼ W { «¨­¥©­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ ª®­¥·­»¬ ¯®«¥¬ F , a ¨b { s-¬¥°­»¥ «¨­¥©­»¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ W . ‚»¡¥°¥¬ ±«³· ©­® s-¬¥°­®¥¯®¤¯°®±²° ­±²¢® a1 ¨§ ®°²®£®­ «¼­®£® ¤®¯®«­¥­¨¿ a ¨ s-¬¥°­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® b1 ¨§ ®°²®£®­ «¼­®£® ¤®¯®«­¥­¨¿ b. ’®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® l¢¥°®¿²­®±²¨ ±®¡»²¨© dim(a1 \ b) = l ¨ dim(a \ b1) = l ° ¢­».‘³¡«¥¬¬ 2. ) ³±²¼ a0 { ¯°®¨§¢®«¼­®¥ «¨­¥©­®¥¯®¤¯°®±²° ­±²¢® W ° §¬¥°­®±²¨ s1. ®ª ¦¥¬, ·²® ¢¥°®¿²­®±²¨ ±®¡»²¨© dim(a \ b) = r ¨ dim(a0 \ b) = r ° ¢­».Ž·¥¢¨¤­®, ±³¹¥±²¢³¥² ¢²®¬®°´¨§¬ ' ¯°®±²° ­±²¢ W ² ª®©, ·²®'a = a0. ’®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® «¨­¥©­®£® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ b ¨§ ¯°®±²° ­±²¢ W ¨¬¥¥¬ dim(a \ b) = dim(a0 \ 'b).

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,Probb[dim(a \ b) = l] = Probb[dim(a0 \ 'b) = l] = Probb[dim(a0 \ b) = l]:¡) ‡ ¬¥²¨¬, ·²® dim(a? \ b) = dim(a \ b?). ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥,dim(W ) dim(a \ b?) = dim((a \ b?)?) = dim(a? b) =dim(a?) + dim(b) dim(a? \ b) = dim(W ) dim(a? \ b):„®ª § ²¥«¼±²¢® ±³¡«¥¬¬».Ž±² ¥²±¿ ¯°¨¬¥­¨²¼ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±³¡«¥¬¬» ª ¯°®±²° ­±²¢³ a?,¢ ª®²®°®¬ «¥¦ ² b \ a? ¨ ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ a1, ¨ ª ¯°®±²° ­±²¢³ b?,¢ ª®²®°®¬ «¥¦ ² a \ b? ¨ ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ b1. 2³¤¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ «¥¬¬³ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¤«¨­¥ ¶¥¯®·ª¨.

 § ¨­¤³ª¶¨¨ ®·¥¢¨¤­ . „«¿ ¢»¯®«­¥­¨¿ ¸ £ ¨­¤³ª¶¨¨ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²®82¥±«¨ ¶¥¯®·ª x0 y1 x1 y2 : : : yi xi¯° ¢¨«¼­ , ²® ¢±¥ ¥¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¿x0 y1 x1 y2 : : : yi xi yi+1 xi+1ª°®¬¥ ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¬ «®© ¤®«¨ ² ª¦¥ ¯° ¢¨«¼­».  ±±¬®²°¨¬ § ª«¾·¨²¥«¼­»© ´° £¬¥­² ¤ ­­®© ¶¥¯®·ª¨xi yi+1 xi+1 :„«¿ ¢»¡®° yi+1 ¨ xi+1 ¨¬¥¥²±¿ Tn2 ° §«¨·­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥© (¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ «¥¬¬» 15). ®¤±·¨² ¥¬, ± ª ª®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾dim(x0 \ xi+1) = li+1 .°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® yi+1 ³¦¥ ¢»¡° ­®.

„ «¥¥ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼²®«¼ª® ¯ °³ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ x0 ¨ yi+1: ²°¥¡³¥²±¿ ³§­ ²¼, ª ª®¢ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ ²°¥²¼¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® (¬» ­ §®¢¥¬ ¥£® xi+1 ) ¨¬¥¥² li+1 -¬¥°­®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ± x0 ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® yi+1¨ xi+1 ®ª § «¨±¼ ®°²®£®­ «¼­»¬¨. ‘®£« ±­® ±³¡«¥¬¬¥ 2(¡) ¯®±«¥¤­¿¿ § ¤ · ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¤°³£®©: ª ª®¢ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® y0 ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ li+1-¬¥°­®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ± yi+1¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® x0 ¨ y0 ®°²®£®­ «¼­».’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ²®£® ·²®¡» ¢»·¨±«¨²¼ ¢¥°®¿²­®±²¼, ± ª®²®°®©¢»¯®«­¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢® dim(x0 \ xi+1 ) = li+1 , ¬®¦­® °¥¸¨²¼ ¤°³£³¾ § ¤ ·³: ¯³±²¼ y0 { ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ k-¬¥°­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¢ Vn, ®°²®£®­ «¼­®¥ x0, yi+1 { ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ k-¬¥°­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¢Vn, ®°²®£®­ «¼­®¥ xi; ª ª®¢ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® dim(y0 \ yi+1) = li+1 ?®¤¯°®±²° ­±²¢ y0 ¨ yi+1 § ¤ ¾²±¿ ±¨±²¥¬ ¬¨ ¨§ m k «¨­¥©­»µ³° ¢­¥­¨©.

¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¯¥°¢»¥ k³° ¢­¥­¨© ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ®°²®£®­ «¼­®±²¨ y0 ¯°®±²° ­±²¢³ x0, ¯¥°¢»¥ k ³° ¢­¥­¨© ¢® ¢²®°®© ±¨±²¥¬¥ { ®°²®£®­ «¼­®±²¨ yi+1 ¯°®±²° ­±²¢³ xi . Œ®¦­® ² ª¦¥ ±·¨² ²¼, ·²® ¯¥°¢»¥ li ³° ¢­¥­¨©¢ ®¡¥¨µ ±¨±²¥¬ µ ®¤¨­ ª®¢» ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ²°¥¡®¢ ­¨¾ ®°²®£®­ «¼­®±²¨ ®¡®¨µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ y0 ¨ yi+1 ¯®¤¯°®±²° ­±²¢³ x0 \ xi.Ž¡º¥¤¨­¿¿ ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨©, § ¤ ¾¹¨¥ y0 ¨ yi+1 , ¬» ¯®«³· ¥¬ ±¨±²¥¬³ ¨§ 2(m k) li ³° ¢­¥­¨©.

‘®£« ±­® ±y¡«¥¬¬¥ 1 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¡«¨§ª®© ª ¥¤¨­¨¶¥ ¤ ­­ ¿ ±¨±²¥¬ ³° ¢­¥­¨© ¨¬¥¥²° ­£ minfm; 2(m k) li g, §­ ·¨² ¢»¯®«­¥­® ° ¢¥­±²¢®dim(y0 \ yi+1 ) = maxf0; 2k (m li )g = li+1 :83‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ± ² ª®© ¦¥ ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¨ dim(x0 \ xi+1 ) = li+1 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ± ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ¡«¨§ª®© ª ¥¤¨­¨¶¥ ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¤«¿¶¥¯®·ª¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ (4.16). 2³±²¼ Ar { ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ k-¬¥°­»µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¢ Vn , ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ª®²®°»µ ± x ¨¬¥¥² ° §¬¥°­®±²¼ lr . ‘®£« ±­® «¥¬¬¥ 17 ¤«¿ ¡®«¼¸¨­±²¢ ¶¥¯®·¥ª ¢¨¤ (4.13) xr ¯°¨­ ¤«¥¦¨² Ar . ’¥¯¥°¼ ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ®¤­®°®¤­®±²¼: ¢±¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¨§ Ar ¿¢«¿¾²±¿ ¯° ¢»¬¨ª®­¶ ¬¨ ®¤¨­ ª®¢®£® ·¨±« ¯° ¢¨«¼­»µ ¶¥¯®·¥ª ¤«¨­» r (¯®-¯°¥¦­¥¬³° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ²®«¼ª® ² ª¨¥ ¶¥¯®·ª¨, «¥¢»© ª®­¥¶ ª®²®°»µ ±®¢¯ ¤ ¥²± x).…±«¨ v; w 2 Ar , ²® ·¨±«® ¯° ¢¨«¼­»µ ¶¥¯®·¥ª, ¯° ¢»© ª®­¥¶ª®²®°»µ ±®¢¯ ¤ ¥² ± v, ° ¢­® ·¨±«³ ¯° ¢¨«¼­»µ ¶¥¯®·¥ª, ¯° ¢»© ª®­¥¶ª®²®°»µ ±®¢¯ ¤ ¥² ± w.‹¥¬¬ 18.„®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® r.

³¦­® ¢»·¨±«¨²¼ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ xr 2 Ar ª®«¨·¥±²¢® ² ª¨µ¶¥¯®·¥ªxr 1 yr xr ;·²® xr 1 2 Ar 1. ’®·­¥¥, ­³¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ª®«¨·¥±²¢® ² ª¨µ ¶¥¯®·¥ª­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° xr 2 Ar , § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² ­®¬¥° r. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® xr 2 Ar ¨ ¡³¤¥¬ ¢»¡¨° ²¼ ±«³· ©­®¥ ®°²®£®­ «¼­®¥¥¬³ yr . „ «¥¥ ¢»¡¥°¥¬ ±«³· ©­®¥ xr 1, ®°²®£®­ «¼­®¥ yr .  ± ¨­²¥°¥±³¥²¢¥°®¿²­®±²¼ ±®¡»²¨¿ xr 1 2 Ar 1 (². ¥. dim(x0 \ xr 1 ) = lr 1).³±²¼ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® yr ³¦¥ ¢»¡° ­®.

’°¥¡³¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¼, ± ª ª®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® xr 1 ¨¬¥¥² lr 1¬¥°­®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ± x0 ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® xr 1 ¨ yr ®°²®£®­ «¼­». ‘®£« ±­® ±³¡«¥¬¬¥ 2(¡) ¤ ­­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼ ° ¢­ ¢¥°®¿²­®±²¨ ²®£®, ·²®±«³· ©­® ¢»¡° ­­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® y0 ¨¬¥¥² lr 1 -¬¥°­®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥± yr ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® y0 ¨ x0 ®°²®£®­ «¼­».’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¬®¦¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª °¥¸¥­¨¾ ­®¢®© § ¤ ·¨: ­ ©²¨ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¯ ° ±«³· ©­® ¢»¡° ­­»µ k-¬¥°­»µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ y0, yr, ¯¥°¢®¥ ¨§ ª®²®°»µ ®°²®£®­ «¼­® x0, ¢²®°®¥ ®°²®£®­ «¼­® xr , ¨¬¥¾² lr 1-¬¥°­®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥.®¤¯°®±²° ­±²¢ y0 ¨ yr § ¤ ¾²±¿ ±¨±²¥¬ ¬¨ n k «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ³° ¢­¥­¨©.

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