Автореферат (1103994), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Далее рассматривается задача в точной постановке (для уравнения Гельмгольца). Стандартными методами [13] исходная задача сводится к паре функциональных уравнений Винера—Хопфа—Фока, зависящих от двух параметров. Для этих уравнений выводятся формулы расщепления,сводящие данные функциональные задачи к четырем вспомогательным функциональнымзадачам, зависящих от одного параметра. С помощью метода Хурда [14] вспомогательныезадачи заменяются на две матричные задачи Римана—Гильберта размерности2.Каждая21Рис.
14. (Слева) Контур2 .(Справа) контур+ + −матричная задача погружаются в однопараметрическое семейство. Показывается, что обасемейства задач удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению с неизвестным коэффициентом. Для неизвестных коэффициентов формулируются левые ОЕ—уравнения:F−1() OE+ +−[︂(︂r()r* ()− − (0 + ) + (0 + ))︂]︂F() = M2 ().)︂]︂l* ()l()F−F() = N2 (), − (0 + ) + (0 + )⎛⎞⎛⎞exp{−}0( + )/( − ) 0⎠ , M2 () = ⎝⎠,F() = ⎝0exp{}2(0 + )/( − ) 1⎛⎞√︁( + )/( − ) 0⎝⎠N2 () =, = 02 − 2 ,−2/( − )1−1rииll() OE+ +−[︂(︂– неизвестные матрицы размерности2 × 2,путем перестановки строк, а затем столбцов,вдоль контура2 ,(66)матрицыr*иl*(67)(68)(69)получаются из матрицr– комплексный параметр, изменяющийсяизображенного на Рис.
14 слева, контур+ + −изображен на Рис. 14справа.Для полученных ОЕ—уравнений строится численный алгоритм. В результате становится известным решение матричных задач Римана—Гильберта и, соответственно, значение диаграммы направленности рассеяного поля˜ in ).˜ ,(Корректность проделанных вычисленийпроверяется путем сравнения с решением, полученным методом граничных интегральныхуравнений.Результаты четвертой главы опубликованы в работах [18, 19].В Заключении сформулированы основные результаты работы:1. В рамках метода формулы расщепления, спектрального и эволюционного уравнений были исследованы периодические решетки, состоящие из полностью поглощающих экра22нов.
Было получено асимптотическое значение коэффициента генерации основного дифракционного максимума, отвечающее за добротность плоских открытых резонаторов типа Фабри–Перо. Кроме того, была установлена связь с матричной задачей Винера–Хопфа–Фока. В рамках метода OE–уравнения был построен численный алгоритмдля расчета всех коэффициентов генерации дифракционных максимумов.2. Получено аналитическое выражение в одиночных квадратурах для диаграммы направленности рассеяного поля в задаче дифракции плоской высокочастотной волны на импедансном отрезке при скользящем падении. Выражение было получено с помощью метода параболического уравнения.
Численные проверки показали, что параболическоеприближение дает хорошие результаты и на границе его применимости.3. Предложен новый подход к задаче дифракции на импедансной полосе в точной постановке (для уравнения Гельмгольца). Основу подхода составляет метод формулы расщепления и OE–уравнения. В рамках данного подхода был предложен новый численный алгоритм решения задачи.Цитированная литература1.
Keller J. The geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am. 1962. Vol. 52. P. 116–130.2. Уфимцев П. Я. Метод Краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. Радио,1962. С. 244.3. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках.М.: Наука, 1966.С. 456.4. Williams M. H.
Difraction by a finite strip // Q. J. Mech. Appl. Math.1982.Vol. 35.P. 103–124.5. Shanin A. V. Weinstein’s difraction problem: embedding formula and spectral equation inparabolic approximation // SIAM J. Appl. Math. 2009. Vol. 70. P. 1201–1218.6. Shabalina E. D., Shirgina N. V., Shanin A. V. High frequency modes in a two dimensionalrectangular room with windows // Acoust. Phys. 2010. Vol.
56. P. 525 – 536.7. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966. С. 488.238. Shanin A. V. An ODE-based approach to some Riemann–Hilbert problems motivated by wavediffraction // arXiv:1210.1964. 2012.9. Шанин А. В. Дифракция высокочастотной волны на решетке со сложным периодом прискользящем падении // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2012. Т.
409. С. 212–239.10. Ищенко Е. Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980.11. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990. С. 264.12. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.13. Нобл Б. Применение метода Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравненийв частных производных. М.: Ин.
лит., 1962.14. Hurd R. A. The wiener–Hopf–Hilbert method for diffraction problems // Can. J. Phys. 1976.Vol. 54. P. 775–780.Список публикаций15. Корольков А. И., Шанин А. В. Об использовании параболического уравнения и приближения дифракции Френеля для решения вайнштейновских задач // Зап. науч. сем.ПОМИ. 2014. Т. 426. С. 87–118.16. Корольков А. И., Шанин А. В.
Дифракция на решетке из поглощающих экранов разнойвысоты. Новые уравнения // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2014. Т. 422. С. 62–89.17. Шанин А. В., Корольков А. И. Отражение волны от дифракционной решетки, составленной из погощающих экранов. Описание в рамках метода Винера–Хопфа–Фока // Акуст.журн. 2014. Т. 60, № 6. С.
587–595.18. Shanin A. V., Korolkov A. I. Diffraction by an impedance strip I. Reducing diffraction problemto Riemann–Hilbert problems // Q. J. Mech. Appl. Math. 2015. Vol. 68, no. 3. P. 321–339.19. Shanin A. V., Korolkov A. I. Diffraction by an impedance strip II. Solving Riemann–Hilbertproblems by OE–equation method // Q. J. Mech. Appl. Math. 2015. Vol.
68, no. 3. P. 341–362..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
