Диссертация (1103938), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В [172] построена общая теориятермически активированного движения молекулярных цепей (гибких нитей)общего вида, состоящих из асимметричных мономеров. Установлено, чтопоперечные термически активированные смещения нитей могут приводить82к макроскопическим смещениям отдельных фрагментов нити (находящихся намакроскопически большом расстоянии) друг относительно друга.В [173-177], рассмотрены также динамические свойства термическивозбужденных гибких нитей, причем систематически учтено их взаимодействиес вмещающей их конденсированной средой путем использования уравненияЛанжевена, то есть путем введения, для каждой выделенной моды движениягибких нитей, силы трения и флуктуирующей силы, моделирующей тепловыефлуктуации вмещающей нить конденсированной среды.

Наиболее важный длянас результат, полученный в этих работах, состоит в следующем. Взаимодействиес внешней средой радикально перестраивает динамические характеристики нитей,но не влияет на итоговое равновесное распределение смещений в каждой моде, покрайней мере, в случае линейных колебаний.Мы представим элементарную струну как упругий цилиндрическийстержень с плотность материала стержня ρ, модулем Юнга E, диаметром сеченияd (и площадью S = π d2/4), длиной L; также введём обозначения: x – координатавдоль стержня (0 ≤ x ≤ L), t – время.

Термически активируемыми независимымистепенями свободы (модами) упругого стержня являются колебания: продольные(сжатия – растяжения); крутильные; изгибные.Каждая такая мода совершает гармоническое колебание. Учет вязкостирастворителя, в который погружена струна, приводит к появлению силы трения,которая для продольных и крутильных колебаний пропорциональна скоростисоответствующей обобщенной координаты, и для изгибных колебаний, прималых частотах, в основном также пропорциональна скорости (коэффициентпропорциональности при этом слабо (логарифмически) зависит от скорости, чемможно пренебречь). Добавление к уравнению движения моды флуктуирующейсилы, моделирующей термостат, приведет уравнения движения к виду уравненияЛанжевена для осциллятора. Как было указано выше, амплитуда термическиактивированных колебаний осциллятора Ланжевена равна амплитуде термическиактивированных колебаний свободного осциллятора.83Мы ставим задачу оценить амплитуду термически активированныхколебаний струн.

Следовательно, можно ограничиться рассмотрением термическиактивированных колебаний свободных струн, так как учет трения о среду, приналичии случайной внешней силы, не изменит искомые амплитуды.Рассмотрим вначале продольные колебания струны. Введем скорость ихраспространения: = √/(3.7.1)Пусть (x, t) – мгновенное продольное смещение текущей точки струны(одинаковое по всему поперечному сечению). Тогда уравнение продольныхколебаний имеет вид [178]:1 ∂2 2 ∂2 t=∂2 (3.7.2)∂x2Семейство решений этого уравнения в виде стоячей волны, отвечающих нулевомудавлению на обоих концах струны, имеет вид:un (x, t) = An sin (ωn t) sin (qn x)(3.7.3)n = 1, 2, 3, … – номер моды колебания, An – амплитуда n-ной моды, ωn = (πc/L) n –ее частота, qn = (π/L) n – величина ее волнового вектора. Длина волны n-ноймоды: λn = 2L/n.Полная (кинетическая плюс упругая) энергия Wn струны, совершающейпродольное колебание на n-ной моде с амплитудой An, составляет:Wn =π3 d2 E16L(Ann)2(3.7.4)Так как колебания термически активированы, указанная энергия равна kT, где k –постоянная Больцмана, T – температура среды.

Подставляя это значение в (3.7.4),находим амплитуду термически активированных продольных колебаний n-ноймоды:An = A*/n, A* = √16kTLπ3 d2 E(3.7.5)Наибольшей является амплитуда колебаний наиболее длинноволновой моды (n =1, λ1 = 2L): A1 = A*. Отметим также, что амплитуда продольных термически84активированных колебаний прямо пропорциональна корню из длины струны иобратно пропорциональна ее диаметру.Характерные значения амплитуды термически активированных продольныхколебанийэлементарнойструныприведенывТабл.3.7.1.Посколькудифрактограммы указывают на кристаллический характер упорядоченностимолекул ТФААС в элементарной струне [105], расчет произведён при значенияхмодуля Юнга, характерных для кристаллических тел. Длина элементарной струнырассматривается в пределах от 0.1 мкм до 1 мм (что по порядку величиныотвечает типичным микроскопическим струнам, состоящим из элементарныхструн).

Как видно из расчета, амплитуда может достигать значительных намолекулярноммасштабезначений.Отметим,чтопосколькуколебаниядлинноволновые, относительный сдвиг двух соседних молекул δ* = A(πb/L), где b– расстояние между соседними молекулами, много меньше b, то есть деформацииматериала струн при продольных термически активированных колебанияхневелики и заведомо находятся в области линейной упругости.L, мкм10-1110102103E, дин/см10110.727207012100.20.72720Таблица 3.7.1. Амплитуда в ангстремах длинноволновых собственных термическиактивированных продольных колебаний цилиндрической струны диаметром d = 1 нм притемпературе T = 300 °K.

Расчет произведен по формуле (3.7.5) при двух значениях модуляЮнга E, характерных для кристаллических тел.2Рассмотрим теперь крутильные колебания струны. Скручивание струныхарактеризуется углом поворота φ(x,t) каждого сечения струны (с координатой xв момент времени t) относительно его положения в недеформированной струне.Уравнение движения для φ(x,t) имеет вид [178]:C∂2 φ∂2 t= ρI∂2 φ∂x2(3.7.6)где [178]:C = πμd4/32(3.7.7)– крутильная жесткость стержня с круговым поперечным сечением, μ – модульсдвига, выражаемый через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν:85μ = E/2 (1 + ν)(3.7.8)I – момент инерции сечения стержня относительно его центра инерции [178]:I = πd4/32(3.7.9)Подставляя (3.7.7)-(3.7.9) в уравнение (3.7.6), приводим его к виду:1 ∂2 φ 2 ∂2 t=∂2 φ(3.7.10)∂x2где = √/(3.7.11)– скорость поперечных упругих волн в материале струны.

Семейство решенийэтого уравнения в виде стоячих волн, отвечающих свободным концам струны,имеет вид:φn (x, t) = Φn sin (ωn t) sin (qn x)(3.7.12)n = 1, 2, 3, … – номер моды колебания, Φn – безразмерная (выраженнаяв радианах) амплитуда n-ной моды, ωn = (πcT/L)n – ее частота, qn = (π/L)n –величина ее волнового вектора. Длина волны n-ной моды: λn = 2L/n.Полная (кинетическая плюс упругая) энергия W'n струны, совершающейизгибное колебание на n-ной моде с амплитудой Φn, составляет:W'n =π3 d4 μ128L(Φnn)2(3.7.13)Так как колебания термически активированы, указанная энергия равна kT, где k –постоянная Больцмана, T – температура среды. Подставляя это значениев (3.7.13), находим безразмерную (выраженную в радианах) амплитудутермически активированных крутильных колебаний n-ной моды:Φn = Φ*/n, Φ* = √Приэтомамплитудалинейных128kTL(3.7.14)π3 μd4смещенийA´nатомов,находящихсяна поверхности струны, составит:A´n = dΦn/2 = A´*/n, A´* = √32kTLπ3 μd2(3.7.15)86Наибольшей является амплитуда колебаний наиболее длинноволновой моды(n = 1, λ1 = 2L): Φ1 = Φ*, A´1 = A´*.

Отметим также, что амплитуда крутильныхтермически активированных колебаний прямо пропорциональна корню из длиныструны и обратно пропорциональна квадрату ее диаметра. Наконец отметим, чтопоскольку обычно с хорошей точностью выполняется соотношение междумодулем сдвига и модулем Юнга: μ ≈ E/2, амплитуда смещений поверхностныхатомов при термически активированных крутильных колебаниях, рассчитанная поформуле (3.7.15), примерно в два раза больше амплитуды термическиактивированных продольных колебаний той же струны, рассчитанной по формуле(3.7.5).Характерные значения амплитуды смещений поверхностных атомов притермически активированных крутильных колебаниях элементарной струныприведены в Табл. 3.7.2 при тех же значениях параметров струны, что и в Табл.3.7.1.

Как видно из расчета, амплитуда может достигать значительных намолекулярноммасштабедлинноволновые,значений.относительныйОтметим,сдвигдвухчтопосколькусоседнихколебанияповерхностныхδ'* = A'*(πb/L), где b – расстояние между соседними молекулами, много меньше b,тоестьдеформацииматериаластрунприкрутильныхтермическиактивированных колебаниях невелики и заведомо находятся в области линейнойупругости.L, мкм10-1110102103E, дин/см210111.44144014012100.41.441440Таблица 3.7.2.

Амплитуда в ангстремах длинноволновых смещений поверхностных атомов присобственных термически активированных крутильных колебаниях цилиндрической струныдиаметром d = 1 нм при температуре T = 300 °K. Расчет произведен по формуле (3.7.15) придвух значениях модуля Юнга E, характерных для кристаллических тел. При расчетах принято,что μ = E/2.Наконец, исследуем изгибные колебания струны.

Они поперечны и имеютдве компоненты, перпендикулярные оси струны (изгиб по осям OY и OZ, еслиструна расположена вдоль оси OX). Так как эти колебания независимы иодинаковы, рассмотрим одно из них, пусть по оси OY, которое принято87обозначать Y(x,t). Вначале, как и в случае продольных и крутильных колебаний,рассмотрим изгибные колебания в рамках линейной теории упругости. Уравнениедвижения для Y(x,t), в приближении линейной теории упругости, имеет вид [178]:ρS∂2 Y∂2 t= EIz∂4 Y(3.7.16)∂x4где Iz – момент инерции поперечного сечения струны при вращении вокруг осиOZ. Для цилиндрической струны Iz = πd4/64 (см (17,6) и (17,11) в [178]).Соответственно, уравнение (3.7.16) принимает в этом случае вид:16ρ ∂2 YEd2 ∂2 t=∂4 Y(3.7.17)∂x4Семейство решений этого уравнения в виде стоячей волны, отвечающихсвободным концам струны, имеет вид:Yn(x,t) = A"n Sin (ωn t) Sin (qn x)(3.7.18)n = 1, 2, 3, … – номер моды колебания, A"n – амплитуда n-ной моды,ωn =π2 dE√ n2 – ее частота, qn = (π/L)n – величина ее волнового вектора.

Длина4L2 ρволны n-ной моды: λn = 2L/n.Полная (кинетическая плюс упругая) энергия W"n струны, совершающейизгибное колебание на n-ной моде с амплитудой A"n, составляет (в приближениилинейной теории упругости):W"n =π5 d4 E256L3An2n4(3.7.19)Так как колебания термически активированы, указанная энергия равна kT, где k –постоянная Больцмана, T – температура среды. Подставляя это значениев (3.7.19),находимамплитудутермическиактивированныхпродольныхколебаний n-ной моды (в приближении линейной теории упругости):An = A"*/n2, A"* = √256kTL3π5 d4 E(3.7.20)Наибольшей является амплитуда колебаний наиболее длинноволновой моды(n = 1, λ1 = 2L): A1=A"*. Отметим также, что амплитуда изгибных термически88активированных колебаний (в приближении линейной теории упругости) зависитот длины струны как L3/2, а от диаметра – как d-2.Проведем формальный расчет (в приближении линейной теории упругости,по формуле (3.7.20)) амплитуды термически активированных изгибных колебанийэлементарной струны при тех же значениях параметров струны, что и в Табл.3.7.1.

Характеристики

Список файлов диссертации