Диссертация (1104083), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Поэтому положение пиковв спектре будет определяться мнимой частью корней уравнения (4.9), в то времякак действительная часть будет отвечать за ширину пиков.- 101 -Рис.4.2. (а), (б) – Спектры малых флуктуаций, рассчитанные для состояния на нижнейстабильной ветви (n X  100) . (в), (г) – Спектры малых флуктуаций, рассчитанные длясостояния с верхней стабильной ветки (n X  4000). Величина отстройки на всех графиках  1,5пс1 .Условно назовем центральными те пики, которые ближе к частоте конденсатаи, соответственно, боковыми те, что расположены дальше. При увеличениинакачки пики отдаляются друг от друга. При этом центральные пики движутся кчастоте накачки, а боковые от нее. И в области порога мы имеем дельта-пик начастоте накачки.

В общем случае спектр флуктуаций не симметриченотносительно частоты накачки. Симметричность наблюдается только при   0 –(4.23) и (4.24). При этом асимметрия спектра флуктуаций фотонов менеевыражена, так как слагаемое, отвечающее за асимметрию в знаменателевыражения (4.23), пропорционально  X , а в формуле для спектра флуктуацийэкситонов, аналогичное слагаемое пропорционально  P 2 , согласно формуле- 102 -(4.24). При этом для типичных экспериментальных условий  P   X и  P , X врежиме сильной связи.4.3.Решение уравнения Фоккера-ПланкаВыше нами были решены уравнения Ланжевена в пределе малых флуктуацийоколо стационарного решения, благодаря чему были получены спектрыквантовых флуктуаций фотонов и экситонов. Однако приближение линеаризациипо квантовым флуктуациям не всегда справедливо.

В этом случае необходиморешать уравнение Фоккера-Планка. Однако, как было сказано выше, получитьточное решение уравнения Фоккера-Планка для нелинейной системы возможнолишь для некоторых предельных случаев. Далее мы приведем пример решениястационарного уравнения Фоккера-Планка, P / t  0 . Искомое решение можетбыть получено в случае выполнения условия потенциальности [113]:iV j   jViDгде Vx    D 1   2 A    lxqllДалеевоспользуемся(4.25).адиабатическимприближением[114],котороесправедливо, так как диссипация фотонной моды намного быстрее затуханияэкситонной моды,  P   X , и перейдем к приближению вращающейся волны.Тогда диффузия и матрица сноса в пределе пренебрежения термальным шумомпринимают вид: 2i 20 D,2 02i   i E p  2i   2 ,A *     i * E *  2i  2 pгде   P  i.  P2   2(4.26)- 103 -После несложных вычислений получаем, что условие потенциальностивыполняется,V1 V2 2 .  Проинтегрировав обобщенную силу V, чтобы найти потенциальнуюфункцию,приходимквыражениюдляраспределенияквазивероятностиPss   ,    в стационарном состоянии:Pss   ,     exp    V1d   V2 d      2i*2i11exp    E p   * E *p   2   .(4.27)Отсюда видно, что обычное интегрирование в комплексной плоскости     *невозможно, так как потенциал в этом случае расходится,     .

Это означает,что вместо обычного диагонального представления Глаубера-Сударшана нужноиспользоватьобобщенноеР-представление,подразумевающееобластьинтегрирования     * , так чтобы функция распределения убывала на краях.11Перейдем к переменным   ,     :zzPss  z, zz2iz2 i*1 exp    E p z   *E *p z   2   .zz (4.28) 2 Разложим множитель exp    в ряд Тейлора, тогда для нормировочного zz интеграла получимiin n   E z   *E* z 2n I  ,     P  z, z  dzdz   z ze p e p dzdz  .n 0 n! **(4.29)Данное выражение представляет собой сумму интегралов Ханкеля, которыевычисляются через Гамма-функции- 104  x kzx 1 z e dz  2 ik    x   .1(4.30)Используя формулу для гипергеометрического ряда*n  i   i z  i * i       ., , z   0 F2 *  n 0 i  i n!nn    (4.31)Нормировочный интеграл принимает вид i * iI, i *i E p     E  2 i * i224F,,2E0 2p .2 i *   i 2 Ep        **p(4.32)Аналогично проделанному выше анализу для нормировочного интеграла можно i * i ,   наполучить выражения для моментов функции распределения заменой  i *i I,   J  . Отношениемоментакнормировочномуинтегралусоответствуетвыражению для корреляционной функции (при нулевой задержке): i *   i  E p    E           I  J Pss    ,   d *i  i  Pss   ,   d  I  J    JGIJ  ˆ † I ˆ J2i *i2FI,J,2E0 2p *2 ii2F,,2E0 2p  * Ip(4.33)- 105 -Это общее выражение, из которого можно легко получить выражения длясреднего от оператора уничтожения экситонов, коррелятора первого порядка икорреляционной функции второго порядка:2 i * i2 E p 0 F2  ,   1,2  E p  ˆ *2 ii2i 0 F2 ,  ,2  E p  (4.34)2 i *i2  E p 0 F2  1,   1,2  E p  ˆ † ˆ *2 ii22 0 F2  ,  ,2  E p  (4.35)g 2 0 ˆˆˆ † ˆ † ˆ † ˆ2222 2 2 22  i *222 i * i i *i22F,,2EF 2,   2,2  E p 0 2p 0 2  22  i *i2F 1,   1,2  E p  0 2 (4.36)Эти величины изображены на рис.

4.3 и рис. 4.4, где так же для сравненияприведеныинаселенностьэкситонноймоды,определеннойврамкахполуклассического анализа. Сравним предсказание квантово-механическогоподходаиполуклассического.Вчастности,какотмечалосьвыше,полуклассическая теория, предсказывает бистабильность для населенностиэкситонов. Экспериментально бистабильность может наблюдаться в видевнезапного изменения состояния системы при увеличении накачки выше точки 2(рис.4.3а). При этом система переходит в состояние 2 . Далее населенностьэкситонов возрастает по верхней стационарной ветке бистабильности.- 106 -Рис.4.3. (а) – Сплошной кривой (с пунктирным участком) изображено полуклассическоезначениенаселенностиэкситоновnXкакфункцияотинтенсивностинакачки,пропорциональной I p ; штрих-пунктирной линией нарисовано квантово-механическое среднеезначение населенности экситонов ˆ † ˆ от интенсивности накачки I p .

(б) – Сплошной линий(с пунктирным участком) изображено полуклассическое значение амплитуды поля какфункция от поля накачки I p ; штрих-пунктирной линии соответствует квантово-механическоесреднее значение амплитуды от поля накачки I p .Анализ решения уравнения Фоккера-Планка показывает, что возникшиевокруг стационарного состояния квантовые флуктуации могут вытолкнутьсистему из бассейна притяжения устойчивых стационарных точек нижней веткибистабильности в область притяжения верхней устойчивой ветви. В этом случаепри увеличении накачки состояние системы будет следовать штрих-пунктирной(красной) кривой на рис.4.3а, а после достижения точки 3 наблюдается резкоевозрастаниесреднейнаселенностиэкситонов вплотьдо верхнейветвибистабильности.Таким образом, в области, где полуклассическое описание (штриховаякривая) предсказывает наличие бистабильности, при учете квантовых флуктуацийбистабильность не наблюдается.

При этом необходимо отметить, что участокнижней ветви между точками 3 и 2 (рис.4.3а) является метастабильным. Будет линаблюдаться явление бистабильности на практике, зависит от характерного- 107 -времени случайного перехода с одной ветви на другую, которое, в свою очередь,определятся амплитудой флуктуаций. Если же поле накачки будет увеличиватьсяза промежуток времени короче, чем время данного случайного перехода, петлягистерезиса будет наблюдаться.Когда же параметры системы таковы, что бистабильность не наблюдаетсяпри любом значении накачки, квантово-механическое и полуклассическоеописания совпадают.Корреляционная функция второго порядка g (2) для экситонного поля,изображенная на рис.4.4, демонстрирует резкий скачок в области переходарешения с нижней на верхнюю ветвь, проявляющейся в эффекте гигантскойгруппировки [115].

При этом до скачка поле находится в состоянии группировкиg21 , а после скачка наблюдается эффект антигруппировки, g21.Рис.4.4. Корреляционная функция второго порядка от поля накачки I p .4.4.1.Выводы к главе 4Выполнен анализ влияния квантовых флуктуаций на свойстваэкситонных поляритонов, локализованных в плоском полупроводниковом- 108 -микрорезонаторе, с учетом нелинейного взаимодействия между экситонами и вприсутствии теплового резервуара.2.Получены аналитические решения для обобщенной P-функцииГлаубера в адиабатическом пределе. Предсказана неклассическая статистикаэкситонов (группировка, гигантская группировка, антигруппировка).3.Обнаружено,метастабильностичтоприсутствиеоднородногорешения,квантовыхшумовотносящегосякбистабильности.Основные результаты данной главы опубликованы в [13].приводитнижнейкветви- 109 -ЗАКЛЮЧЕНИЕОсновные результаты и выводы настоящей диссертационной работысводятся к следующим.1.Решена проблема получения долгоживущих поляритонных состояний,формирующихся в полупроводниковых микрорезонаторах.

Предложен способувеличения времени жизни осцилляций Раби в подобных системах за счетвынужденных переходов поляритонов из некогерентного резервуара.2.Выяснено, что в режиме сильной связи система экситонов в основномсостоянии, взаимодействующих с фотонами моды микрорезонатора, обладает РТсимметричными свойствами. Показано, что наличие РТ-симметрии в экситонфотонной системе отражается на ее динамике, а именно, проявляется вустановлениирежимаустойчивыхвовремени(самоподдерживающихся)осцилляций экситонной плотности и фотонного поля (осцилляций Раби).Определеныкритерии(требованиякпараметрамсистемы:величиненекогерентной накачки, а также экситон-фотонной отстройке), при которыхсистема взаимодействующих в режиме сильной связи экситонов и фотоновобладает РТ-симметричными свойствами.3.Исследовано влияние нелинейных свойств поляритонного конденсата(рассеяния экситонов, находящихся в основном состоянии, друг на друге и наэкситонах из некогерентного резервуара) на установление в экситон-фотоннойсистеме устойчивых во времени осцилляций Раби.

Характеристики

Список файлов диссертации