Диссертация (1104083), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

(а) – Зависимость экситонной населенности от интенсивности внешней накачки. Синяякривая при   1.5пс1 (пунктиром показано неустойчивое решение), красная кривая безбистабильности при  0.5пс1 . (б) – Область существования бистабильности. Длярассматриваемой системы характерны следующие значения параметров:  0,001мэВ ,  2,5мэВ ,  X  0.01пс1 ,  P  0.1пс1 [104,105].В рассматриваемой модели экспериментально управляемыми являютсяотстройка частоты микрорезонатора от экситонного резонанса  , а такжеинтенсивность внешней накачки, пропорциональная I p . Область существованиябистабильностинаплоскости( , I p )изображенанарис.4.2б.Явлениебистабильности наблюдается только при положительных отстройках P  X (  0.17пс-1 при используемых значениях параметров системы).Для определения устойчивости найденных стационарных решений будемискать решение уравнений (4.6) в виде    0   et и   0   et , где - 94 -и  – малые возмущения стационарных решений для фотонного  0 и0экситонногополей.Характеристическоеуравнение,определяющиесобственные значения  , имеет вид 4  c1 3  c2 2  c3  c4  0,(4.9)гдеc1  2   X   P  ,c2          4  02P22X2 2 4 X  P  2 2  4 2  0 ,42 242222c3  2 P   X2    4  0  2 X  P    2  X   P    8 P  0 ,2 222242c4    X2    4  0  P      2  X  P     4  04 2  04  22P(4.10)Решение является неустойчивым, когда хотя одно из четырех собственныхзначений  имеет положительную действительную часть.

Области устойчивостирешения, отмеченные сплошными линиями и на рис.4.1а, могут быть определенычисленно или с использованием критериев Рауса-Гурвица [106].В нашей задаче в устойчивой области корнями характеристическогоуравненияявляютсядвепарыкомплексных корнейсотрицательнымидействительными частями (устойчивый фокус), а в неустойчивой – паракомплексных корней с отрицательными действительными частями и двадействительных корня – один положительный, второй отрицательный (седлофокус первого рода).4.2.P -функция Глаубера-Сударшана. Спектр флуктуацийПерейдем теперь к изучению влияния квантовых шумов на рассматриваемуюполяритонную систему. Непосредственное решение основного кинетическогоуравнения с учетом нелинейности в операторном виде достаточно сложно.Поэтому оправдан переход к коммутирующем величинам, c -числам [102].

Одним- 95 -из способов решения этой задачи является диагонализация матрицы плотности покогерентным состояниям с помощьюP -функции – так называемоеP-представление или представление Глаубера-Сударшана [107,108].Используя это представление, можем перейти от рассмотрения экситонных ифотонных мод в виде квантовых осцилляторов к модели стохастическихосцилляторов с определенными смещениями и матрицей диффузии. УравнениеФоккера-Планка,получаетсяссоответствующееиспользованиемуравнениюстандартныхдляматрицыметодов,плотности,основанныхнапредставлении Глаубера.В целом, однако, P -представление Глаубера-Сударшана, которое являетсядиагональнымразложениемоператораплотностивбазисекогерентныхсостояний, может приводить к распределениям, имеющим отрицательныезначения и сингулярности.

Это происходит, например, в случаях неклассическойстатистики фотонов [109]. Поэтому далее будет использоваться недиагональноеобобщенное P -представление. Уравнения, описывающие динамику новой P функции, а также соответствующие наблюдаемые, похожи на соответствующиевеличины для P -функции Глаубера-Сударшана. Однако заметим, что ониопределяются в комплексном фазовом пространстве,а не в реальном(классическом) фазовом пространстве.Таким образом, перейдем к представлению Глаубера-Сударшана.

А именно,запишемоператорплотностиx   ,  ,  ,    , ˆ  , ,  , ввиде:   P  x  xd  x ,   *  * *  *  представляетгдесобойпроекционный оператор, а d   ,  ,  ,    – элемент интегрирования. ВеличинаP x– это квазивероятность, имеет смысл аналогичный плотности вероятностив классической статистике. Заметим, что в данном представлении  и  имеютсмысл c -чисел, т.е. собственных значений операторов рождения и уничтожения- 96 -фотонов и экситонов, соответственно.

При этом  и   – не обязательноявляются комплексно сопряженными величинами [110].Используя стандартные правила операторной алгебры, получаем уравнениеФоккера-Планка:P [  iP   P   E  i    i X   X    i  2i   2  t222 2  i 2    P nth1n э.с.]P,X th 2  (4.11)где через э.с. обозначены эрмитово-сопряженные слагаемые.Если бы мы использовали диагональное представление, в силу наличиянелинейного члена диффузия была бы неположительно-определена.

Это означалобы, что обычные теоремы Ито для стохастических дифференциальных уравненийбыли бы не применимы [111]. Однако, как было показано в работе [110], приопределении уравнения Фоккера-Планка в восьмимерном пространстве с теми женаблюдаемыми, уравнения с положительной полуопределенной диффузией все жемогут быть получены. Точные стохастические уравнения в исчислении Ито могутбыть получены преобразованием уравнения Фоккера-Планка (4.11) в форму Ито:12 P nth1  2  1  t         iP   P   E  i   0, 0   1  t  t        iP   P    E *  i    2 P nth1       i X   X    i  2i    2i t        i X   X     i   2i 2    2 X nth 222122 X nth 2    2  t     ,2i 2    2  t  (4.12)Где i (t ) – независимые стохастические функции (i  1,2) , корреляционныефункции которых удовлетворяют условиямi  t   0 , i  t   0 , i  t  j  t '  ij  t  t  .(4.13)Здесь учтем тот факт, что термальные резервуары для фотонов и экситонов независят друг от друга, поэтому ланжевеновские силы для экситонной и фотонной- 97 -частей не коррелированы между собой [101].

Снова воспользуемся приближениемвращающейся волны    ei t ,    ei t и положим 2 P nth1  1 , 2 X nth 2  2 .В общем случае уравнения Ланжевена (4.12) или соответствующее емууравнение Фоккера-Планка (4.11) сложно решить. Однако есть множествоприближений, которые дают адекватную оценку статистического характеранелинейного процесса. В начале, рассмотрим малые флуктуации околостационарного состояния и найдем выражения для их спектра и корреляционнойфункции из линеаризованного уравнения Ланжевена для малых флуктуаций: x    A x   D1/2   t t(4.14)где  x   ,  , ,   ,  t   1 ,1 , 2 , 2   .

Матрица сносаT i   P0A i0Ti0 i   0P0i i     4i X2i 02i.22i 02i   X  4i  0 020и диффузии0 0 1 00D 1 0 0 2i 0220 00 .2 2i 0 2 0Здесь  0 – стационарное решение детерминированной системы без флуктуаций(4.6). Уравнения (4.14) будут основой наших дальнейших вычислений.Величина, которая представляет собой практический интерес - этокорреляционная функция второго порядка. Эта величина может быть посчитанаиз полной системы, однако данный расчет довольно громоздкий, поэтому мы- 98 -ограничимся рассмотрением адиабатического случая, когда одна мода затухаетбыстрее, чем вторая  P   X  .

В этом пределе упрощенная система напрямуюопределяется из полной и имеет вид    A    D1/2   t   , t  (4.15)где A и D1/2 определяются как   4i  0 22i 02,A  2* 2i  2  4i  0 0 2i02D   2где    X ,2i0 2 22 P2 i и мы пренебрегли тепловыми флуктуациями P2   2  P2   2 в фотонной моде, т.е. 1  0 .Матрица корреляции 2   2C 2    22    2   2   2(4.16)может быть рассчитана по методу [112]:D det A   A  TrA  D  A  TrA TC2TrA det A i  2  *  4i  2 2     * 20042 2 2 2  0    *    2   4i  01   4i  2 2  4 2  4  00 42 22 2  0    *    2   4i  0 .22*i  0   4i  0  2 2      *(4.17)- 99 -Для нулевой задержки корреляционная функция второго порядка до второгопорядка малостиимеет следующий вид0g(2) 01 2 0 0 202  20 2.(4.18)Используя корреляционную матрицу (4.17) получаемg2 0  1 1   4i  2 2  4 2  4  00 *    4i  2 2  4 2  4    *00 2 2  i     *   8  0  2 2     *  20В случае, больших значений  0222и пренебрежимо маленьким тепловым шумом 0  1 В случае маленьких значений  020 , значение корреляционной функции не зависит от отстройки и задаетсяgg(4.19) 0   1.213 02.(4.20)в области, где наблюдается бистабильностьВ области же где бистабильность отсутствует, наблюдаетсяантигруппировка при любом значении  0 .

Отметим, что присутствие теплового2шума разрушает любой эффект антигруппировки.Определяя спектр флуктуаций как Фурье-образ корреляционной функцииSij   12exp  i   i  t  j  t    d .(4.21)можно показать, что матрица S   будет задаваться следующим выражением[112]:- 100 -S   111 i I  A D  i I  AT  .2(4.22)Далее мы пренебрежем тепловыми флуктуациями (квантовый предел), 1  2  0так какX ,PkT и населенность тепловых резервуаров экситонов и фотоновмала.Формула (4.22) позволяет определить любые спектральные элементы Sij   встационарном состоянии. В частности, спектр флуктуаций фотонной компонентыбудут определяться выражениемS12   4   022 P 2   X  P2     44 c2  c4    c3  c12222 22(4.23),а спектр флуктуаций экситонной компоненты –S34   44 2  0  X   22P 22 4 P2 2   P2   2  P2 4  c2 2  c4    c3  c1 2   222,(4.24)где коэффициенты ci ( i  1,2,3,4 ) задаются выражениями (4.10).Спектрфлуктуацийпозволяетопределитьто,какраспределенакорреляционная функция шума по частотам.

Спектры флуктуаций экситонных ифотонных компонент, соответствующие стационарным состояниям на нижней иверхней ветвях бистабильности (см. рис.4.1а), изображены на рис. 4.2. Всоответствии с рис.4.2 вся энергия квантовых флуктуаций сосредоточена вчетырех узких пиках, расположенных вокруг частоты накачки. Знаменатель ввыражениях (4.23) и (4.24) определяется характеристическим многочленом (4.9),определяющим устойчивость стационарных решений.

Характеристики

Список файлов диссертации