Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Такимобразом, f◦ ((a, b)) — одноточечное множество.°Если отображение f — консумпция, то существует ребро (a, b) такое, что [a, b] ⊂ dom f и f◦ ((a, b))точечно.°Заметим, что найдется в p такой элемент P, что (a, b) ∩ P содержит в себе некоторое ребро, ибо p —конечное разбиение на выпуклые множества. Тогда образ этого ребра одноточечен.Q.E.D.19°Th·Для всякого кусочно–аффинного отображения f следующие высказывания эквивалентны другдругу:1. f — консумпция;2. отображение f аффинно относительно некоторого полного симплициального комплекса k и f неинъективна на одном из симплексов в k;3.

для всякого полного симплициального комплекса k, относительно которого отображение f аффинно, верно, что отображение f не инъективно на одном из симплексов в k.Доказательство°Возьмем некоторое кусочно–аффинное отображение f и некоторый комплекс k, относительно которого аффинно отображение f.°Если отображение f — консумпция, то из Утверждения 18 следует, что отображение f не инъективнона некотором симплексе из k, отсюда же следует и последний пункт.°Обратные переходы также следуют из того же Утверждения 18.Q.E.D.29/Полно/1 Многомерие/1.2 Смятия и контракции20°Th·Для всяких двух кусочно–аффинных отображений f и g таких, что im f = dom g, верно, что отображение g ◦ f — смятие, если и только если оба отображения f и g суть смятия.Доказательство°Возьмем некоторые кусочно–аффинные отображения f и g такие, что im f = dom g.°Ясно, что утверждаемое эквивалентно следующему:“g ◦ f — консумпция ⇐⇒ f или g — консумпция”°Заметим, что (g ◦ f)◦ ((a, b)) = g◦ (f◦ ((a, b))).°Если f отображает (a, b) в одноточечное множество, то g ◦ f так же.°Если же f◦ ((a, b)) не одноточечно, то оно является ломаною и g◦ –образ от него одноточечен, а значитg отображает некоторое ребро, включенное в ту ломаную, в одноточечное множество.°Если f отображет некоторое ребро в одноточечное множество, то g ◦ f — такое же.°Если g — консумпция, то существует ребро, вырождаемое отображением g, а его f–прообраз содержит в себе некоторое ребро, которое вырождается отображением g ◦ f.Q.E.D.Р ЕГУЛЯРНОСТЬ°Inf·В выпуклополиэдральном комплексе k полиэдр — главный, если и только если он не являетсягранью во всяком ином полиэдре того же комплекса k.

Скажем еще, что точка множества A регулярнаво множестве A, если у нее найдется гомеоморфная некоторому Rγ окрестность в этом множестве.21°Заметка·Во всяком выпуклополиэдральном комплексе k всякий главный полиэдр является окрестностью в теле того же комплекса каждой своей точки. Таким образом, точки главного полиэдра регулярны во множестве ∪ k.°Df·Скажем, что PA–отображение регулярно, если оно инъективно в некоторой окрестности каждойрегулярной точки своей области действия.2223°Th·Всякое регулярное кусочно–аффинное отображение есть смятие.Доказательство°Рассмотрим некоторое регулярное кусочно–аффинное отображение f и комплекс k, относительно которого оно аффинно.°Допустим, что есть симплекс K ∈ k такой, что f|K вырождено.°Заметим, что существует в комплексе k симплекс M такой, что K C M и M максимален по отношениюC в комплексе k.°Еще заметим, что отображение f|M вырождено, ибо f аффинно на M и непрерывно.°Однако по Замечанию 21 симплекс M состоит из регулярных в теле комплекса k точек, и мы пришлик противоречию со свойствами отображения f.Q.E.D.°Th·Таким образом, из Утверждений 22 и 17 следует, что для всяких кусочно–аффинных регулярныхотображений f и g и непрерывной биекции h множества dom f на множество dom g такой, что g ◦ h = f,верно, что отображение h кусочно–аффинно.1.2.2 КонтракцииК ОМПОЗИЦИЯ24°Th·Для всякого непрерывного отображения f из компактного топологического пространства в хаусдорфовое если f–прообраз всякого одноточечного множества ее образного пространства связен, тоf–прообраз всякого связного замкнутого подмножества ее образа замкнут и связен.Доказательство30/Полно/1 Многомерие/1.2 Смятия и контракции°Возьмем некоторое непрерывное отображение f из компактного топологического пространства в хаусдорфовое такое, что f–прообраз всякого одноточечного множества ее образного пространства связен.°Рассмотрим некоторое непустое связное замкнутое множество Y, включенное в im f.◦°И обозначим A := (f−1 ) (Y).

Ясно, что оно замкнуто.°Чтобы доказать связность множества A, рассмотрим такие два множества B и C, что B∪C = A, B 6= ∅,C 6= ∅ и B, C — замкнуты.°Заметим, что B и C компактны по компактности множества dom f.°Обозначим B 0 := f◦ (B) и C 0 := f◦ (C).°Из компактности множеств B и C, непрерывности отображения f и хаусдорфовости образного пространства следует, что множества B 0 и C 0 замкнуты.Ясно также, что B 0 ∪ C 0 = Y. Из связности множества Y и замкнутости и непустоты множеств B 0 и C 0следует, что B 0 ∩ C 0 6= ∅.°Возьмем некоторую точку b ∈ B 0 ∩ C 0 .◦°По условию множество D := (f−1 ) ({b}) связно. Заметим, что D ∩ B 6= ∅ и D ∩ C 6= ∅.

Еще заметим,что D = (D ∩ B) ∪ (D ∩ C). Таким образом (D ∩ B) ∩ (D ∩ C) 6= ∅.°Итак, B ∩ C 6= ∅.Q.E.D.25°Th·Композиция g ◦ f двух PA–контракций f и g — также PA–контракция.Доказательство°Рассмотрим некоторые PA–контракции f и g такие, что im f = dom g. Возьмем точку a ∈ im g.◦◦°Обозначим A := (f−1 ) ((g−1 ) ({a})).◦°Множество A является f–прообразом связного замкнутого множества (g−1 ) ({a}). По Утверждению24 оно связно (и замкнуто).Q.E.D.П РООБРАЗНЫЙ26СИМПЛЕКС°Th·Для всякого полного симплициального комплекса k, всякой контракции f, симплициальной относительно комплекса k, и всякого симплекса L из комплекса f◦ ◦ (k) размерности ν := dim dom f =dim ∪ k найдется один и только один симплекс K комплекса k, f–образ которого есть симплекс L.Доказательство°Рассмотрим некоторый полный симплициальный комплекс k, некоторую контракцию f, симплициальную относительно комплекса k, и некоторый симплекс L из комплекса f◦ ◦ (k) размерности ν :=dim dom f = dim ∪ k.°Обозначим множество a := {K : K ∈ k, f◦ (K) = L}.°Заметим, что у каждого симплекса K из множества a размерность равна ν.

Таким образом они всеодной размерности, и, следовательно, суть связные компоненты в их объединении ∪ a.°Возьмем некоторую точку x из симплекса L.◦°Тогда множество (f−1 ) ({x}) связно и пересекается с каждым симплексом из a. Следовательно, card a =1.Q.E.D.1.2.3 Связь смятий и контракцийО БЩЕТОПОЛОГИЧЕСКОЕ27ПОСТРОЕНИЕ°Th·Для всяких непрерывных отображений a и b, определенных на некотором компактном топологическом пространстве, если im b хаусдорфово, и отображение c таково, что a = c ◦ b, то отображение cнепрерывно.Доказательство°Рассмотрим некоторое замкнутое подмножество F множества im a.31/Полно/1 Многомерие/1.2 Смятия и контракции°Тогда◦(c−1 ) (F) = {x : c(x) ∈ F} = {x : ∃y(b(y) = x, c(x) ∈ F)} =◦= {x : ∃y(b(y) = x, c(x) = c(b(y)) = a(y) ∈ F)} = b◦ ((a−1 ) (F)).◦°При этом множество (a−1 ) (F) замкнуто как непрерывный прообраз замкнутого, а также оно компактно как замкнутое подмножество компактного.◦Множество же b◦ ((a−1 ) (F)) компактно как непрерывный образ компактного, и замкнуто как компактное подмножество хаусдорфова.◦°Итак, множество (c−1 ) (F) замкнуто, а потому отображение c непрерывно.Q.E.D.П ОСТРОЕНИЕ28ГОМЕОМОРФИЗМА°Th·Для всяких кусочно–аффинных смятий f1 и f2 и кусочно–аффинных контракций g1 и g2 еслиf1 ◦ g1 = f2 ◦ g2 (заметим здесь, что dom g1 = dom g2 =: R, а также im f1 = im f2 =: R̃), то найдетсяинъективное кусочно–аффинное действующее на im g2 отображение h такое, что h ◦ g2 = g1 и f1 ◦ h =f2 .im g1g1im g1f1Rg1R̃g2=⇒ ∃h :Rf2f1R̃hg2im g2f2im g2Доказательство°Рассмотрим некоторые кусочно–аффинные смятия f1 и f2 и кусочно–аффинные контракции g1 и g2такие, что f1 ◦ g1 = f2 ◦ g2 .°Возьмем некоторую ломаную линию L в dom g1 = dom g2 такую, что g1 ◦ (L) — одноточечное множество.Тогда f2 ◦ (g2 ◦ (L)) = f1 ◦ (g1 ◦ (L)) — одноточечное множество.Так как f2 — смятие, и g2 ◦ (L) — ломаная линия, верно, что g2 ◦ (L) — одноточечное множество.Итак, отображения g1 и g2 одновременно отправляют ломаные в точки.°Возьмем некоторые точки x и y из dom g1 такие, что g1 (x) = g1 (y).Тогда из того, что g1 — кусочно–аффинная контракция, следует, что найдется ломаная линия L такая,что L ⊂ dom g1 , g1 ◦ (L) = {g1 (x)}, x, y ∈ L.Как уже показано, множество g2 ◦ (L) одноточечно и g2 (x) = g2 (y).Итак, отображения g1 и g2 одновременно склеивают точки.°Таким образом, нижеследующая формула корректно определяет отображение h — биекцию множествdom f2 и dom f1 :◦{h(x)} := g1 ◦ ((g−1x ∈ dom f2 .2 ) ({x})),°Рассмотрим произвольную точку y из dom g1 = dom g2 .

Тогда◦{h(g2 (y))} = g1 ◦ ((g−12 ) ({g2 (y)})),то естьh ◦ g2 = g1 .(1)(f1 ◦ h)(x) = f1 (h(g2 (y))) = f1 (g1 (y)) = f2 (g2 (y)) = f2 (x).(2)Если x ∈ dom h, то найдется точка y такая, что g2 (y) = x. Потому°Из формулы (1) и Утверждения 27 следует, что отображение h непрерывно.Из формулы (2), Утверждения 17 и непрерывности следует, что отображение h кусочно–аффинно.Q.E.D.32/Полно/1 Многомерие/1.3 Разложение1.3Разложение кусочно–аффинных отображений1.3∼ВведениеС ТЯЖЕНИЯРЕБЕР°Df·Скажем, что отображение a — стяжение ребра E относительно комплекса k, если E ∈ k, отображение a симплициально относительно комплекса k, ограничение этого отображения на ребро E неинъективно и если две различные точки — вершинные в каких–либо симплексах комплекса k, и несуть обе вершинные в ребре E, то отображение f принимает различные значения на этих двух точках.°Df·Назовем примитивную последовательность hk, f0, .

Характеристики

Список файлов диссертации