Автореферат (1103994), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть на этом листе полное полесправа от разрезов равно нулю. Тогда формула (10) для′ = , = ( + 1)представляетсобой (14). Следовательно, подход на основе интегралов Френеля эквивалентен подходу наоснове параболического уравнения.12Далее, вводится краевая функция Грина (КФГ) как решение неоднородного уравнения:(︂1 2+ 20 2)︂ = ( − 0)(),т. е. источник расположен вблизи вершины поглощающего экрана(16)(0, 0). Вводится диаграмманаправленности КФГ как коэффициент асимптотического разложения(, ) = (, ) () + (−1/2 ), = /.(17)Выводится формула расщепления, связывающая диаграмму направленности краевойфункции Грина ()и коэффициенты генерации дифракционных максимумов : ( ) (in ) =.0 ( + in )(18)Корректность определения КФГ, диаграммы направленности КФГ и справедливость формулы расщепления обосновываются в рамках формализма на основе интегралов Френеля.Результаты первой главы опубликованы в работе [15].Во второй главе рассматривается задача дифракции на решетке, состоящей из полностью поглощающих экранов разной высоты (см.
Рис. 2). Волновод, дающий мотивациюданному исследованию, изображен на Рис. 3.Задача ставиться сразу в параболическом приближении. Как и раньше, рассеянное полепредставляется в виде ряда по дифракционным порядкам (8) c√︂ =(in )2 +и целью является отыскание коэффициентовми в точках1 ()2,0 (19) . Вводятся КФГ 0 (, ) и 1 (, ) с источника(0, 0) и (, * ) соответственно. Вводятся диаграммы направленности КФГ 0 () ипо аналогии с формулой (17). Доказывается формула расщепления, связывающая диаграммы направленности КФГ с коэффициентами генерации дифракционных максимумов :∑︀1 ==0{︀}︀2 (in ) ( ) exp 0 (− (in )2 )/2 − 0 ( − in ),20 (in + )т. е.
исходная задача сводится к отысканию(20)0 () и 1 (). Для диаграмм направленности выводится обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестным коэффициентом(0 , 1 ) = (0 , 1 )Π( * )C(, * )Π−1 ( * ),0 (+∞) = 1, 1 (+∞) = 1, где⎛⎞⎛⎞100,1⎠ , C(, * ) = ⎝ 0,0⎠.Π( * ) = ⎝*0 exp{−0 }1,0 1,1C(, * ):(21)c начальными условиями(22)13Уравнение (21) называется спектральным.
Для неизвестного коэффициентаC(, * )выводится так называемое OE—уравнение, представляющее задачу подбора неизвестного коэффициента по известным граничным данным.ОЕ—обозначения вводятся следующим образом. Рассмотрим матричное обыкновенноедифференциальное уравнение первого порядкаX( ) = X( )K( ),где(23)X( ), X( ) матричные функции размерности 2×2, зависящие от комплексной переменной , K( ) – коэффициент уравнения, X( ) – неизвестная матричная функция.
Пусть начальноеусловие имеет следующий видX(1 ) = I.Будем решать уравнение (23) вдоль контураℎс началом в точке1и концом в точке2 .Тогда по определениюOEℎ [K( ) ] ≡ X(2 ).Будем называть операториндексOEℎ(24)упорядоченной экспонентой, взятой по контурууказывает на то, что коэффициентK( )ℎ.Верхнийстоит справа в уравнении (23). Для уравнения видаX̃( ) = K̃( )X̃( )аналогичным образом можно ввести левую упорядоченную экспонентуПоказывается, что функцияC()(25)OEℎ̃ .удовлетворяет следующему уравнению:√︀*OE[Π()C(2 + 2) Π−1 ( * )] = T(),⎛⎞1− exp{0 }⎠.T() = ⎝− exp{0 }1для любогоприIm[] ≥ 0,контур(26)(27)представляет собой действительную ось, проходимуюв отрицательном направлении. В левой частирассматривается как немая переменная, акак параметр.ОЕ—уравнение (26) образует однопараметрическое семейство по параметру.Наличиетакого семейства позволяет построить численное решение уравнения путем подбора неизвестного коэффициентаC()при каждом заданном значении параметра.После того каккоэффициент подобран, вычисляются диаграммы краевых функций Грина путем решенияспектрального уравнения (21).
Коэффициенты генерации дифракционных максимумоввычисляются с помощью формулы расщепления (20).140.70.60.50.40.30.20.100Рис. 9.Значения|0 ()|,5*/при101520√︀(/) = 1/4.Сплошная2530линия соответствует методу спектрального уравнения, а точки соответствуют прямому счетуДля проверки корректности вычисления коэффициентов генерации использовался прямой счет на основе интегральных формул вида (14). На Рис.
9 изображен график зависимости|0 ()|,где = 0 (in )2при√︀ * / (/) = 1/4.Помимо ОЕ—уравнения и спектрального уравнения, выводится эволюционное уравнение 1 типа по параметру*:(0 , 1 ) = (0 , 1 )Π( * )D̃(, * )Π−1 ( * ), *(28)где⎛D̃(, * ) = ⎝Здесь0,1и1,000,1−1,00⎞⎠.(29)элементы матрицы⎛D(, * ) = ⎝0,0 0,11,0 1,1⎞⎠,такой, чтоC=1 D.0 (30)Далее выводится эволюционное уравнение 2 типа как условие совместности уравнений(28) и (21):(︂D *)︂[︁]︁ [︂ D ]︂2 *= −0 D̃, Ξ +, D̃ ,⎛Ξ=⎝0 00 1⎞⎠.(31)Путем решения эволюционных уравнений с помощью метода последовательных приближений (в качестве нулевого приближения берется случай * = 0,для которого матрицыDC вычисляются явно) строится асимптотическое выражение для коэффициента генерации√︀*главного дифракционного максимума при = 0 / ≪ 1:(︂ )︂ √︂(︂ )︂ √︂√10 30 0 = −1 − (1 − ) − (1 + )2−5/2 (2 2 − 1) 2 + ( 2 ).(32)22и15µб))в)µµРис.
10. Резонаторы Фабри-Перо, состоящие из параллельных несимметричных неймановских стенокгде()– дзета-функция Римана.С помощью формулы (32) вычисляется добротность резонаторов Фабри—Перо, изображенных на Рис. 10. Дифракция на открытых концах резонаторов рассматривается независимо, т.
е. полагается, что резонатор представляет собой кусок плоского волновода, открытыйс обоих концов. Очевидно, что после нескольких отражений от концов волновода выживаюттолько моды, близкие к частоте отсечки (из формулы (32) следует, что такие моды почтиполностью отражаются с коэффициентом отражения, близким к−1).Эти моды образуютстоячие волны вида [6, 12]˜ = sin( ) cos( ),гдегде1ии– продольный и поперечный волновые вектора, определяемые из соотношений2exp{2 } = 1,(34)1 2 exp{2 } = 1,(35)– коэффициенты отражения от открытых концов резонатора, aрезонатора по осии(33).Угол,– размерпод которым распространяется парциальная волна, связан сочевидным образом:=.Из условия ≪ 1 следует, что ≫ . Тогда, из (32) имеем выражения для коэффициентовотражения1,2 :*1,2 ≈ −1 + (1,2),где(︂ )︂ √︂(︂ )︂ √︂ (︁ √︁)︁2√13 −5/2* /( * ) = −(1−)−(1+)2(22−1),22(36)16а1*и2*введены на Рис. 10.Из (34) и (35) следует, что ln(−1 ) + ln(−2 )−, = 1, 2, 3 .
. .2 =, = 1, 2, 3 . . . =(37)(38)Собственные частоты резонатора вычисляются по формуле:2= ( )2 2 + ( )2 2 ,где- скорость звука. Представим(39)в виде суммы мнимой и действительной части:′′′.− = Интерес представляет мнимая часть′′,отвечающая за дифракционные потери в резонаторе. Подставляя (37) и (38) в (39) и выделяя мнимую часть, получим′′=−Пользуясь тем, что2Re[ln(−1 ) + ln(−2 )],2 2 ′ ≫ (40)получим′ ≈Отметим, что = 1, 2, 3 . . ., = 1, 2, 3 . .
.предполагается большим, так как должно выполняться условиеучетом того, что запасенная резонатором энергия ≪ 1.Спропорциональна квадрату поля, имеем:′′ ∼ −2 ,где– время. Наконец, добротность вычисляется по формуле)︀−1′2 2 2 (︀==−Re[ln(−1 ) + ln(−2 )].′′2/2√︀*представлен график зависимости добротности от 1 / = − ′На Рис. 11 = 10, = 31.4, = 157.1, 2* = 0.(41)при = 1,Из графика следует что добротность растет с1* .
Этот результат представляется несколько неожиданным, так как при дальнейшем√︀** / ≫ 1 можно считать однуувеличении 1 добротность падает. Действительно, при 1ростомиз стенок волновода бесконечной и заменить его волноводом удвоенной ширины, то естьв выражении (36) для коэффициентазаменяется на2.добротность падает.1Таким образом, привеличина1*полагается равной нулю, а ширина√︀1* / ≫ 1дифракционные потери растут, а174x 109.79.69.59.49.39.29.1900.050.1Рис. 11.
График зависимости добротности0.15от0.21*0.25√︀ /при0.30.35 = 1, = 10, = 31.4, =157.1, 2* = 0Результаты второй главы опубликованы в работе [16].В третьей главе исследуется решетка, изображенная на Рис. 12. В терминах работы [6]этой решетке соответствует открытый резонатор и биллиардная мода, изображенные на Рис.13. Это квадратный резонатор со стороной и угловым окном. Окно изображено пунктирной, и * связаны√√√√ = 2 + (ℎ1 + ℎ2 )/ 2, = 2 − (ℎ1 + ℎ2 )/ 2,линией. Стороны, подходящие к окну, имеют длиныℎ1 , ℎ2√ * = (ℎ1 − ℎ2 )/ 2.с параметрамиисоотношениямиРис. 12.
Геометрия задачиℎ1иℎ2 .ПараметрыРис. 13. Открытый резонатор и биллиардная модаКак и в предыдущих главах, рассмотрение проводится в параболическом приближении.Стандартными средствами выводится матричное уравнение Винера—Хопфа—Фока [13]:Ψ() + K()U() =1(K() − I) r, − in(42)18где⎛Ψ=⎝Ψ0Ψ1⎞⎠,⎛ ⎞0U = ⎝ ⎠,1(43)∞Zsc (0, ) ,0 () =(44)0∞Z1 () = exp(− * + 0 (in )2 /2)sc (, ) ,(45)*Z0sc (−0, ) ,Ψ0 () =(46)−∞Z*Ψ1 () = exp(− * + 0 (in )2 /2)sc ( − 0, ) ,(47)−∞}︁⎞{︁2in 2*1− exp − 20 ( − ( ) ) + ⎠,{︁}︁K() = ⎝2in 2*− exp − 20 ( − ( ) ) − 1⎛⎞1⎠ , in = 0 in .r = − ⎝* in− exp{− }⎛Строится формальное решение задачи Винера—Хопфа—Фока, т. е. матрица(48)(49)K представляется в виде:K() = K− ()K+ (),K−гдеиK+(50)— матрицы, неособые и регулярные, соответственно в нижней и верхней полуплоскости.
Показывается, что коэффициент генерации главного дифракционного максимума0дается следующим выражением:0 =Подбираются матрицы[︀ −1]︀1in(1,0)resK,=−K+ ( in )r.+in2L− , L+ ,такие что матрицабенностей в области малых значенийи in .(51)−1K̄() = L−1− ()K()L+ ()МатрицаK̄+ ≡ K+ L+ −1K̄+ () = K0 + K1 + in K2 + . . . .не имеет осопредставляется в виде(52)С помощью разложения (52) и выражения (51) показывается, что0 = −1 + ( in ),т. e.0 → −1приin → 0.(53)19Результаты третьей главы опубликованы в работе [17].В четвертой главе рассматривается задача дифракции на импедансном отрезке (Рис.1). На всей плоскости вне отрезка выполняется уравнение Гельмгольца (1).
Полное полеудовлетворяет на полосе граничным условиям±Здесьволны ˜(, ±0) = ˜(, ±0),− < < .(54)– импеданс полосы. Полное поле представляется в виде суммы падающей плоской˜inи рассеяного поля˜sc :˜ = ˜in + ˜sc ,(55)˜in = exp{0 cos in − 0 sin in )}.(56)гдеЗдесьin– угол падения, принимающий значения0 < in < /2.Ищется диаграмма направленности рассеяного поля, т. е. ищется угловая зависимость амплитуды цилиндрическойволны, рассеянной полосой.
Диаграмма направленности˜ in )˜ ,(определяется следующимвыражением:√︂˜ in )˜ ,˜sc = (Здесь=√︀2 + 2 ,0 0 + (0 (0 )−1/2 ).2(57)˜ = arctan(/).Далее, рассматривается случай скользящего падения высокочастотной волны. А именно,следующие условия считаются выполненными:in ≪ 1.0 ≫ 1,(58)Рассматривается волновой процесс, при котором волна распространяется почти параллельнооси,а ее угловой спектр достаточно узок.
При этом справедливо параболическое приближение. Как и в главе 1, полное поле представляется в виде (5), а уравнение Гельмгольца (1)заменяется параболическим уравнением (6). Диаграмма направленности рассеяного поля впараболическом приближении определяется выражением(︀)︀sc (, ) = (, in )(, ) + (0 )−1/2 ,где = /,(59)˜ in ) и (, in ) близки при˜ ,(, ) дается выражением (11). Из (57) и (59) следует, что (условии, что выполнено (58).Для диаграммы направленности справедливо выражение, следующее из (10):∞Zin(︀2sc (, ) exp{−0 }.)︀(, ) = exp 0 /2−∞(60)20Путем непосредственной проверки показывается, что выражение(, ) =⎧∞Z⎪{︀}︀⎪ 2⎪⎪exp 0 ( ) /21 ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,⎪⎪⎨ > 0,∞Z⎪⎪{︀}︀⎪ 2⎪⎪exp 0 ( ) /22 ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,⎪⎩ < 0,−∞(61)−∞1 () =⎧{︀}︀in⎪⎨ exp −0 , > 0,(62){︀}︀ + 0 in2⎪⎩−exp 0 in +exp {} , < 0,in − 0 − 0 in⎧{︀}︀ + 0 in2⎪in⎨−exp+exp {−} , > 0,0in − 0 − 0 in2 () =⎪{︀}︀⎩exp −0 in , < 0,является решением параболического уравнения в области− < < .(63)С помощью (60)вычисляется выражение для диаграммы направленности в однократных квадратурах:{︃(, in ) = exp− (, −in ) −[︀]︀ }︃ (︁0 (in )2 + 2 + 0 inin− (−, ) − (−, −in )in2 − 0 )︁22 − 0 inin(,)+(/,−)+(−/,),00 + 0 in − 0 in + 0 in(64)где120 (1 − 2 )(︃ (1 , 2 ) =(︃ √︂ )︃)︃(︃ √︂)︃0exp{−0 12 }erfc 1− exp{−0 22 }erfc 2,2erfc() = √(65)∞Z2− .Кроме того, доказывается оптическая теорема для параболического уравнения, а также производится численная проверка формулы (64) путем сравнения с решением, полученным спомощью метода граничных интегральных уравнений.Таким образом, задача оказывается решена в параболическом приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
