Диссертация (1104114), страница 11

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‘®£« ±­® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ z ¡³¤¥² ²®·­®© ¢¥°µ­¥© £° ­¼¾ ¤«¿ x ¨ y, ¥±«¨ z ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¼¾ ¤«¿ x ¨ y, ². ¥. x f z ¨ y f z, ¨ z f u ¤«¿ «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°µ­¥© £° ­¨ u ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© x ¨y.…±«¨ x = x1; x2; : : : ¨ y = y1; y2; : : :, ²® ¢ ª ·¥±²¢¥ z ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¯ ° zn = hxn ; yni. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼z = z1 ; z2 ; : : : ¡³¤¥² ²®·­®© ¢¥°µ­¥© £° ­¼¾ ¤«¿ x ¨ y. 2„®ª § ²¥«¼±²¢®.p…±«¨ f (n) = o( n) ¨ f (n) = (log n), ²® ¢ Sf ±³¹¥±²¢³¾²¯ °» ½«¥¬¥­²®¢, ­¥ ¨¬¥¾¹¨¥ ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨.’¥®°¥¬ 4.„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ¯°¥¤º¿¢¨²¼ ¯ °³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© x; y 2 R, ¤«¿ ª®²®°»µ ­¥² ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨ ¢ hR; f i. —²®¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼ ±«®¢ xn ¨ yn, ¬» ¯®±²°®¨¬ ¬­®¦¥±²¢® An, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¯ ° ±«®¢ ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¢¨¤ .

‡ ²¥¬ ¢®§¼¬¥¬ ¢ª ·¥±²¢¥ hxn ; yni ¯ °³ ¨§ ¤ ­­®£® ¬­®¦¥±²¢ ± ¬ ª±¨¬ «¼­®© ª®«¬®£®°®¢±ª®© ±«®¦­®±²¼¾.‡ ´¨ª±¨°³¥¬ n ¨ ®¯¨¸¥¬ ¬­®¦¥±²¢® An. ‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ ·¥­¨¥: m =pb nc. ³±²¼ ­ ¬ ¤ ­» 2m ¤¢®¨·­»µ ±«®¢ ¤«¨­» m„®ª § ²¥«¼±²¢®.a01; a02; : : : ; a0m; a11; a12; : : : ; a1m; aij 2 f0; 1gm :¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¨§ m ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶ = 12 : : : m ; i 2 f0; 1g:³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ±«®¢ aij ¡«®ª ¬¨. ‘®±² ¢¨¬ ¨§ ¢±¥µ 2m ¡«®ª®¢ ±«®¢® xx = ha01; : : : ; a0m; a11; : : : ; a1mi56 ¨§ ¡«®ª®¢, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¡¨² ¬ ±«®¢ , ±«®¢® yy = ha11 ; a22 ; : : : ; amm iŽ²¬¥²¨¬, ·²® K (x) 2m2 + O(log n) ¨ K (y) m2 + O(log n).³±²¼ An { ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯ ° hx; yi, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ³ª § ­­»¬ ±¯®±®¡®¬ (². ¥.

¢±¥ ¯ °» ±«®¢, ª®²®°»¥ ¤ ¥² ®¯¨± ­­ ¿ ª®­±²°³ª¶¨¿ ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ ¢»¡®°¥ ¡«®ª®¢ aij ¨ ±«®¢ ). ®¤±·¨² ¥¬ ª®«¨·¥±²¢®½«¥¬¥­²®¢ ¢ An.„«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : : ; m ¨¬¥¥²±¿ ¯® 22m ¢ °¨ ­²®¢ ¤«¿ ¢»¡®° ¯ °»¡«®ª®¢ a0i ¨ a1i . °¨ ½²®¬ ¢ 2m ±«³· ¿µ ¡«®ª¨ ®ª §»¢ ¾²±¿ ®¤¨­ ª®¢»¬¨,¨ ¢ (22m 2m ) ±«³· ¿µ { ° §«¨·­»¬¨. …±«¨ a0i = a1i , ²® i-»© ¡«®ª ±«®¢ y ®¯°¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ·­®.

…±«¨ ¦¥ a0i 6= a1i , ²® ¤«¿ ¢»¡®° i-®£® ¡«®ª ±«®¢ y ¨¬¥¥²±¿ ¤¢ ¢ °¨ ­² ; ª ª®© ¨¬¥­­® ¡«®ª ¡³¤¥² ±²®¿²¼ ­ i®¬ ¬¥±²¥ ¢ y, § ¢¨±¨² ®² §­ ·¥­¨¿ i. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ª ¦¤®£® i¥±²¼ (2(22m 2m ) + 2m) ±¯®±®¡®¢ ¢»¡° ²¼ a0i , a1i ¨ i-»© ¡«®ª ±«®¢ y.‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, An ±®±²®¨² ¨§(2 (22m 2m ) + 2m )m¯ °.…±«¨ ¯ ° hxn; yni ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²®¬ An, ¨¬¥¾¹¨¬ ¬ ª±¨¬ «¼­³¾±«®¦­®±²¼, ²® ±®£« ±­® «¥¬¬¥ 1K (xn; yn) = log[(2 (22m 2m) + 2m )m] + O(log n) == m(2m + 1) + O(log n) = 2m2 + m + O(log n):(3.2)’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯ ° ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© x, y ®¯°¥¤¥«¥­ . „®ª ¦¥¬,·²® ®­ ­¥ ¨¬¥¥² ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨. °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ z ¿¢«¿¥²±¿ ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¼¾ x ¨ y.

—²®¡»¯®«³·¨²¼ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ­ ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ ° ±±¬®²°¥²¼ ­¥ª®²®°»© ª« ±±­¨¦­¨µ £° ­¥© x ¨ y.pp„«¿ ª ¦¤®£® n ±«®¢® xn ±®±²®¨² ¨§ 2b nc ¡«®ª®¢ ¤«¨­» b nc. —²®¡» ° §«¨· ²¼ ¡«®ª¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ° §­»¬ n, ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¡«®ª¨,±®±² ¢«¿¾¹¨¥ ±«®¢® xn, n-¡«®ª ¬¨. °¨ ½²®¬ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ n-¡«®ª¨,¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ±«®¢® yn, ¢»¤¥«¥­­»¬¨, ¡«®ª¨, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ xn, ­® ­¥ ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ yn, { ­¥¢»¤¥«¥­­»¬¨. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ¡«®ª¨, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ±«®¢®xn, ° §«¨·­» (¨­ ·¥ ±«®¦­®±²¼ ¯ °» hxn ; yni ¡»« ¡» ±«¨¸ª®¬ ¬ « ).Ž·¥¢¨¤­®, «¾¡®© ¢»¤¥«¥­­»© n-¡«®ª ¨¬¥¥² «®£ °¨´¬¨·¥±ª³¾ ±«®¦­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® xn ¨ yn.

 ±±¬®²°¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ u, ¢ ª®²®57°®© ª ¦¤»© ·«¥­ un ¥±²¼ ­¥ª®²®°»© ¢»¤¥«¥­­»© n-¡«®ª. ’®£¤ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ u ¡³¤¥² ­¨¦­¥© £° ­¼¾ x ¨ y, §­ ·¨², ¡³¤¥² f -¯°®±² ®²­®±¨²¥«¼­® z.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥ ¢»¤¥«¥­­»¥ n-¡«®ª¨ ¨¬¥¾² ±«®¦­®±²¼ Cf (n) ®²­®±¨²¥«¼­® zn . ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¬­®¦¨²¥«¨ C ¯¥°¥¤ f (n) ¬®£³² ¡»²¼° §­»¬¨ ¤«¿ ° §­»µ ¢»¤¥«¥­­»µ ¡«®ª®¢. „®ª ¦¥¬, ·²® ±°¥¤¨ ½²¨µ ª®­±² ­² ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ­ ¨¡®«¼¸³¾.‘³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª®­±² ­² C , ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢»¤¥«¥­­®£® n-¡«®ª bK (bjzn)) C f (n):‹¥¬¬ 6.„«¿ ª ¦¤®£® n ¢»¡¥°¥¬ ±°¥¤¨ ¢±¥µ ¢»¤¥«¥­­»µ n-¡«®ª®¢ ²®², ª®²®°»© ¨¬¥¥² ¬ ª±¨¬ «¼­³¾ ±«®¦­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® zn. Ž¡®§­ ·¨¬ ¥£® b(n).

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ u = b(1); b(2); : : :¿¢«¿¥²±¿ ­¨¦­¥© £° ­¼¾ x ¨ y. € ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, u ¯°®±² ®²­®±¨²¥«¼­®z. ²® §­ ·¨², ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» C„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬».8n K (b(n)jzn) C f (n):®±ª®«¼ª³ b(n) ¨¬¥¥² ¬ ª±¨¬ «¼­³¾ ±«®¦­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® zn ±°¥¤¨ ¢±¥µ ¢»¤¥«¥­­»µ n-¡«®ª®¢, ¤ ­­ ¿ ª®­±² ­² C £®¤¨²±¿ ¨ ¤«¿ ¢±¥µ®±² «¼­»µ ¢»¤¥«¥­­»µ ¡«®ª®¢, ². ¥. ¤«¿ «¾¡®£® ¢»¤¥«¥­­®£® n-¡«®ª b¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® K (bjzn) C f (n): 2‘³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª®­±² ­² C , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ n ¨ ¤«¿ «¾¡®£® ­¥¢»¤¥«¥­­®£® n-¡«®ª b‹¥¬¬ 7.pK (bjyn)) n C f (n):„«¿ ª ¦¤®£® n § ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°»©­¥¢»¤¥«¥­­»© n-¡«®ª b(n).

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ±«®¢® xn ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨§ yn¢ 3 ½² ¯ :„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬». ­ µ®¤¨¬ ±«®¢® (n), ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯ °¥ hxn ; yni; ­ µ®¤¨¬ ¡«®ª b(n); ­ µ®¤¨¬ (bpnc 1) ®±² ¢¸¨µ±¿ ­¥¢»¤¥«¥­­»µ n-¡«®ª®¢.58‘«®¦­®±²¼ ±«®¢ p(n), ² ª¦¥ ±«®¦­®±²¼ «¾¡®£® ­¥¢»¤¥«¥­­®£® ¡«®ª ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿² b nc. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,pp pK (xnjyn) n + K (b(n)jyn) + bp nc(b nc 1) + O(log n) == b nc2 + K (b(n)jyn) + O(f (n)):p®±ª®«¼ª³ K (yn) b nc2 + O(f (n)), ¨¬¥¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢®pK (xn; yn) = K (xnjyn) + K (yn) + O(log n) 2b nc2 + K (b(n)jyn) + O(f (n))pˆ±¯®«¼§³¿ ³±«®¢¨¥ (3.2), ¯®«³· ¥¬ K (b(n)jyn) n O(f (n)).

2‹¥¬¬ 8. ‘³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª®­±² ­² C , ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ­¥¢»¤¥«¥­­®£® n-¡«®ª bpK (b(n)jzn)) n C f (n):„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬». ® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ K (zn jyn ) = O (f (n)).‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ «¾¡®£® ­¥¢»¤¥«¥­­®£® ¡«®ª bK (bjyn) K (bjzn) + K (znjyn) + O(log n) = K (bjzn) + O(f (n)):°¨¬¥­¿¿ «¥¬¬³ 7, ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®. 2’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ § ª®­·¨²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». ‘®£« ±­® «¥¬¬¥ 6 ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µn ¢±¥ ¢»¤¥«¥­­»¥ n-¡«®ª¨ ¨¬¥¾² ±«®¦p­®±²¼ ­ ¬­®£® ¬¥­¼¸¥ n=2 ®²­®±¨²¥«¼­® zn. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ±®£« ±­®«¥¬¬¥ 8 ¤«¿ ¤®±² ²®·­® p¡®«¼¸¨µ n ¢±¥ ­¥¢»¤¥«¥­­»¥ n-¡«®ª¨ ¨¬¥¾²±«®¦­®±²¼ ¬­®£® ¡®«¼¸¥ n=2 ®²­®±¨²¥«¼­®zn .

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯°¨¬¥p­¿¿ ª zn ¢±¥ ¯°®£° ¬¬» ¤«¨­» ­¥ ¡®«¥¥ n=2, ¬» ° ­® ¨«¨ ¯®§¤­® ¯®«³·¨¬ ¢±¥ ¢»¤¥«¥­­»¥ n-¡«®ª¨ ¨ ­¥ ¯®«³·¨¬ ­¨ ®¤­®£® ­¥¢»¤¥«¥­­®£®.„ ­­®¥ ­ ¡«¾¤¥­¨¥ ¤ ¥² ­ ¬ ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥­¨¿ ±«®¢ yn ¯® xn ±®±«®¦­®±²¼¾ O(f (n)). ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ xn ±® ±«®¦­®±²¼¾ O(f (n)) ¬®¦­®p¯®«³·¨²¼ zn. „ «¥¥ ¯°¨¬¥­¿¥¬ ª zn ¢±¥ ¯°®£° ¬¬» ¤«¨­» ­¥ ¡®«¥¥ n=2,¯®ª ­¥ ¢»¿±­¨¬, ª ª¨¥ ¨§ ¡«®ª®¢, ®¡° §³¾¹¨µ xn, ¿¢«¿¾²±¿ ¢»¤¥«¥­­»¬¨. ®±«¥ ½²®£® ±®±² ¢«¿¥¬ ¨§ ¢»¤¥«¥­­»µ ¡«®ª®¢ yn. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,K (xn; yn) = K (xn) + K (ynjxn) + O(log n) == K (xn ) + O(f (n)) 2(bnc)2 + O(f (n));·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² (3.2).

2’¥®°¥¬ 5. „«¿ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ f : N ! N, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© (3.1), ¢Sf ±³¹¥±²¢³¥² ¯ ° ½«¥¬¥­²®¢, ­¥ ¨¬¥¾¹¨µ ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨.59„®±² ²®·­® ¯®±²°®¨²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±«®¢x; y 2 R, ª®²®°»¥ ­¥ ¨¬¥¾² ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨ ¢ hR; f i. ‚»¡¥°¥¬´³­ª¶¨¾ g(n), ª®²®° ¿ ° ±²¥² ¬¥¤«¥­­¥¥ n=f (n), ­® ¡»±²°¥¥ log(n=f (n)):g(n) = o(n=f (n)); log(n=f (n)) = o(g(n)) ¯°¨ n ! 1:(3.3)„®ª § ²¥«¼±²¢®.³±²¼ kn { ¡«¨¦ ©¸¥¥ ª n=g(n) ·¨±«®, ¤¥«¿¹¥¥±¿ ­ ¶¥«® ­ f (n). Ž²¬¥²¨¬, ·²® kn ° ±²¥² ¡»±²°¥¥, ·¥¬ f (n).‡ ´¨ª±¨°³¥¬ n ¨ ¯®±²°®¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¯ ° ±«®¢ An.

‡ ²¥¬ ¢ ª ·¥±²¢ hxn ; yni ¢®§¼¬¥¬ ¯ °³ ¨§ An, ¨¬¥¾¹³¾ ¬ ª±¨¬ «¼­³¾ ±«®¦­®±²¼.„«¿ ¯°®±²®²» ®¡®§­ ·¥­¨© ¡³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ±«®¢ ¢ «´ ¢¨²¥ An, ±®±²®¿¹¥¬ ¨§ 2g(n) ¡³ª¢. („«¿ ¯¥°¥µ®¤ ª ¤¢®¨·­®¬³ «´ ¢¨²³ ¤®±² ²®·­®§ ª®¤¨°®¢ ²¼ ª ¦¤³¾ ¡³ª¢³ ¨§ An ­ ¡®°®¬ ¨§ g(n) ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶.)Ž¯¨¸¥¬ ¯ °» hx; yi, ª®²®°»¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¢ª«¾· ²¼ ¢ An.

‘«®¢® x ¡³¤¥²±®±²®¿²¼ ¨§ 2kn ¡³ª¢ «´ ¢¨² An. ³¤¥¬ ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ ±¥¡¥ x ±®±²®¿¹¨¬ ¨§ ¤¢³µ ¯®«®¢¨­, ª ¦¤ ¿ ¯® kn ¡³ª¢:xn = ha01a02 : : : a0kn ; a11a12 : : : a1kn i; aij 2 An:‘«®¢® y ¡³¤¥² ±®±²®¿²¼ ¨§ kn ¡³ª¢, ¯°¨·¥¬ ª ¦¤ ¿ i- ¿ ¥£® ¡³ª¢ ¤®«¦­ ±®¢¯ ¤ ²¼ «¨¡® ± i-®© ¡³ª¢®© ¨§ «¥¢®© ¯®«®¢¨­» x, «¨¡® ± i-®© ¡³ª¢®© ¨§¯° ¢®© ¯®«®¢¨­» x:yn = hb1b2 : : : bkn i; £¤¥ bi = a0i ¨«¨ bi = a1i; i = 1; 2; : : : ; kn:‚±¥ ¯ °» hx; yi ³ª § ­­®£® ¢¨¤ ¨ ®¡° §³¾² An. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®©¯ °» hx; yi 2 AnK (x) 2kng(n) + O(log n) ¨ K (y) kng(n) + O(log n):’¥¯¥°¼ ¯®¤±·¨² ¥¬ ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ An. °¥¦¤¥ ¢±¥£®­ ©¤¥¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : : ; kn ·¨±«® ±¯®±®¡®¢ ±®£« ±®¢ ­­® ¢»¡° ²¼¡³ª¢» ai0 ¨ ai1 ¤«¿ ±«®¢ x ¨ ¡³ª¢³ bi ¤«¿ ±«®¢ y.

‚®-¯¥°¢»µ, ¡³ª¢» ai0 ¨ai1 ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬ (jAnj(jAjn 1) ¢ °¨ ­²®¢). °¨ ½²®¬¤«¿ ¢»¡®° ¡³ª¢» bi ¨¬¥¥²±¿ ¤¢ ¢ °¨ ­² : ®­ ¤®«¦­ ±®¢¯ ¤ ²¼ «¨¡®± ai0, «¨¡® ± ai1. ‚®-¢²®°»µ, ¡³ª¢» ai0 ¨ ai1 ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ®¤¨­ ª®¢»¬¨(jAj ¢ °¨ ­²®¢). ’®£¤ ¤«¿ ¢»¡®° ¡³ª¢» bi ¨¬¥¥²±¿ ²®«¼ª® ®¤¨­ ±¯®±®¡.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ¢»¡®° ¢±¥µ ¡³ª¢ ¢ ±«®¢ µ x, y ¥±²¼ (2jAnj(jAnj1) + jAnj)kn ¢ °¨ ­²®¢. ˆ±¯®«¼§³¿ (3.3), ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²®(2jAnj(jAnj 1) + jAnj)kn = 22kng(n)+kn+O(f(n)) :60Œ» ¢»¡¨° ¥¬ ¨§ An ¯ °³ hxn; yni, ¨¬¥¾¹³¾ ¬ ª±¨¬ «¼­³¾ ¢®§¬®¦­³¾±«®¦­®±²¼. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,K (xn; yn) = 2kn g(n) + kn + O(f (n)):(3.4)„®ª ¦¥¬, ·²® ³ ¯®±²°®¥­­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© x ¨ y ­¥² ²®·­®©­¨¦­¥© £° ­¨.Š ª ¨ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 4, ­ ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ ° ±±¬®²°¥²¼­¨¦­¨¥ £° ­¨ x ¨ y ±¯¥¶¨ «¼­®£® ¢¨¤ . „«¿ ½²®£® ° §°¥¦¥¬ ±«®¢® yn ­ mn = kn=f (n) ¯®¤±«®¢ ¤«¨­» f (n).

 §®¢¥¬ ½²¨ ¯®¤±«®¢ tn(1); : : : ; tn(mn).Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10. ³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ (n; j )-¡«®ª ¬¨ ±«®¢ b ¢ «´ ¢¨²¥An, ¨¬¥¾¹¨¥ ¤«¨­³ f (n) ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³±«®¢¨¾: ¤«¿ª ¦¤®£® i (1 i f (n)) i- ¿ ¡³ª¢ ±«®¢ b ±®¢¯ ¤ ¥² «¨¡® ± ((j1)f (n)+ i)-®© ¡³ª¢®© ¨§ «¥¢®© ¯®«®¢¨­» ±«®¢ xn, «¨¡® ± ((j 1)f (n)+ i)®© ¡³ª¢®© ¨§ ¯° ¢®© ¯®«®¢¨­» ±«®¢ xn.‚ · ±²­®±²¨, tn(j ) ¿¢«¿¥²±¿ (n; j )-¡«®ª®¬. …±«¨ ¬» §­ ¥¬ ±«®¢® xn , ­® ­¥§­ ¥¬ yn, ²® ¬» ­¥ ¬®¦¥¬ ±ª § ²¼, ¨§ ª ª¨µ ¨¬¥­­® ¡«®ª®¢ tn(j ) ±®±²®¨²±«®¢® yn. Ž¤­ ª® ¤«¿ «¾¡®£® j ¬» ¬®¦¥¬ ³ª § ²¼ ±¯¨±®ª ¢±¥µ (n; j )¡«®ª®¢ (¢ ½²®¬ ±¯¨±ª¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¨ tn(j )). ‡ ¬¥²¨¬, ·²®¤«¿ «¾¡»µ n, j ¨¬¥¥²±¿ ­¥ ¡®«¥¥ 2f(n) ° §«¨·­»µ (n; j )-¡«®ª®¢.Š ¦¤»© ¡«®ª tn(j ) «¥£ª® ¯®«³·¨²¼ ª ª ¯® xn, ² ª ¨ ¯® yn.

’®·­¥¥,K (tn(j )jxn) = O(f (n)); K (tn(j )jyn) = O(log n): ³±²¼ u ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ·²® ª ¦¤®¥ ±«®¢® un ¥±²¼ ­¥ª®²®°»© ¡«®ª tn(jn). ’®£¤ u f x¨ u f y.°¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© x ¨ y ¥±²¼ ²®·­ ¿­¨¦­¿¿ £° ­¼ z. ’®£¤ u f z. ‡­ ·¨² ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª®­±² ­² Cu,·²® K (tn(jn)jzn) Cuf (n): Š®­±² ­² Cu § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ u, ­® ¬» ¯®ª ¦¥¬, ·²® ±°¥¤¨ ¢±¥µ ² ª¨µ ª®­±² ­² ±³¹¥±²¢³¥²­ ¨¡®«¼¸ ¿. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¡³¤¥² ­ «®£¨·­® ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ «¥¬¬» 6.‹¥¬¬ 9. ‘³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ª®­±² ­² C , ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ¡«®ª tn(j ) ¨§ ±«®¢ yn ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® K (tn(j )jzn) C f (n).„®ª § ²¥«¼±²¢® «¥¬¬». „«¿ ª ¦¤®£® n ¢»¡¥°¥¬ ¢ ±«®¢¥ yn ¡«®ªtn(jn), ±«®¦­®±²¼ ª®²®°®£® ®²­®±¨²¥«¼­® zn ¬ ª±¨¬ «¼­ . ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢»¡° ­­»µ ¡«®ª®¢ u ¿¢«¿¥²±¿ ­¨¦­¥© £° ­¼¾ x ¨ y, ¯®²®¬³ f -¯°®±² ®²­®±¨²¥«¼­® z.

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