Диссертация (1103995), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. чтобы получить r* необходимо переставить сначала строки, а потом столбцы матрицы r.Доказательство Построим коэффициент ODE1 следующим образом:R(, ) ≡^ ) U(,^ −1 (, ).U(4.140)Рассмотрим эту комбинацию для фиксированного как функцию . Из постановки Задачи 9следует, что R(, ) не имеет особенностей на всей комплексной плоскости , разрезанной′вдоль контуров 1,2(). Более того, так как функции Ḿ1,2 не зависят от , значения R на′левых и правых берегах разрезов 1,2() равны:(︃)︃(︃)︃(︁)︁^ )^ ) U(,U(,^ −1 (, )^ −1 (, ) =U=U^ )) Ḿ ()(U(,^ −1 (, )) =Ḿ ()−1 (U(︃^ ) U(,)︃^ −1 (, )) .(U114Таким образом, функция R является однозначной на комплексной плоскости , и может′иметь особенности только в концевых точках контуров 1,2(), т. е.
в точках = ±(0 + ).Рассмотрим малую область вблизи = 0 + . Для того, чтобы изучить поведение R в этойточке, воспользуемся представлением (4.129), и подставим его в (4.140). Получим:⎛⎞1 0R −1log(1 ())⎠ H−1 T−1 .R(, ) =T −TH ⎝2( − ( + 0 ))0 1(4.141)Первый член не содержит особенностей по переменной , т. е.
коэффициент R может иметьтолько простой полюс в точке = 0 +. Обозначим вычет функции R(, ) в точке = 0 +как r().Аналогично можно провести рассмотрение вблизи точки = −0 − . Учтем геометрическую симметрию задачи, а именно симметрию → −. Данное преобразование изменяетматрицу решений следующим образом:⎞⎞ ⎛⎛^+2 (−) ^−2 (−)^−1 () ^+1 ()⎠.⎠=⎝⎝1122^^^^+ (−) − (−)− () + ()(4.142)Отсюда следует, что коэффициент R(, ) имеет форму (4.139).
4.16.2. ODE1 для симметричного случаяПо аналогии с антисимметричным случаем можно доказать следующее утверждение.Утверждение 4.2. Функция V(, ), являющаяся решением семейства функциональныхзадач, поставленных в Задаче 10, удовлетворяет уравнениюV(, ) = L(, ) V(, ),с коэффициентомL(, ) = ∈ ,(4.143)l()l* ()−, − (0 + ) + (0 + )(4.144)где l(), ∈ – не зависящая от матричная функция размерности 2 × 2;4.16.3. Начальное условие для ODE1Утверждение 4.3. Начальные условия для ODE1 (4.138) и (4.143) имеют следующий вид:^ ) = lim V(, ) = Π(),lim U(,→∞→∞⎛Π() = ⎝exp{−}00exp{}⎞⎠.(4.145)115Доказательство Рассмотрим антисимметричный случай, т. е.
рассмотрим Задачу 9 принекотором большом положительном мнимом . Сведем Функциональную задачу к системеинтегральных уравнений [107]. Введем матрицу⎛⎞ ⎛⎞11−+^−1 ^+1⎝⎠=⎝⎠ Π−1 ()22−+^−2 ^+2(4.146)() ∈ 2′ (), такие чтоДалее введем функции +() ∈ 1′ () и −Z−()= ,1 +2′ ()Z+()= ,2 +1′ ()−( ),−(4.147)+( ).−(4.148)′() идут от ∓∞ to ∓(0 + ). Заметим, что при ∈ 2′ ()Предполагается, что контура 1,2Z(−()),= ,1 ±−()+2′ ()−( ),−(4.149)где интеграл понимается в смысле главного значения.В соответствии с функциональным уравнением (4.106), справедливо следующее уравнение:−2−() = 2 ´ 2,1 ()+()+⎛⎞Z− ( )⎜⎟(´ 1,1 () − 1) ⎝+ −() + 1, ⎠ ,− ∈ 2′ ()(4.150)2′ ()Пользуясь геометрической симметрией, имеемZ3−−( )+ () = ,2 +,+ ∈ 2′ .(4.151)2′ ()Здесь ´ 1,1 и ´ 2,1 – соответствующие элементы матрицы Ḿ2 . Легко видеть, что для большихIm[], ∈ 2′ (), значения (´ 1,1 () − 1) близки к 0 (по этой причине была сделана замена U^ ).
Кроме того, при тех же самых условиях 2 на U´ 2,1 () близко к нулю.Если Im[] достаточно велико, система (4.150) может быть решена с помощью методаможетитераций. При больших Im[] следует сохранять только нулевое приближение, т.е. ±быть положено равным нулю. Отсюда следует (4.145).В симметричном случае доказательство строится аналогичным образом. 1164.16.4.
Вывод OE—уравнения в антисимметричном случаеНиже формулируется левое ОЕ—уравнение для задачи дифракции на импедансной полосе (понятие упорядоченной экспоненты вводится в Главе 2, разделе 2.6). В соответствии сУтверждениями 4.1 и 4.3, решение Задачи 8 может быть записано как[︂ (︂)︂]︂r()r* ()^U() = OE −Π(), − (0 + ) + (0 + )(4.152)Напомним, что контур идет от ∞ до 0.Детальное исследование, основанное на аналитическом продолжении матриц Ḿ1,2 (см.[108]), показывает, что коэффициент R аналитичен по переменной в некоторой малой полосевблизи контура . Таким образом, контур может быть немного деформирован без изменениярезультата, что обеспечивается неподвижностью концевых точек контура.Построим контура + и − как показано на Рис.
4.11. Эти контура нужны для вычис^ () и U^ (), ∈ ′ . А именно,ления значений U2^ () = OE [ R(, ) ] Π(),U+(4.153)(︀)︀^ () = OE [ R(, ) ] −1 Π().U−(4.154)Im[b]0Re[b]Рис. 4.11. Контура + и − . Для простоты изображен случай Re[] > 0, т. е. разрезы 1,2 остаютсянедеформированнымиВведем контур + + − как объединение контуров + и − (+ в начале). Из функционального уравнения (4.126) следует следующее соотношение:[︂ (︂)︂]︂r()r* ()−1Π () OE+ +− −Π() = Ḿ2 (). − (0 + ) + (0 + )(4.155)Уравнение (4.155) есть OE—уравнение рассматриваемой задачи.
По симметрии будет такжевыполняться уравнение (4.125).117Сформулируем задачу для ОЕ—уравнения, к которому свелась антисимметричная задача дифракции на полосе.Задача 11. Найти функцию r() при ∈ , аналитичную в узкой полосе вблизи , такуючто уравнение (4.155) выполняется для всех ∈ 2′ .4.16.5. ОЕ—уравнение в симметричном случаеВ симметричном случае следует решать следующую задачу.Задача 12. Найти функцию l(), аналитичную в узкой полосе вблизи , такую чтоΠ−1() OE+ +−[︂(︂l()l* ()− − (0 + ) + (0 + ))︂]︂Π() = N2 ()(4.156)выполняется для всех ∈ 2′ .4.17. Численное решение OE—уравненийДля решения исходной задачи дифракции с помощью метода ОЕ—уравнения необходимо проделать следующие шаги:— Контур (см.
Рис. 4.11) дискретизуется. Задача 11 решается численно (процедура решенияописана ниже). В результате коэффициент r() становится известен в наборе точек , плотнопокрывающих контур .— Выбираются точки в плоскости переменной . Хорошим выбором является набор точек , плотно покрывающий область (−0 , 0 ), так как такой набор позволяет построить диаграмму направленности. В этих точках вычисляются значения матрицы Ú( ) посредствомформулы (4.152), т.
е. путем решения линейного ОДУ с известными коэффициентами и начальными условиями.— С помощью формулы (4.120) вычисляется матрица U() в точках = .^0 () в точках = .— С помощью формул (4.64) и (4.65) вычисляются функции ^0 (, * ), функции ^0 () подставляются в формулу— Для того чтобы вычислить функцию расщепления (4.103).— Диаграмма направленности вычисляется с помощью формулы (4.70) в точках = arccos(− /Легко видеть, что все шаги описанной процедуры просты за исключением самого первого.
Для численного решения Задачи 11 используется техника, развитая в [1].118Из линейной алгебры известно, что матрица Ḿ2 () может быть представлена в следующей форме:⎛M2 () = H() ⎝1 ( − 0 ) 001⎞⎠ H−1 (),(4.157)где 1 (), H() были введены соответственно в (4.130) и (4.131).Левая часть (4.155) может быть переписана в виде:[︂ (︂)︂]︂r* ()r()OE+ ∘− − − (0 + ) + (0 + )[︂ (︂)︂]︂r()r* ()= F()OE −F−1 (), − (0 + ) + (0 + )(4.158)где – петля малого радиуса , обходящая точку − 0 в положительном направлении, и)︂]︂[︂ (︂r* ()r()−.(4.159)F() = OE+ − (0 + ) + (0 + )Здесь +– контур, идущий от ∞ до начала петли , вдоль контура + (см. Рис.
4.12).Представим r() в следующей формеIm[b]0Re[b] , , Рис. 4.12. Контура +−⎛r() = P() ⎝1 ()002 ()⎞(4.160)⎠ P−1 ().Столбцы матрицы P() суть собственные векторы матрицы r. Почти везде (за исключениемособых точек матрицы r) матрица P() может быть параметризована следующим образом:⎛⎞12 ()⎠.P() = ⎝(4.161)1 ()1Очевидно, что при → 0OE[︂(︂r()r* ()− − (0 + ) + (0 + ))︂]︂→119⎧⎛⎞⎫⎨⎬1 ( − 0 )0⎝⎠P( − 0 ) exp −2P−1 ( − 0 ).⎩⎭02 ( − 0 )(4.162)Из уравнения (4.162) следует, что собственные значения матрицы r() связаны с собственными значениями матрицы Ḿ2 ():1 ( − 0 ) =log(1 ( − 0 )),22 () = 0.(4.163)Таким образом, чтобы найти r достаточно определить 1 (), 2 ().Введем функцию, определенную в области , ∈ , || > | − 0 |:[︂ (︂)︂]︂r()r* ()K(, ) = OE, −, − (0 + ) + (0 + )(4.164)где контур , изображен на Рис.
4.13. Функция K(, ) удовлетворяет уравнениюIm[b]0Re[b]Рис. 4.13. Контур ,11K(, ) =[r(), K(, )] −[r* (), K(, )] , − (0 + ) + (0 + )где [·, ·] – коммутатор. Так как K сопряжено с)︂]︂[︂ (︂r* ()r()−,OE − (0 + ) + (0 + )их собственные значения совпадают, и K может быть записано в виде⎛⎞1 () 0⎠ Q−1 (, ),K(, ) = Q(, ) ⎝01где⎛Q(, ) = ⎝12 (, )1 (, )1(4.165)(4.166)(4.167)⎞⎠.(4.168)Устремляя → − 0 получим соотношение Q( − 0 , ) = P( − 0 ).
Отсюда1,2 ( − 0 , ) = 1,2 ( − 0 ).(4.169)120Устремляя → ∞ получим соотношение Q(∞, ) = H(), т.е1 (∞, ) = (),2 (∞, ) = 0,(4.170)где дается формулой (4.131).C помощью элементарных вычислений можно показать, что (4.165) эквивалентно системе двух независимых уравнений типа Риккати:1,2 (, )1 ()(1,2 () − 1,2 (, ))(1 − 2,1 ()1,2 (, ))=+(1 ()2 () − 1)( − (0 + ))1 ()(2,1 () − 1,2 (, ))(1 − 1,2 ()1,2 (, )).(1 ()2 () − 1)( + (0 + ))(4.171)Таким образом, надо найти пару функций 1 (), 2 () таких, что существует решение1,2 (, ) системы (4.171) для значений ∈ , находящихся между точкой − 0 и точкой ∞.Кроме того, решение 1,2 (, ) должно удовлетворять граничным условиям (4.169), (4.170).Это может быть достигнуто с помощью следующей численной процедуры. Во-первых, контурдолжен быть подвергнут дискретизации, т.
е. его следует заменить набором точек , =1 . . . . Начальная точка 1 должна обладать достаточно большой мнимой частью. Конечнаяточка равна нулю. В каждой точке матрица Ḿ2 ( + 0 ) представляется в виде (4.157),т. е. вычисляются значения 1 () и ( + 0 ). Значение 1 ( + 0 ) вычисляется с помощьюформулы(4.163).В точке 1 , которая берется в качестве «бесконечно удаленной» точки, постулируютсяследующие значения1 (1 ) = 0,2 (1 ) = 0.(4.172)Такой выбор асимптотики коэффициента вполне естественен, так как M2 () стремится кединичной матрице при → ∞. Данная процедура повторяется при = 2...
. На –м шагепроизводится вычисление величин 1,2 ( ), т.е. величины 1,2 (1 ) . . . 1,2 (−1 ) уже известны. Cпомощью метода Рунге—Кутты четвертого порядка решаются уравнения (4.171) на контуре ∈ (1 , −1 ) с 1,2 (, ) со следующими начальными условиями:1 (1 ) = (1 ),2 (1 ) = 0,(4.173)которые следуют из (4.170). Значения 1,2 (1 ) . . . 1,2 (−1 ) становятся известными.
Далее,уравнения (4.171) решаются на отрезке (−1 , ) (делается ровно один шаг) с помощью схемыЭйлера. Метод Эйлера хорош тем, что не требует знания последнего значения(значения вконце контура), т.е. с его помощью вычисляется значение 1,2 ( ). В соответствии с (4.169)имеем:1,2 ( ) = 1,2 ( )(4.174)121Таким образом, матрица r() становится известной. Остается решить ODE1 (4.138) и вычислить антисимметричную часть диаграммы направленности, с помощью процедуры, изложенной выше.Результаты численного счета представлены на Рис. 4.14, а именно представлена зависимость 0 | (, /6)| от для 0 = 8 и = 1 − 0.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
