Диссертация (1103995), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При этом вместо решетокиз точек ветвления можно рассматривать решетку из идеально поглощающих экранов. Ксожалению, строгая с математической точки зрения постановка задачи, а также корректноеопределение краевых функций Грина представляются весьма затруднительным в рамках метода параболического уравнения. Для этих целей используется более формальный подход наоснове интегралов Френеля. Эквивалентность метода параболического уравнения и подходав рамках интегралов Френеля демонстрируется в разделе 1.2.6.Основной целью данной главы является формальный вывод формулы расщепления врамках подхода на основе интегралов Френеля. Формула выводится в разделе 1.4.Результаты, полученные в данной главе, легко обобщаются на периодические решетки,исследуемые в Главах 2 и 3.
Это позволяет в Главах 2 и 3 не останавливаться подробно напостановке дифракционных задач и на доказательстве формул расщепления.1.2. Задача Л. А. Вайнштейна в точной и приближенныхформулировках1.2.1. Постановка задачи Л. А. ВайнштейнаРассмотрим задачу о двумерном волноводе с геометрией, изображенной на Рис. 0.9.Стенки представляют собой полупрямые > 0, = 0, . На плоскости (, ) (везде, кроместенок волновода) выполняется уравнение Гельмгольца(︂ 2)︂22++ 0 ˜(, ) = 0,2 2(1.1)где ˜(, ) – полевая переменная, а 0 – параметр (волновое число). Будем предполагать, что0 обладает маленькой положительной мнимой частью в соответствии с принципом предельного поглощения.
На стенках заданы граничные условия Неймана. Падающая волна бежитпо волноводу в сторону отрицательных и имеет вид:˜in = exp{−0 sin in } cos(0 cos in ),(1.2)где in — угол распространения бриллюэновской парциальной волны. Этот угол удовлетворяет условиюexp{20 cos in } = 1,(1.3)26следующему из граничных условий. Рассеянное поле в волноводе представляется в видеразложения по волноводным модам:scin˜ ≡ ˜ − ˜ =∞∑︁˜ exp{ sin } cos( cos ),(1.4)=−∞˜ – коэффициенты рассеяния в волноводные моды, – углы, под которыми распрогде страняются парциальные волны.
Значения удовлетворяют соотношению:exp{2 cos } = 1.(1.5)˜.Для нахождения рассеянного поля необходимо определить коэффициенты отражения Рассеянное поле должно удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда, а полноеполе – условиям Мейкснера в вершинах. В такой постановке задача дифракции на торце плоского волновода была решена Л. А. Вайнштейном с помощью метода Винера–Хопфа–Фока [9].Далее рассматривается лишь случай падения высокочастотной волны при частоте, близкойк частоте отсечки, то есть требуется выполнение следующих условий:0 ≫ 1,in ≪ 1.(1.6)Л.
А. Вайнштейном было показано, что при выполнении более сильного условияin√︀0 ≪ 1(1.7)падающая волна почти полностью отражается от торца волновода с коэффициентом отражения, близким к −1. Этот результат является ценным с физической точки зрения, посколькуон объясняет высокую добротность резонаторов типа Фабри–Перо. Поправка к −1 позволяетвычислить потери в таких резонаторах.Малость угла падения позволяет считать дифракционный процесс приосевым и использовать приближение Френеля, учитывая лишь дифракцию под малыми углами.1.2.2. Применение метода отражений и формулировка задачи на разветвленнойповерхностиПриступим к формулировке задачи Л. А.
Вайнштейна на многолистной поверхности.Разрежем физический лист (исходную плоскость (, )) вдоль стенок волновода. Построимбесконечное число копий физического листа, снабдив их целыми индексами (физическомулисту присвоим индекс 0). Листы с нечетными индексами симметрично отразим вокруг вертикальной оси. Склеим получившиеся листы по правилу, показанному на Рис.
0.10. Получим27разветвленную поверхность, имеющую бесконечное число точек ветвления второго порядкаи бесконечное число листов.Полное поле вместе с первой производной непрерывны на полученной поверхности, втом числе и в точках склейки листов. Из этого следует, что оно удовлетворяет уравнениюГельмгольца в точках склейки [15] и, вообще говоря, бесконечно гладко на склейке везде,кроме точки ветвления. В рамках подхода, предложенного Зоммерфельдом [12], перейдемот рассмотрения задачи на плоскости с экранами к рассмотрению задачи на многолистнойповерхности без экранов, но с точками ветвления.
Известно, что эти задачи эквивалентны.Построенная поверхность имеет сложную структуру и её трудно анализировать. Вместоэтого исследуется поверхность, изображенная на Рис. 0.11. Она состоит из основного листас бесконечным количеством разрезов вдоль линий = , < 0 и вспомогательных листов,имеющих по одному разрезу. Вспомогательные листы проиндексированы целыми числами, аосновной лист помечен буквой i.
Лист с индексом имеет разрез вдоль линии = , < 0.Схема соединения листов показана на рисунке.Понять, что поверхности, изображенные на Рис. 0.10 и Рис. 0.11, эквивалентны (точнее,что это разные способы разрезать одну и ту же поверхность), можно следующим образом.Для этого достаточно заметить, что основной лист соответствует внутренности волновода,а по вспомогательным листам распространяются волны, вышедшие из волновода. Строгоедоказательство эквивалентности поверхностей вынесено в Приложение Б.Падающее поле ˜in на поверхности, изображенной на Рис.
0.11, представляет собой сумму двух плоских волн, распространяющихся под углом in и − in к оси . Вследствиелинейности задачи, будем рассматривать только волну, распространяющуюся под углом in :˜in = exp{−0 sin in + 0 cos in },(1.8)При необходимости решение с двумя волнами может быть получено с помощью принципасуперпозиции.При выполнении условия (1.5) поле на построенной многолистной поверхности будетпериодично с периодом 2. Можно наложить более слабое условие периодичностиexp{0 (cos in − cos ˜ )} = 1,(1.9)следующее из теории Флоке. При этом выполнение (1.5) больше не требуется.Таким образом, с помощью метода отражений задача о дифракции на торце плоскоговолновода была сведена к задаче о рассеянии плоской волны на точках ветвления многолистной поверхности.
Математическая постановка задачи для уравнения Гельмгольца (1.1)28ничем не отличается от постановки задачи, например, на двулистной поверхности с однойточкой ветвления, рассмотренной Зоммерфельдом [12].Новая задача ставится следующим образом. На периодическую решетку, состоящую източек ветвления разветвленной поверхности, по основному листу падает высокочастотнаяплоская волна под скользящим углом. Периодичность геометрии задачи приводит к тому,что в верхней полуплоскости на основном листе поле, рассеянное решеткой, представляетсяв виде ряда по дифракционным максимумам. Необходимо определить коэффициенты рас˜ ). Этисеяния в эти максимумы (коэффициенты генерации дифракционных максимумов коэффициенты, очевидно, равны коэффициентам отражения в волноводные моды для исходной задачи.1.2.3.
Параболическое уравнение на разветвленной поверхностиМалость угла падения in и малость длины волны по сравнению с периодом позволяетрассматривать данную задачу в параболическом приближении теории дифракции. Это означает, что игнорируются цилиндрические волны, рассеянные точками ветвления под большимуглом. Таким образом, имеется основное направление распространения (ось ), а волновоеполе представляется в виде˜(, ) = exp{0 }(, ),(1.10)где функция зависит от своих аргументов медленно (по сравнению с экспонентой).
Уравнение Гельмгольца (1.1) заменяется параболическим уравнением (0.2).Падающая волна (1.8) в параболическом приближении переходит в (0.14). Падающаяволна приходит сверху по основному листу, который представляет собой многократно отраженную внутренность волновода (см. Рис. 0.11). На остальных листах падающей волнынет, поскольку в терминах исходной задачи это означало бы наличие падающей волны снаружи волновода. На основном листе полное поле представляет собой сумму падающего ирассеянного поля: = in + sc .(1.11)На вспомогательных листах поле представлено только рассеянной частью. При этом рассеянное поле является разрывным на линиях склейки листов (полное поле на линиях склейки,разумеется, непрерывно).
На основном листе рассеянная часть поля удовлетворяет параболическому уравнению везде вне разрезов.Условие (1.3) в параболическом приближении переходит в{︀(︀)︀}︀exp 20 1 − (in )2 /2 = 1.(1.12)29Рассеянное поле на основном листе при > 0 имеет видsc =∑︁}︀{︀ exp −0 2 /2 + 0 ,(1.13)где(︂)︂1/22in 2 = ( ) +,0 ∈ Z.(1.14)Последнее равенство следует из параболического аналога (1.9). Отметим, что 0 = in .Условия в вершинах для параболического уравнения переходят в требование ограниченности поля (, ) вблизи точек ветвления (тем самым гарантируется отсутствие источниковв точках ветвления).
Условие излучения заключаются в отсутствии в поле sc компонент,распространяющихся из бесконечности к линии = 0. В Приложении Д это условие формулируется с помощью принципа предельного поглощения.Поведение решений параболического уравнения на разветвленной поверхности отличается от поведения решения уравнения Гельмгольца на такой же поверхности. Различия вызваны тем, что параболическое уравнение имеет первый порядок по переменной . Эти различиязаключаются в следующем. Рассмотрим вспомогательный лист с индексом . Поскольку наэтом листе падающей волны нет, на этом листе поле равно нулю при < . Для построенияна этом листе волнового поля при > необходимо решать для параболического уравнения задачу Коши с начальными данными ( + 0, ) = 0, > 0; ( + 0, ) = i ( − 0, ), < 0, где i ( − 0, ) — поле на основном листе слева от разреза.Разрезы на основном листе можно рассматривать в качестве полностью поглощающихэкранов в том смысле, что полное поле (, ) на основном листе справа от каждого изразрезов равно нулю.
Причина этого заключается в том, что поле на основном листе справа отразреза непрерывно продолжает поле слева от разреза на вспомогательном листе, а там оноравно нулю. Таким образом, в параболическом приближении задача о рассеянии на решеткеиз точек ветвления эквивалентна задаче о рассеянии на решетке из идеально поглощающихэкранов, изображенной на Рис. 1.1.Такой подход не нов и впервые был предложен Фоксом и Ли [84] в применении к резонатору Фабри – Перо. Формулировка задачи на плоскости с поглощающими экранами являетсяпредпочтительной (по сравнению с формулировкой на многолистной поверхности), поскольку позволяет рассматривать поле на одном листе. Ниже используется именно такая формулировка. Поле на вспомогательных листах необходимо строить, если надо проанализироватьрассеяние из торца волновода в окружающее пространство.Сформулируем граничные условия для рассеянного поля sc на основном листе поверхности.
В соответствии со сказанным, на правых берегах разрезов, т. е. при = + 0, < 0,30полное поле должно быть равно нулю. Это значит, чтоsc ( + 0, ) = (), < 0,(1.15)где () ≡ −in (, ) = − exp{−0 (in )2 /2 − 0 in }.(1.16)В данной постановке задача была решена А. В. Шаниным в [7].Поставленная задача для sc обладает геометрической периодичностью.
Кроме того,правая часть граничных условий обладает свойством+1 () = (), ≡ exp{−0 (in )2 /2}.(1.17)В соответствии с принципом Флоке, аналогичному соотношению должно удовлетворять решение:sc ( + , ) = sc (, ).(1.18)Перечислим последовательность переформулировок исходной задачи об отражении отторца волновода для уравнения Гельмгольца.∙ Применен метод отражений, сформулирована задача для уравнения Гельмгольца намноголистной поверхности.∙ Изменены положения разрезов для многолистной поверхности (от Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
