Диссертация (1103995), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Кроме того, численные результатысравнивались с решением задачи, полученным методом граничных интегральных уравнений(с.м. Приложение Г). На Рис. 4.14 сплошная линия соответствует методу граничных инте­гральных уравнений, прерывистая – методу ОE—уравнения.87654321000.511.522.533.5Рис. 4.14. Зависимость 0 | (, /6)| от для 0 = 8 и = 1 − 0.25.

Сплошная линия соответствуетметоду граничных интегральных уравнений, прерывистая – методу ОE—уравнения.1221.81.61.41.210.80.60.40.2000.511.522.533.5Рис. 4.15. Зависимость 0 | (, /6)| от при 0 = 8 и = 1 − 0.25. Сплошная линия соответствуетметоду граничных интегральных уравнений, прерывистая – методу ОE—уравнения.4.17.1. Симметричный случайДля того, чтобы получить решение в симметричном случае необходимо проделать ана­логичные вычисления. Поэтому здесь приводятся лишь конечные результаты. На Рис.

4.15.изображена зависимость 0 | (, /6)| от при 0 = 8 и = 1 − 0.25. Сплошная линиясоответствует методу граничных интегральных уравнений, прерывистая – методу ОE—урав­нения.4.18. Основные результаты главы1. Получено выражение в одиночных квадратурах для диаграммы направленности рас­сеяного поля для задачи дифракции высокочастотной плоской волны на импедансномотрезке при скользящем падении в параболическом приближении.2.

Доказана оптическая теорема для задачи дифракции на импедансном отрезке в пара­болическом приближении.3. Для задачи дифракции на импедансном отрезке была сформулирована функциональ­ная задача Винера—Хопфа—Фока, зависящая от двух параметров.1234. Была получена формула расщепления, сводящая исходную функциональную задачу кдвум вспомогательным функциональным задачам, зависящим от одного параметра.5. Вспомогательные функциональные задачи были заменены матричной задачей Рима­на—Гильберта, которая была погружена в однопараметрическое семейство.6. Было показано, что семейство задач удовлетворяет обыкновенному дифференциально­му матричному уравнению с неизвестным коэффициентом.

Для неизвестного коэффи­циента было сформулировано ОЕ—уравнение.7. Был построен численный метод решения ОЕ—уравнения. Было произведено сравнениечисленных результатов с методом граничных интегральных уравнений.124ЗаключениеКратко сформулируем основные результаты работы.1. В рамках метода формулы расщепления, спектрального и эволюционного уравнений бы­ли исследованы периодические решетки, состоящие из полностью поглощающих экра­нов. Было получено асимптотическое значение коэффициента генерации основного ди­фракционного максимума, отвечающее за добротность плоских открытых резонато­ров типа Фабри–Перо.

Кроме того, была установлена связь с матричной задачей Ви­нера–Хопфа–Фока. В рамках метода OE–уравнения был построен численный алгоритмдля расчета всех коэффициентов генерации дифракционных максимумов.2. Получено аналитическое выражение в одиночных квадратурах для диаграммы направ­ленности рассеяного поля в задаче дифракции плоской высокочастотной волны на им­педансном отрезке при скользящем падении. Выражение было получено с помощью ме­тода параболического уравнения.

Численные проверки показали, что параболическоеприближение дает хорошие результаты и на границе его применимости.3. Предложен новый подход к задаче дифракции на импедансной полосе в точной поста­новке (для уравнения Гельмгольца). Основу подхода составляет метод формулы рас­щепления и OE–уравнения. В рамках данного подхода был предложен новый числен­ный алгоритм решения задачи.125Список сокращений и условных обозначенийГТД – геометрическая теория дифракции, сокращение введено на странице 6ФТД – физическая теория дифракции, сокращение введено на странице 6in – угол падения, введен на странице 6, на Рис. 0.1˜ – угол рассеяния, tan ˜ = , введен на странице 6, на Рис.

0.1˜ – волновое поле в случае уравнения Гельмгольца, введено на странице 12 – волновое поле в случае параболического уравнения, введено на странице 15 – мнимая единица, впервые используется на странице 150 – волновое число, впервые используется на странице 15(, ) – краевая функции Грина (КФГ), введена на странице 18 () – диаграмма направленности КФГ, введена на странице 18(, ) – функция Грина параболического уравнения на плоскости, введена на страни­це 15 – угол рассеяния в параболическом приближении, = , введен на странице 18 – оператор расщепления, введен на странице 19in – падающее поле в случае параболического уравнения, введено на странице 19sc – рассеяное поле в случае параболического уравнения, введено на странице 19(, in ) – диаграмма направленности рассеяного поля в параболическом приближении,введена на странице 19˜in – падающее поле в случае уравнения Гельмгольца, введено на странице 25˜sc – рассеяное поле в случае уравнения Гельмгольца, введено на странице 26˜ – коэффициенты генерации дифракционных максимумов (коэффициенты рассеянияв волноводные моды) в случае уравнения Гельмгольца, введены на странице 26˜ – углы, соответствующие дифракционным максимумам в случае уравнения Гельм­гольца, введены на странице 26 – коэффициенты генерации дифракционных максимумов (коэффициенты рассеянияв волноводные моды) в случае параболического уравнения, введены на странице 290 - коэффициент генерации основного дифракционного максимума (коэффициент зер­кального отражения) в случае параболического уравнения, введен на странице 29 – углы, соответствующие дифракционным максимумам в параболическом приближе­нии, введены на странице 29 – константа Флоке, введена на странице 30(, ) – функция Грина уравнения Гельмгольца на плоскости, введена на странице 31126Π++ , Π+− , Π−+ , Π−− – операторы распространения для параболического уравнения, вве­дены на странице 32Θ() – тета-функция Хевисайда, введена на странице 38() – дельта-функция Дирака, впервые используется на странице 40, – символ Кронекера, впервые используется на странице 42( , ) – координаты вершин экранов, впервые введены на странице 49 (, ) – КФГ в задачах дифракции на периодических экранах разной высоты, введенына странице 50 () – диаграммы направленности КФГ в задачах дифракции на периодических экра­нах разной высоты, введены на странице 51, – краевые значения КФГ, введены на странице 52C(, * ) – матрица коэффициентов спектрального уравнения, введена на странице 54 – оператор параболического поворота, введен на странице 55OEℎ – правый ОЕ—символ по контуру ℎ, введен на странице 57OEℎ – левый ОЕ—символ по контуру ℎ, введен на странице 57D̃(, * ) – матрица коэффициентов эволюционного уравнения 1 типа, введена на стра­нице 58⎛Ξ – постоянная матрица, равная ⎝0 0⎞⎠ , введена на странице 610 1[·, ·] – коммутатор, [A, B] = AB − BA, введен на странице 61R∞2erfc() – дополнительная функция ошибок, erfc() = √2 − , введена на страни­це 63I – единичная матрица, введена на странице 63 – переменная Фурье-преобразования, впервые используется на странице 73res[ (), = 0 ] – вычет комплексной функции () в точке = 0 , введен на странице 76 – импеданс, введен на странице 82˜ in ) – диаграмма направленности рассеяного поля в случае уравнения Гельмгольца,˜ ,(введена на странице 82·* – оператор, переставляющий сначала строки, а затем столбцы матрицы, введен настранице 113127Приложение АФормула расщепления для задачи дифракции наидеальной полосеФормула (4.42) была выведена с помощью прямого решения параболического уравненияи упрощения результата интегрированием по частям.

Между тем, (4.42) является частнымслучаем т.н. «формул расщепления», справедливых для широкого класса задач с кусочно­прямолинейными границами [67]. Смысл формул расщепления состоит в том, что вместопадающей плоской волны рассматривается точечный источник, расположенный вблизи од­ной из угловых точек рассеивателя. Поля таких источников называются краевыми функци­ями Грина. Формула расщепления выражает решение задачи с падающей плоской волнойчерез краевые функции Грина. Поскольку в данном случае краевые функции Грина вычис­ляются явно, формула расщепления дает решение исходной задачи. Формула расщепленияимеет самый простой вид и легче всего выводится, если рассмотрение проводится на разветв­ленной (двулистной) поверхности. Следуя идеям Зоммерфельда, рассмотрим двухлистнуюповерхность, изображенную на Рис. А.1.

Поверхность разрезана вдоль полосы, а индексы 1и 2 указывают правило склейки берегов разрезов (склеиваются одноименные берега). Пада­ющая волна (4.2) падает только по первому листу. Введем диаграммы направленности для^ in ) и (, in ). Из соображений симметрии следует,первого и второго листа (, in ) = (,что^ in ). (, in ) = −(,(А.1)Для доказательства (А.1) достаточно в дополнение к исходной задаче рассмотреть симмет­ричную задачу с падающей волной на втором листе и учесть тот факт, что их сумма триви­альна. Очевидно, что^ in ) ∓ (−,^ , = (, in ) ± (−, in ) = (,in ).(А.2)Верхний знак соответствует полосе с граничными условиями Неймана, а нижний – Дирихле.^ in ).Таким образом, нужно определить (,Отметим, что формула симметризации (А.2) совпадает с (4.41), поэтому функция ^,введенная как ^ = , должна совпадать с функцией , введенной в (4.42).

В приложениивезде используется определение ^ = , и новый символ для той же функции не вводится.Кроме представления для двулистной поверхности, изображенного на Рис. А.1, нампонадобится еще одно представление. Деформируем разрезы так, как показано на Рис. А.2.128Лист 112Лист 221Рис. А.1. Структура двухлистной поверхностиПродолжая такую деформацию, получим представление, изображенное на Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации