Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции (1104063), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Показано, что искомоеуравнение для функции 1  t;1 является нелокальным как по времени, так ипо пространственным координатам, что соответствует учету коллективныхвзаимодействий.В §2 изучается возможность перехода к гидродинамическомуописанию системы твердых сфер. При этом естественно применить методпроекционных операторов, позволяющих явным образом определитьэволюцию гидродинамических моментов функций k  t , v  , определенныхсоотношением1  t;1   dkeikr k  t , v  .(10)С этой целью используется представление k  t , v  в видеk  t , v   Pˆ k  t , v   Pˆk  t , v  ,(11)где P̂ - оператор проектирования на гидродинамическое подпространство,базисными векторами которого являются 1, v , v 2 в гильбертовомпространстве с нормой  v      v  0  v  dv,22и Pˆ  1  Pˆ . Поскольку уравнение для k  t , v  имеет видk  t , v  Âk  t  k  t , v   0,t(12)где Âk  t  - некоторый оператор, то можно представить (12) в виде системыуравнений ˆˆ Pˆ Pˆ   t ; v   Pˆ Aˆ Pˆ Pˆ   t ; v   0,Pk  t ; v   Pˆ Akkk  kt ˆˆ Pˆ Pˆ   t ; v   Pˆ Aˆ ˆ ˆP k  t ; v   Pˆ Ak  k k P Pk  t ; v   0.t    (13)Показано, что структура уравнений (13) такова, что влияние начальныхусловий Pˆk  0; v  экспоненциально затухает со временем существенноˆ  0; v  в области малых k , для которыхбыстрее, чем вклад величин Pkопределены гидродинамические уравнения.

Нелокальные линеаризованные9уравнения гидродинамики, связывающие производные по времени отˆ  t; v  ,Pвеличинхарактеризующиеотклоненияплотности,kмакроскопической скорости и температуры от равновесных значений, слинейными комбинациями этих величин в моменты времени 0  t :t ˆPk  t; v    dt ˆ  t  t   Pˆ k  t ; v  ,t0где ˆ   - оригинал оператораPˆ Aˆ k  z  Pˆ   Pˆ Aˆ k  z  Pˆ   z  PˆAˆ k  z  Pˆ   PˆAˆ k  z  Pˆ  ,1где Aˆ k  z    etz Aˆ k  t  dt.0В §3 построено явное выражение для различных проекций оператора k  z  и определена структура соответствующей матрицы коэффициентовпереноса.

Для этого использовано представление для Âk  z  в виде2 2ˆ  z   ikv  nˆ  v   iank ˆ  v   na k ˆ  v   Wˆ ,Ak012k2где ˆ 0 , ̂1 , ̂ 2 - коэффициенты разложения по степеням (ak) оператора ̂ k  v , определённого соотношениемˆ  v    v   a2k v v σ 0    0  v  dv  v  v  σdσ   v*   v* eikaσ    v     v  eikaσ .Оператор Ŵk , не имеющий аналога в обычной локальной теории уравненийгидродинамики, приводящей к уравнениям Навье-Стокса, имеет высшийпорядок по k  k . Поэтому допустимо рассмотреть лишь оператор Ŵ0 ,действие которого определено посредством соотношенийWˆ0  v  n2  2 3Ciii,ll l  ik q ˆ  v  dq 0i.li .l i .l z  Sk q  Sq  v lq   v , ˆ 0z  v 101i l ik q (14) v  lq   v  ,где  k   v  представляет собой ортонормированный базис собственныхфункций нулевого приближения для оператораikv  nˆ 0  v  ,Sq l-собственные значения оператораˆ v  ,Sˆk  v   ikv  nkобращающиесявнульприk 0.МатрицаCiii,ll l определяетсясоотношениемCiii,ll l   Cii  k  q  Cll   q  Ci1i  k  q  Cl1l  q  ,где Cii  q  - коэффициенты разложения собственных функций l q   v Ŝq  v операторапо ортонормированным базисам функций нулевогоприближения  q   v  для оператора  iqv  nˆ 0  v   ,5qqi   v    Cim  q  m   v .m 1При использовании представления5kkPˆ kz  v    ai   z  i   v i 1получена система уравнений для гидродинамических величинkai   z  :kkzaj   z   aj   0    ik Qˆ el  где e k1, Q̂e  v  kikkv  ,kjl k l1e  k 2  N j  ,Nl   al   z   0,ˆ  z  Pˆz  Pˆ Ak v   ikv  iank ˆ 1  v  ,1 k1 kllNi   v   Ri   v  , Ni   v    Ri   v  ,ikikkRi   v  k k i v     k li l k   v  ;lkRi   v  kki   v   l k likl   v  .11(15)Коэффициент при k 2 в (15) представляет собой обобщенную матрицукоэффициентов переноса, зависящих от z и волнового вектора k.

Показано,что учет конечности области взаимодействия приводит к неэрмитовости этойматрицы.Третья глава диссертационной работы содержит исследованиеасимптотики временных автокорреляционных функций ВКФ C k   t  и C k   t вязкости и теплопроводности.В §1 дано определение кинетических частей ВКФ. Показано, чтосингулярная часть начального условия в этом определении дляодночастичнойфункциираспределенияполностьюописываетасимптотическое поведение ВКФ. Анализ свойств ВКФ проводится наоснове полученных в главе 1 выражений для собственных функций исобственных значений обобщенного оператора Больцмана – Энскога,задающего структуру решений кинетического уравнения для неравновеснойодночастичной функции распределения. В §2 рассмотрена линеаризованнаяобобщенная модель Больцмана – Энскога.

Показано, что в данномприближении асимптотика ВКФ является экспоненциальной, причемхарактерные масштабы времени полностью определяются равновеснымихарактеристиками системы. Детально исследуется вопрос о применимоститеории возмущений для описания нелинейных эффектов. На основе свойствоператора Больцмана – Энскога показано, что способ построенияприближенного решения нелинейного кинетического уравнения приttmfpm  12 na 2 1позволяет также рассматривать функции распределения,обладающие сингулярными особенностями при t  0 . Вклад в ВКФ,обусловленный нелинейными эффектами модели, исследован путёмприменения преобразования Лапласа, которое позволяет сформулироватьпроблему вычисления асимптотики ВКФ в терминах поиска особенностейизображения C k   p  e ptkC   t  dt в комплексной p-плоскости.

Показано,0что функции C k   p  обладают изолированными полюсами, расположеннымив полуплоскости Re p  0 , и точкой ветвления при p=0, возникающей приинтегрировании выражений типаk C p  dk 2 3 l ,m12l ,mA p k2lmz2   z2 ,(16)где A  l , m  - коэффициенты, появляющиеся при разложении одночастичныхтоков j  v  , j  v  по билинейным комбинациям собственных функцийобобщенногооператораБольцмана-Энскога,z2 lкоэффициенты,-определяющие поправки к гидродинамической части спектра этогооператора. Показано, что интегрирование в (16) приводит касимптотическому убываниюВКФ по законуC t32, причёмвсязависимость C от регулярной части потенциала бинарного взаимодействияопределяется коэффициентами Al ,m .В Заключении подведены итоги диссертационной работысформулированы основные положения, выносимые на защиту:и1.

Разработан метод исследования гидродинамической части спектраобобщённого оператора Больцмана-Энскога в первом порядке попараметру однородности. Найдена система соответствующихсобственных функций; показано, что базис, образуемый ими, неявляется ортогональным.2. Построено нелокальное кинетическое уравнение для систем твёрдыхсфер, учитывающее дальнодействующие динамические корреляции.Разработан метод определения его решений, отвечающихгидродинамическому этапу релаксации. Дан алгоритм построениянелокальных уравнений гидродинамики.3. Вычислена асимптотика временных автокорреляционных функций внелинейнойобобщенноймоделиБольцмана-Энскогасдальнодействующейкомпонентойпотенциалабинарноговзаимодействия. Найдено замкнутое выражение для коэффициентов,определяющих асимптотическое разложение ВКФ.

Исследована ихзависимостьотрегулярнойчастибинарногопотенциалавзаимодействия.13Публикации автора по теме диссертации1. ИноземцеваН.Г.,МасленниковИ.И.,СадовниковБ.И.,Автокорреляционные функции в обобщенной модели БольцманаЭнскога // Вестник МГУ, сер.3, № 1 (2013) С. 22N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, B.I. Sadovnikov, AutocorrelationFunctions in the Generalized Boltzmann-Enskog Model, Moscow UniversityPhysics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 1, pp. 21-262. Иноземцев В.И., Масленников И.И., Обобщенные гидродинамическиеуравнения в модели твердых сфер // Вестник МГУ, сер.3, № 2 (2013) С.3V.I. Inozemtsev, I.I.

Maslennikov, Generalized Hydrodynamic Equations inthe Hard-Spheres Model, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol.68, № 2, pp. 97-1043. Иноземцева Н.Г., Масленников И.И., Обобщенные гидродинамическиеуравнения в модели твердых сфер // Вестник МГУ, сер.3, № 3 (2013) С.25N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, Hydrodynamic Solution of theGeneralized Boltzmann-Enskog Equation, Moscow University PhysicsBulletin, 2013, Vol. 68, № 3, pp. 201-2044. Б.И.Садовников,Н.Г.Иноземцева,И.И.Масленников,Автокорреляционные функции и нелинейный оператор БольцманаЭнскога, ISBN 978-3-659-48910-5, LAP LAMBERT Academic Publishing2013, 104 стр.14.

Характеристики

Список файлов диссертации