Диссертация (1103995), страница 21
Текст из файла (страница 21)
→∞(′ , ′ ) () = lim′(В.9)Полное поле для падающей плоской волны может (по крайней мере в некоторой области,содержащей начало координат) быть представлено как предельный случай функции Гринас удаленным источником:(, ; −′ , ′ in ). →∞(′ , −′ in )(, ) = lim′Таким образом,( , ; −′ , ′ in ). →∞(′ , −′ in )( − 0, ) = lim′(В.10)(В.11)Заметим, что функция(, ) = (−, ; −′′ , ′′ ),(В.12)рассматриваемая как функция переменных , , удовлетворяет второму уравнению (1.46) cправой частьюℎ(, ) = ( − ′′ )( − ′′ )(В.13)и удовлетворяет граничным условиям = 0, заданным на левых сторонах экранов = , < . Применем теорему 1.1 (Грина) к функциям (, ; ′ , ′ ) и (−, ; −′′ , ′′ ). Вкачестве Ω возьмем область, изображенную на Рис. В.1.
Интеграл вдоль экранов обращаетсяв нуль в силу граничных условий. Интегралы по удаленным участкам обращаются в нуль всилу условий излучения. Таким образом,(′′ , ′′ ; ′ , ′ ) = (−′ , ′ ; −′′ , ′′ ).(В.14)138Последнее равенство есть теорема взаимности. Из (В.14) следует, что( , ; −′ , ′ ) = (′ , ′ ).(В.15)Подставляя данное равенство в (В.9) и (В.11) и рассматривая предел ′ → ∞, получим (В.7).139Приложение ГМетод граничных интегральных уравненийАнтисимметричный случай. Для проверки результатов решения задачи о дифракции на импедансном отрезке, полученных в Главе 4, использовалось решение, полученноеметодом граничных интегральных уравнений.Представим рассеяное поле в виде суммы симметричной и антисимметричной части(см.
(4.44)). Стандартным способом, описанным, например, в [109, 110], с помощью метода двойного потенциала, в симметричном случае можно получить следующее интегральноеуравнение:(︂2+ 022)︂ Z1( − ′ , 0)(′ )′ + () = 0 sin exp{0 cos },2(Г.1)−где (1) √︀(, ) = − 0 (0 2 + 2 ),4(1)0 () – функция Ханкеля первого рода, – потенциал двойного слоя:Z (, ) = −( − ′ , )(′ )′ ,(Г.2)−a – антисимметричная часть рассеяного поля sc . На полосе связано с a (, ) следующимвыражением:1a (, +0) = − (),2− < < .Антисимметричная часть диаграммы направленности вычисляется с помощью˜ ) = sin ˜ (,aZ˜a (, +0)−0 cos .in(Г.3)−Интегральное уравнение (Г.1) дискретизуется и решается с помощью стандартных численных схем, например, с помощью метода граничных элементов.Симметричный случай.
В симметричном случае с помощью метода простого потенциала можно получить следующее уравнение:1() − 2Z( − ′ , 0)(′ )′ = exp{0 cos },(Г.4)−где - потенциал простого слоя:Z( − ′ , )(′ )′ . (, ) =−(Г.5)140Здесь s – симметричная часть рассеяного поля sc . Нормальная производная симметричнойчасти рассеяного поля связана с () следующим выражением:s1(, +0) = (),2− < < .Симметричная часть диаграммы направленности рассеяного поля вычисляется с помощью˜ ) = (0 ) (,sinZ−1−s˜(, +0)−0 cos .(Г.6)141Приложение ДУсловия излучения для параболического уравненияСформулируем условия излучения в виде принципа предельного поглощения. Сделаемтри допущения:∙ Величина 0 имеет малую положительную мнимую часть: 0 = 0′ + 0′′ .∙ Величина (константа Флоке) по модулю равна единице, т. е. in имеет малую отрицательную мнимую часть: in = ′ − ′′ , причем Im[0 (in )2 ] = 0.∙ Соотношение (1.12) выполняется для действительных частей 0 и in .При этих условиях продолжение падающей волны в нижнюю полуплоскость экспоненциально убывает.
В качестве условий излучения потребуем, чтобы рассеянное поле такжеэкспоненциально убывало при удалении от линии = 0. Для действительного 0 решениеопределяется как предел семейства решений при 0′′ → 0. Третье допущение означает, чтоусловие (1.12) не выполняется в течение всей предельной процедуры, а выполняется тольков пределе.142Приложение ЕИндекс задачи Римана—ГильбертаДокажем формулу (4.133).
Очевидно, чтоIdx = Arg[()]|∞0 ,(Е.1)где Arg[·] возвращает значение аргумента. Введем√︁1 () = 02 − (0 + )2 + ,(Е.2)√︁02 − (0 + )2 − .(Е.3)2 () = Предыдущее выражение переписывается в виде∞Idx = Arg[1 ()]|∞0 − Arg[2 ()]|0 .(Е.4)Рассмотрим только случай Re[] > 0 для которого не требуется деформация контура . Однако, в соответствии с правилами аналитического продолжения, результат будет справедливендля всех значений параметра .Рис.
Е.1. Контура 1,2 () при ∈ Легко заметить (см. Рис. Е.1), что аргумент 1,2 () изменяется от Arg[±] до /2 при изменяющимся от 0 до ∞ вдоль . ПоэтомуIdx = (/2 − Arg[]) − (/2 − Arg[−]) = (Arg[−] − []) = .(Е.5)143Список литературы1. Shanin A. V. An ODE-based approach to some Riemann–Hilbert problems motivated bywave diffraction // arXiv:1210.1964. 2012.2.
Шанин А. В. Дифракция высокочастотной волны на решетке со сложным периодом прискользящем падении // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2012. Т. 409. С. 212–239.3. Keller J. The geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am. 1962. Vol. 52. P. 116–130.4. Уфимцев П. Я. Метод Краевых волн в физической теории дифракции.
М.: Сов. Радио,1962. С. 244.5. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.: Наука, 1966.С. 456.6. Williams M. H. Difraction by a finite strip // Q. J. Mech. Appl. Math. 1982. Vol. 35.P. 103–124.7. Shanin A. V. Weinstein’s difraction problem: embedding formula and spectral equation inparabolic approximation // SIAM J. Appl. Math. 2009. Vol. 70. P. 1201–1218.8. Shabalina E. D., Shirgina N. V., Shanin A. V. High frequency modes in a two dimensionalrectangular room with windows // Acoust.
Phys. 2010. Vol. 56. P. 525 – 536.9. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966.С. 488.10. Ищенко Е. Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980.11. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990. С. 264.12. Зоммерфельд А.
Оптика. М.: Ин. лит., 1953.13. Luneburg E. The Sommerfeld problem: methods, generalizations and frustrations. Proceedings of the Sommerfeld’96 Workshop Freudenstadt 30 September – 4 october 1996, 1997.14. Малюжинец Г. Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн от клинас произвольными поверхностными импедансами // ДАН СССР. 1958.
Т. 3. С. 752–755.15. Бабич В. М., Лялинов М. А., Грикуров В. Э. Метод Зоммерфельда-Малюжинца в задачах дифракции. С.Пб.: ВВМ, 2004. С. 103.16. Osipov A. V., Norris A. N. The Malushinets theory for scattering from wedge boundaries: areview // Wave Motion. 1999. Vol. 29. P. 313–340.17. Norris A. N., Osipov A. V. Far-field analysis of the Malyushinets solution for plane andsurface wave diffraction by an impedance wedge // Wave Motion. 1999. Vol.
30. P. 69–89.18. Hannay J. H., Thain A. Exact scattering theory for any straight reflectors in two dimensions // J. Phys. A. 2003. Vol. 36. P. 4063–4080.14419. Леонтович М. А. Об одном методе решения задач распространения радиоволн по поверхности земли. // Изв.
АН СССР, сер. физ. 1944. Т. 8, № 1. С. 16–22.20. Фок В. А. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности // ЖЭТФ. 1945. Т. 15,№ 9. С. 479–495.21. Леонтович М. А., Фок В. А. Исследования по распространению радиоволн // ЖЭТФ.1946. Т. 16, № 7. С.
557–573.22. Фок В. А. Поле от вертикального и горизонтального диполя, приподнятого над поверхностью земли // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 916–924.23. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространение электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970. С. 519.24. Вайнштейн Л. А.
Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.25. Shanin A. V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips // Q. J. Mech. Appl. Math.2003. Vol. 56. P. 187–215.26. Linton C. M., Mciver P. Handbook of mathematical techniques for wave/Structure interactions.
Chapman & Hall/CRC, 2001.27. Sieger B. Die Beugung einer eletrischen Welle an einem Schirm von elliptischem Quershnitt //Ann. Phys. 1908. Vol. 27. P. 626–664.28. Morse P. M., Rubenstein P. J. The diffraction of waves by ribbons and by slits // Phys. Rev.1938. Vol. 54. P. 895–898.29. Felsen L. B.
Alternative field representations in regions bounded by spheres, cones, andplanes // IEEE Trans. Antennas. Propag. 1957. Vol. 5. P. 109–121.30. Felsen L. B. Plane-wave scattering by small-angle cones // IEEE Trans. Antennas. Propag.1957. Vol. 5. P. 121–129.31. Попов А. В. Метод поперечной диффузии в задаче о дифракции звука на ленте //Акуст.
журн. 1973. Т. 19. С. 594–600.32. Schwarzschild. Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt. I // Math. Ann.1902. Vol. 55. P. 177–247.33. Karp S. N., Russek A. Diffraction by a wide slit // J. Appl. Phys. 1956. Vol.
27. P. 886–894.34. Clemmow P. C. Edge currents in diffraction theory // IEEE Trans. Antennas. Propag. 1956.Vol. 4. P. 282–287.35. Millar R. F. Diffraction by a wide slit and complementary strip. I // Proc. Camb. Philos.Soc. 1958. Vol. 54. P. 479–496.36. Millar R. F. Diffraction by a wide slit and complementary strip. II // Proc. Camb. Philos.Soc. 1958. Vol. 54.
P. 497–511.14537. Braunbek W. Neue Näherungsmethode für die Beugung am ebenen Schirm // Zeit. Phys.1950. Bd. 127. S. 381–390.38. Хаскинд М. Д., Вайнштейн Л. А. Дифракция плоской волны на щели и ленте // Радиотехника и электроника. 1964. Т. 11. С. 178–186.39. Karp S. N., Keller J. Multiple diffraction by an aperture in a hard screen // Optica Acta.1961.
Vol. 8. P. 61–72.40. Keller J. Rays, waves and asymptotics // Bull. of Am. Math. Soc. 1978. Vol. 84. P. 727–750.41. Tiberio R., Kouyoumjian R. G. A uniform GTD solution for the diffraction by strips illuminated at grazing incidence // Radio Sci. 1979. Vol. 14. P. 933–941.42. Michaeli A. A closed form physical theory of diffraction solution for electromagnetic scatteringby strips and 90 dihedrals // Radio Sci. 1984.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
