Диссертация (1103995), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для этого используется методспектрального, эволюционного и ОЕ—уравнений. Подробное обсуждение этих методов проводится в Главе 2.В главе 4 c помощью схожего набора методов рассматривается задача дифракции наполосе с импедансными граничными условиями в точной постановке (для уравнения Гельмгольца).21Обзор литературыДля двумерной задачи дифракции на отрезке хорошо исследован лишь случай полосы с идеальными граничными условиями (Дирихле или Неймана).
Данная задача впервыебыла решена методом разделения переменных в эллиптических координатах. Решение былопредставлено в виде ряда по функциям Матье [27, 28]. К сожалению, в высокочастотном случае данное решение неэффективно, из-за медленной сходимости ряда. В некоторых другихзадачах проблема медленной сходимости ряда преодолевалась с помощью преобразованияВатсона [29, 30].
Автору настоящей работы неизвестны какие либо результаты в этом направлении в отношении задачи дифракции на полосе.Было предпринято большое количество попыток получить решение задачи дифракциина отрезке, аналогичное решению Зоммерфельда для полуплоскости [12]. Они подробно изложены в обзоре [13]. К несчастью, для данной задачи подход Зоммерфельда, заключающийсяв рассмотрении задачи дифракции на двухлистной поверхности, не может быть успешноприменен. Несмотря на это, в параболическом приближении подход Зоммерфельда позволяет легко и быстро получить ответ. Это демонстрируется в Приложении А. Отметим, чтовпервые задача дифракции на идеальной полосе рассматривалась в параболическом приближении в [31].Эффективным с практической точки зрения в высокочастотном случае является подход на основе дифракционного ряда [32–38]. Дифракционный ряд в наиболее общем видеполучен в [18].
Также приближенные результаты могут быть получены с помощью геометрической теории дифракции [39–42]. Следует отметить подход П. Я. Уфимцева [43–45, 45, 46],базирующийся на схожих идеях.Наиболее полное асимптотическое рассмотрение рассмотрение задачи дифракции наидеальной полосе дано в [5, 47]. В [5, 47] изучается дифракция плоской волны со ступенчатым профилем. Решение дается в замкнутой форме для любого дифракционного порядка.К сожалению, чтобы получить решение стационарной задачи, необходимо провести суммирование по всем дифракционным порядкам.Важные с математической точки зрения результаты были получены в [6, 48, 49].
Вэтих работах задача дифракции на идеальной полосе сводится к конфлюентному уравнениюГойна. Таким образом, данную задачу можно считать решенной хотя бы в математическомсмысле. Результаты, полученные в [6], развиты в [25, 50, 51].Задача дифракции на импедансном отрезке до сих пор не решена. Данная задача неможет быть решена методом разделения переменных, поэтому в случае низких частот необ22ходимо решать задачу для пары интегральных уравнений [52, 53].
В высокочастотном случае может быть применен метод дифракционного ряда [54, 55]. Также для решения задачидифракции на импедансном отрезке могут быть использованы так называемые гибридныетехники, сочетающие в себе аналитический и численный подходы [56–58]. В некоторых случаях гибридные техники позволяют существенно ускорить процедуру численного решениязадачи.
Кроме того, может быть применен метод приближенной факторизации [59, 60]. В[61] данная задача рассматривается в рамках модифицированной теории физической оптики. Аналитическая теория рассеяния на импедансном отрезке далека от завершения.Одним из основных методов диссертационного исследования является метод формулырасщепления.
Формула расщепления выражает решение исходной задачи через комбинациюрешений более простых – эталонных задач. Впервые формула расщепления для идеальнойполосы была получена в работе [6]. В работах [62–64] формула расщепления была получена для задачи дифракции поверхностных волн на периодически расположенных волнорезаходинаковой длины. Существенное развитие метода формулы расщепления в применении кдвумерным задачам дифракции на кусочно-плоских рассеивателях было достигнуто в работах [25, 50, 51, 65–74], собранных в [75].
Стоит отметить, что формула расщепления можетбыть использована для исследования некоторых трехмерных задач дифракции [76–78].Перейдем к рассмотрению работ, касающихся задач дифракции в открытых волноводах и открытых резонаторах. Простейшем примером задач этого класса является задачадифракции на торце плоского полубесконечного волновода. Точное решение этой задачи было получено в [9, 79, 80], с помощью скалярного метода Винера–Хопфа–Фока. Позже былисследован волновод круглого сечения [81–83] .
Другой, более простой с практической точкизрения подход используется в работе [84], посвященной плоскому резонатору Фабри–Перо. Вданной работе в рамках приближения Киргхофа была получена пара интегральных уравнений, которые впоследствии решались численно. В работах [85–87] проводится рассмотрениезадачи дифракции на торце плоского волновода в рамках равномерной асимптотической теории (UAT).
Кроме того, в рамках лучевого приближения были исследованы более сложныезадачи [88–91]. Схожая задача рассматривается в [92, 93], а именно рассматривается волновод с фланцами. С помощью решения из [9] строятся первые два члена асимптотическогоразложения. В [94] рассмотрен полубесконечный плоский волновод, закрытый резонатором.В [7] задача о плоском волноводе была решена в параболическом приближении с помощьюметода формулы расщепления. В [8] было показано, что задача дифракции на полубесконечном плоском волноводе может быть сведена к задаче распространения плоской волны вдольпериодически расположенных полубесконечных полностью поглощающих экранов. Также к23периодическим поглощающим структурам были сведены некоторые другие открытые резонаторы, в частности резонатор Фабри–Перо. В [2] рассматривается сложная периодическаярешетка из поглощающих экранов.Более сложной с математической точки зрения является задача дифракции на волноводе, состоящего из параллельных несимметричных неймановских стенок.
Данная задачаможет быть сведена к матричной задачи Винера–Хопфа– Фока, решение которой в общемслучае не известно. Приближенное решение матричной задачи построено в [95, 96], где матричная задача сводится к системе бесконечных линейных уравнений. В [97] данная задачаисследуется с помощью методов геометрической теории дифракции.24Глава 1Постановка задач дифракции на поперечных экранах(вайнштейновских задач) в параболическом приближении1.1.
Вводные замечания к главе 1В данной главе рассматриваются вопросы корректной математической постановки задач вайнштейновского класса, а именно задач дифракции высокочастотной волны на периодических дифракционных решетках, состоящих из полностью поглощающих экранов. Рассматривается простейшая периодическая структура, состоящая из полубесконечных поглощающих экранов, отстоящих друг от друга на одинаковое расстояние (см. Рис. 1.1). Показывается, каким образом к такой задаче приводит переформулировка классической задачиЛ. А.
Вайнштейна о дифракции на торце плоского волновода. Рассмотрение проводится двумя различными способами: с помощью параболического уравнения теории дифракции и спомощью интегралов Френеля. Эквивалентность этих подходов позволяет использовать интегралы Френеля для строгого доказательства теорем, а параболическое уравнение – дляпридания физической ясности результатам.C помощью метода отражений можно переформулировать задачу о дифракции на торце волновода в виде задачи отражения волны от бесконечной периодической дифракционной решетки, состоящей из точек ветвления разветвленной поверхности. Процедура переформулировки и постановки задачи на многолистной поверхности обсуждается в разделe1.2.2.
Формулировка задачи, связанная с дифракцией на решетке, представляется удобной,Рис. 1.1. Геометрия решетки. Вертикальными линиями обозначены поглощающие экраны25поскольку позволяет ввести краевые функции Грина. При рассмотрении высокочастотногослучая можно воспользоваться параболическим приближением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
