Диссертация (1103995), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Общий объем диссертации 149 страниц, включая 49 рисунков. Библиографиявключает 110 наименований на 7 страницах.Методы диссертационного исследования.Хорошо известно, что к задачам дифракции на идеальных объектах (на границах которых выполнены граничные условия Неймана или Дирихле) с относительно простой геометрией может быть применен метод отражений, и исходная задача может быть сведена к задаче дифракции на разветвленной поверхности. Впервые такой подход был применен А.
Зоммерфельдом к задаче дифракции наполуплоскости [12]. Ему удалось получить решение в замкнутом виде. Позже метод отражений применялся к задаче дифракции на отрезке [13], клине [14–17], а также к другимдвумерным задачам дифракции [18]. В главах 1 и 2 постановка задачи на разветвленнойповерхности является первым подготовительным шагом.12Перейдем к примерам. В качестве простейшего примера рассмотрим двумерную задачудифракции плоской волны на идеальном отрезке (см.
Рис. 0.1). Разрезая физическую плоскость вдоль отрезка и склеивая с отраженным относительно оси экземпляром, получимдвухлистную поверхность с двумя точками ветвления (см. Рис. 0.7). Цифрами обозначеныправила склейки листов (одноименные берега склеиваются друг с другом). Данная поверх√ность похожа по структуре на риманову поверхность функции 2 − 2 , = + , однаков данном случае все переменные действительны. Как и в случае римановых поверностей,разрезы разветвленных поверхностей можно непрерывно деформировать.
Например, другоепредставление той же двухлистной поверхности изображено на Рис. 0.8.Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на построенной поверхности. Пусть, дляопределенности, падающая волна существует только на первом листе. Обозначим решениеданной задачи (имеется ввиду задача для уравнения Гельмгольца) символом ˜(, ), а решение исходной задачи для граничных условий Дирихле и Неймана символами ˜ (, ) и˜ (, ) соответственно (постановка задач обсуждается в Главе 4).
Тогда, если известно решение ˜(, ), решение исходных задач может быть получено с помощью следующей формулы:˜, (, ) = ˜(, ) ± ˜(, −).(0.1)Верхний знак соответствует граничным условиям Неймана, нижний – Дирихле. В Приложении А строится решение данной задачи в параболическом приближении с помощью методаметода формулы расщепления.В качестве другого характерного примера рассмотрим задачу дифракции на торце полубесконечного волновода, изображенного на Рис. 0.9. Применим метод отражений. Разрежемволновод вдоль стенок, многократно отразим и склеим полученные поверхности.
Продолжаяданную процедуру, получим бесконечнолистную поверхность, изображенную на Рис. 0.10.Отметим, что число точек ветвления также бесконечно. Другое эквивалентное представление данной поверхности, которое может быть получено непрерывной деформацией разрезов,изображено на Рис. 0.11. Формальное доказательство эквивалентности этих поверхностейприводится в Приложении Б. Данная задача рассматривается в Главе 1.
В Главе 2 рассматривается полубесконечный волновод со стенками разной высоты, разветвленная поверхностькоторого близка по структуре к поверхностям, изображенным на Рис. 0.10 и 0.11.Наконец, приведем пример конечнолистной поверхности с бесконечным количествомточек ветвления. Рассмотрим плоский волновод с поперечной стенкой (Рис. 0.12).
Применяя метод отражений к стенкам волновода, получим задачу дифракции на дифракционнойрешетке, состоящей из периодически расположенных отрезков одинаковой длины. Теперь,13Лист 112Лист 221Рис. 0.7. Схема двухлистной поверхностиЛист 11 23 4Лист 22 14 3Рис. 0.8. Альтернативное представление двухлистной поверхности14Рис.
0.9. Геометрия полубесконечного волноводаОтраженный листФизический лист 0)Отраженный листРис. 0.10. Схема многолистной поверхности15основной лист(-1)(0)(1)вспомогательные листыРис. 0.11. Альтернативное представление многолистной поверхностиприменяя метод отражений к отрезкам, получим задачу дифракции на двухлистной поверхности с бесконечным количеством точек ветвления (Рис. 0.13).В диссертации используется метод параболического уравнения. Впервые параболическое уравнение для исследования задач дифракции было предложено М. А.
Леонтовичеми В. А. Фоком [19–23], а в применении к волноводным задачам данный метод был развитЛ. А. Вайнштейном [24]. Во всех главах настоящей работы, кроме Главы 4, исследование производится в параболическом приближении. К сожалению, математически строгая постановказадач в параболическом приближении весьма затруднительна, и соответствующая теория параболического уравнения до сих пор не развита. Автор данного исследования не ставит передсобой цели вести изложение на математическом уровне строгости, напротив, придерживается уровня строгости физического. Остановимся на свойствах параболического уравнения.
Вданной работе используется следующее основное свойство. Будем рассматривать параболическое уравнение теории дифракции(︂)︂220 = 0.+ 2(0.2)В данной работе считается, что в любой полосе ′ < < ′′ без препятствий и точек ветвленияполе описывается интегральной формулой∞Z(′ , ′ )( − ′ , − ′ ) ′ ,(, ) =(0.3)−∞где (, ) – функция Грина параболического уравнения:√︂{︂}︂00 2(, ) =exp.22(0.4)16Рис. 0.12. Геометрия волновода с поперечной стенкойЛист 113572468Лист 221436587Рис. 0.13. Схема двухлистной поверхности с бесконечным количеством точек ветвления17Лист 1Лист 2Рис. 0.14. Области определения полей 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6В задачах на разветвленных поверхностях поверхность делится на полосы, в которых справедлива формула (0.3).
Границами таких полос являются разрезы, поле на которых продолжается по непрерывности. Например, на поверхности, изображенной на Рис. 0.8, можновыделить шесть таких полос. Введем в каждой полосе поля 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , как показанона Рис. 0.14. Таким образом, продолжая на разрезах поле по непрерывности, получим, чтополе 2 связано с полями 1 и 4 следующей формулой:∞ZZ01 (−, ′ )( + , − ′ ) ′ +2 (, ) =4 (−, ′ )( + , − ′ ) ′ ,(0.5)1 (−, ′ )( + , − ′ ) ′ .(0.6)−∞0а поле 5 формулой:∞ZZ0′5 (, ) =′′4 (−, )( + , − ) +0−∞Легко видеть, что полученное таким образом поле является кусочно-гладким на разветвленной поверхности.
Подробно вопросы применимости параболического приближения обсуждаются в Главе 1.Рассмотрим задачу для параболического уравнения на поверхности, изображенной наРис. 0.11. Будем считать, что падающая волна существует только на одном листе. Тогда полена правых берегах разрезов равно нулю по непрерывности (на вспомогательных листах поле18на левых берегах разрезов равно нулю), т.
е. разрезы на основном листе ведут себя как полностью поглощающие экраны. Именно в таком смысле в данном исследовании понимаютсяполностью поглощающие экраны. Постановка задачи на системе полностью поглощающихэкранах позволяет исключить анализ поля на вспомогательных листах.После постановки задачи на разветвленной поверхности и перехода к параболическомуприближению следующим подготовительным шагом является введение краевых функцийГрина (КФГ). Краевые функции Грина являются удобным инструментом теории дифракции,см. например [25]. Будем вводить КФГ (, ) следующим образом.
В области без препятствийполе КФГ равно полю функции Грина параболического уравнения (0.4), а после разрезовполе продолжается по формулам, аналогичным формулам (0.5) и (0.6). Поясним на примереповерхности, изображенной на Рис. 0.8. Пусть на листе 1 в точке (−, 0), находится источникамплитуды 1, а на втором листе в точке с теми же координатами – амплитуды −1 (всегдасчитается, что источники находятся чуть правее точки ветвления). Аналогично Рис. 0.13введем функцию Грина в полосах 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Тогда имеем:1 (, ) = 0,2 (, ) = ( + , ),4 (, ) = 0,(0.7)5 (, ) = −( + , )(0.8)∞ZZ0(2, ′ )( − , − ′ ) ′ −3 (, ) =(2, ′ )( − , − ′ ) ′ ,∞0Z0∞Z′6 (, ) =′′(2, ′ )( − , − ′ ) ′ .(2, )( − , − ) −−∞(0.9)(0.10)0Следующим шагом является введение диаграммы направленности краевой функцииГрина.
Существует два способа: естественный и интегральный. Естественный способ заключается в проведении прямой аналогии с классическим определением диаграммы направленности:(, ) = ()(, ) + ((0 )−1/2 ).(0.11)Здесь () – диаграмма направленности. К сожалению, такое определение трудно обосновать в задачах дифракции на многолистных поверхностях с бесконечным количеством точекветвления (см. Рис. 0.11 и 0.13). В этом случае в качестве определения берется интегральное соотношение, полученное с помощью теоремы Грина для параболического уравнения.Это соотношение связывает диаграмму направленности поля с интегралом от поля по поверхности «рассеивателя» (в данном случае роль «рассеивателей» выполняют разрезы разветвленной поверхности).
Формулировка теоремы Грина для параболического уравнения и19вывод интегрального соотношения для разветвленных поверхностей, подобных поверхности,изображенной на Рис. 0.11, приводится в Приложении В.Заключительным подготовительным шагом является вывод формулы расщепления, выражающей решение задачи для падающей плоской волны через решение задач для краевыхфункций Грина. Формула расщепления также является широко используемым инструментом в теории дифракции, так как зачастую задачи для краевых функций Грина проще, чемисходные [26].
Вывод формулы расщепления проводится в два шага. Во-первых, к полномуполю применяется оператор расщепления:(︂)︂in=.+ 0 (0.12)Отметим, что в задаче для параболического уравнения с падающей плоской волной полноеполе может быть представлено в следующем виде: = sc + in ,(0.13){︀}︀in = exp −0 (in )2 /2 − 0 in(0.14)где– падающая волна, а sc – рассеянное поле. Легко видеть, что оператор [] уничтожаетпадающую волну. Кроме того, оператор [] является оператором симметрии параболического уравнения. То есть [](, ) также является решением. Однако при дифференцировании исходного поля по в точках ветвления (напомним, что в этих точках поле являетсяразрывным) появляются точечные источники.
С помощью теоремы единственности (доказательство теоремы единственности для параболического уравнения приведено в Главе 1) поле[](, ) представляется в виде линейной комбинации функций Грина с некоторыми коэффициентами. Во-вторых, эти коэффициенты вычисляются с помощью теоремы взаимности.Посредством представления (0.11) осуществляется переход от полей к диаграммам направленности. Приведем здесь формулу расщепления для задачи дифракции на разветвленнойповерхности, изображенной на Рис. 0.8:(, in ) =exp{0 (in )2 /2} () + exp{0 2 /2} (in ),0 ( + in )(0.15)где введена диаграмма направленности рассеяного поля sc по формуле:sc (, ) = (, in )(, ) + ((0 )−1/2 ),(0.16)а () – диаграмма направленности краевой функции Грина (, ) (см. (0.11)).
Таким образом, как и было отмечено выше, формула расщепления (0.15) связывает решение исходной20задачи (задачи с падающей плоской волной) и решение задачи для краевой функции Грина.Фактически, формулы (0.15), (0.7-0.10) и (0.1) дают решение задачи дифракции на идеальнойполосе в параболическом приближении.После того как сделаны все подготовительные шаги и формула расщепления получена, остается решить задачи для краевых функций Грина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
