Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . , fν i реберно–контракционною и обозначим это свойство через hk, f0, . . . , fν i ∈ Seqec [ν], если найдутся ребра (одномерные симплексы) E0 , . . . , Eνтакие, что отображение f0 — стяжение ребра E0 относительно комплекса k, и для всякого ι = 1, . . . , ν◦верно, что отображение fι — стяжение ребра Eι относительно комплекса (fι−1 ◦ . . . ◦ f0 )◦ (k).О БЩИЙВЗГЛЯД НА КОМПЛЕКСЫ°Inf·Абстрактный комплекс A с отношением подчинения 4 есть множество A с отношением порядка 4 на нем, то есть для них верны следующие свойства:• рефлексивность:a 4 a,∀a ∈ A;• антисимметричность:a4b& b 4 a =⇒ a = b,∀a, b ∈ A;• транзитивность:a4b& b 4 c =⇒ a 4 c,∀a, b, c ∈ A.°Пример·Важный пример абстрактного комплекса — абстрактный (простой) граф, то есть произвольное конечное множество элементов — множеств мощности 1 или 2 — с условием, что если множествомощности 2 принадлежит графу, то каждое его подмножество мощности 1 также принадлежит графу.Отношение же подчинения есть включение одного элемента в другой.29°Inf·У произвольного подмножества B некоторого комплекса A с отношением подчинения 4 определяются следующие три множества:• звезда:St4A B := {a : ∃b(b ∈ B& b 4 a)};• замыкание:Cl4A B := {a : ∃b(b ∈ B &a 4 b)};• линк:4444Lk4A B := (ClA StA B) \ (StA ClA B).33/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.1 Стяжения ребер1.3.1 Стяжения реберК РИТЕРИЙ3031КОНТРАКЦИИ У СТЯЖЕНИЙ РЕБЕР°Заметка·Если некоторыйсимплекс M и симплициальный комплекс m таковы, что M ∩ ∪ m 6= ∅ иvert M ⊂ ∪ vert◦ m , то M ∈ m.°Th·Стяжение f ребра E относительно полного симплициального комплекса Tk является PA–контракциею,если и только если ребро E “линково” в комплексе k, то есть lkk {E} =lkk {V}.V:VCE,dim V=0Доказательство°Обозначим f◦ ◦ (k) =: k 0 .
Еще обозначим W := ∪ vert◦ (k) и W 0 := ∪ vert◦ (k 0 ) .Еще обозначим a1 и a2 две вершинные точки ребра E.°Отметим, что условие линковости этого ребра E имеет видlkk {E} = lkk {{a1 }} ∩ lkk {{a2 }} ,что эквивалентно тому, что еслиA ∗ {a1 } ∈ k,a1 ∈/ A,A ∗ {a2 } ∈ k,a2 ∈/ A,тоA∗E∈kи A ∩ E = ∅.°Заметим, что по условию отображение f — стяжение ребра E, что влечет равенство f(a1 ) = f(a2 ).°Обозначим f(a1) =: q.°Рассмотрим две точки m и n из комплекса ∪ k такие, что f(m) = f(n).°К этим точкам введем координаты их относительно комплекса ∪ k по следующим формулам:Pm=mw · w;w:w∈WPn=nw · w.w:w∈W°По Замечанию 3f(m) =Pw:w∈Wf(n) =Pw:w∈Wmw · f(w) =nw · f(w) =Pw:w∈W\{a1 ,a2 }Pw:w∈W\{a1 ,a2 }mw · f(w) + (ma1 + ma2 ) · q;nw · f(w) + (na1 + na2 ) · q.Из единственности координат точки относительно симплициального комплекса заключим, чтоmw = nw при w ∈ W \ {a1 , a2 };ma1 + ma2 = na1 + na2 .°Предположим, что ребро E линково.°И покажем ниже, что отображение f — контракция.P°Возьмем точку x в ∪ k 0 с координатным представлением x =xw · w.0w:w∈W°Если точка x лежит в ∪ k 0 \ stk 0 {{q}} , то xq = 0.
Следовательно, (так как координаты относительноPсимплициального комплекса неотрицательны) если точка x̃ с координатным представлением x̃ =x̃w · w такова, что f(x̃) = x, то x̃a1 + x̃a2 = xq и x̃w = xf(w) при w ∈ W \ {a1 , a2}.w:w∈W°То есть найдется только одна точка x̃ такая, что f(x̃) = x. Итак, в этом случае прообраз одноточечногомножества {x} связен.34/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.1 Стяжения ребер°Если точка x̃ с координатным представлением x̃ =Pw:w∈Wx̃w ·w такова, что f(x̃) = q (то есть x = q), тоx̃a1 + x̃a2 = xq = 1 и x̃w = xf(w) = 0 при w ∈ W \ {a1 , a2 }.
Итак, в этом случае прообраз одноточечногомножества {x} есть E.°Далее рассмотрим случай x ∈ ∪ stk 0 {{q}} и x 6= q.°К нашей точке x построим несколько объектов. Найдется симплекс S в комплексе k 0 такой, что x ∈S ∗ {q} и {q} 6C S. Найдутся точка y в симплексе S и число из интервала (0, 1) такие, что x = ·q + (1 − ) · y. По уже доказанному для точки y найдется единственная точка ỹ такая, что f(ỹ) = y.Аналогично для симплекса S найдется единственный симплекс S̃ такой, что f◦ (S̃) = S.
Еще определим◦точки g1 := · a1 + (1 − ) · ỹ и g2 := · a2 + (1 − )P· ỹ. И U := (f−1 ) ({x}).°Если точка x̃ с координатным представлением x̃ =x̃w · w такова, что f(x̃) = x, тоw:w∈Wf(x̃) =Xw:w∈W\{a1 ,a2 }x̃w · f(w) + x̃a1 · q + x̃a2 · q = (1 − ) · y + · q.По единственности координат точки относительно симплициального комплекса видим, что x̃ = (1 −x̃a) · ỹ + x̃a1 · a1 + x̃a2 · a2 и x̃a1 + x̃a2 = . Обозначим α := 1 .
Тогдаx̃ = (1 − ) · ỹ + α · · a1 + (1 − α) · · a2 =(3)= α · (1 − ) · ỹ + (1 − α) · (1 − ) · ỹ + α · · a1 + (1 − α) · · a2 == α · g1 + (1 − α) · g2 .°Если точка x̃ ∈ (g1 , g2 ), то x̃ ∈ S̃ ∗ E. По предположенной линковости ребра E получим, что x̃ ∈ U.
Тоесть U = [g1 , g2 ]. И потому отображение f — контракция.°Предположим теперь, что f — PA–контракция.°Рассмотрим симплекс S̃ из lkk {{a1 }} ∩ lkk {{a2 }} .°Обозначим f◦ (S̃) =: S.°Возьмем в симплексе S ∗ {q} некоторую точку x.◦°Тогда множество U := (f−1 ) ({x}) связно. Как уже показано в формуле (3) U ⊂ [g1 , g2]. И по построению g1 , g2 ∈ U. То есть U = [g1 , g2 ].°Таким образом, S̃ ∗ E ∩ dom f 6= ∅.
И по замечанию 30 S̃ ∗ E ∈ k и по построению S̃ ∩ E = ∅. И всёполностью обосновано.Q.E.D.С ВЯЗНОСТЬ32ПРООБРАЗА°Th·Для всякого стяжения f ребра E относительно полного симплициального комплекса k и всякого◦симплекса L ∈ f◦ ◦ (k) верно, что множество (f−1 ) (L) связно.Доказательство°Рассмотрим некоторый полный симплициальный комплекс k, некоторое его ребро E и стяжение f ребра E относительно комплекса k.°Обозначим f◦ (E) = {v} — точечное множество.°Заметим, что {v} и L соотносятся следующим образом:1. или ¬{v} C L,2. или {v} C L.◦°Рассмотрим случай (1): вершины в (f−1 ) (L) не суть вершины в ребре E =: (a, b).°Заметим, что отображение f◦ инъективно на множестве этих вершин, а значит и на всех симплексах◦на этих вершинах, следовательно, (f−1 ) (L) — замкнутый симплекс из комплекса k.°Рассмотрим случай (2): vert L =: {v, w1 , .
. . , wν}.35/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение/1.3.1 Стяжения ребер°Заметим, что◦[(f−1 ) (L) =S.S:S∈k,vert S⊂{a,b,f−1 (w1 ),...,f−1 (wν )}°Симплекс L является образом некоторого симплекса не меньшей размерности, то есть найдется в комплексе k симплекс K, вершинное множество которого включено в {a, b, f−1(w1 ), . . . , f−1 (wν )}, card vert K =ν + 1. Таким образом можно считать, что a ∈ vert K.◦°Возьмем две точки x 0 , x 00 ∈ (f−1 ) (L).°Тогда x 0 ∈ S 0 и x 00 ∈ S 00 , для некоторых симплексов S 0 , S 00 в комплексе k таких, что vert S 0 , vert S 00 ⊂{a, b, f−1(w1 ), .
. . , f−1 (wν )}.°Рассмотрим случаи взаиморасположения.°S 0 , S 00 C K: здесь x 0 и x 00 связаны отрезком в K.°S 0 C K, ¬(S 00 C K): у симплекса S 00 есть вершинная точка не из vert K, т.е. точка b.В связи с тем, что x 00 ∈ S 00 , ясно, что точка x 00 связана с точкою b в S 00 .Далее заметим, что точка b связана отрезком E с точкою a, ибо v ∈ vert L.Ясно также, что точка a связана с точкою x 0 в K.°¬(S 0 C K), ¬(S 00 C K): у симплексов S 0 , S 00 есть вершинная точка b, т.е. точки x 0 , x 00 связаны с точкоюb.Q.E.D.°Заметка·Следующее утверждение подобно Утверждению 24. Еще заметим, что прообраз вершинысвязен по Утверждению 32, но прообраз одноточечного подмножества образа стяжения не всегда связен, например, рис.
1.1 (пример и для Утверждения 31).Рис. 1. пример несвязного прообраза33°Th·Для стяжения f ребра E относительно полного симплициального комплекса k и всякого подкомплекса t в комплексе f◦ ◦ (k), у которого множество ∪ t замкнуто и связно, верно, что множество◦(f−1 ) (∪ t) связно и замкнуто.Доказательство°Выберем некоторый подкомплекс t в комплексе f◦ ◦ (k) такой, что множество ∪ t замкнуто и связно.◦Еще выберем некоторые точки x 0 и x 00 из (f−1 ) (∪ t).°Для x 0 и x 00 найдутся T 0 , T 00 такие, чтоT 0 , T 00 ∈ t,◦x 0 ∈ (f−1 ) (T 0 ),◦x 00 ∈ (f−1 ) (T 00 ).°По Утверждению 32◦• соединим точку x 0 с некоторою вершинною точкою в (f−1 ) (T 0 );◦• соединим точку x 00 с некоторою вершинною точкою в (f−1 ) (T 00 ).36/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение°Таким образом можно считать, что точки x 0 , x 00 суть вершинные, и точки f(x 0 ), f(x 00 ) также суть вершинные в t, и от вершинной точки f(x 0 ) до вершинной точки f(x 00 ) в t есть пореберный путь{f(x 0 )} = V0 ,U1 ,V1 ,...,Uν ,Vν = {f(x 00 )},где Uι — ребра в t, и Vι — вершины этих ребер:Vι−1 C Uι B Vιи {f(x 0 )} C U1 ,{f(x 00 )} C Uν .°У элементов этого пути прообразы◦(f−1 ) ({f(x 0 )}),◦(f−1 ) (U1 ),◦(f−1 ) (V1 ), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
