Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выпуклополиэдральный комплекс aесть конечное множество попарно согласованных выпуклых полиэдров. Выпуклополиэдральный комплекс a полный, если его тело ∪ a (то есть объединение всех его элементов) компактно, что эквивалентно принадлежности комплексу всякой грани всякого элемента комплекса.°Inf·Подмножеству a некоторого выпуклополиэдрального комплекса p сопоставляются следующиетри подмножества того же комплекса (обозначим через A C B отношение “A является гранью в B”):звездаstp a := {B : B ∈ p, A C B};замыканиеclp a := {B : B ∈ p, B C A};линкlkp a := (clp stp a) \ (stp clp a).°Inf·Выпуклополиэдральный комплекс симплициален, если каждый элемент его — симплекс.К УСОЧНО – АФФИННЫЕОТОБРАЖЕНИЯ°Df·Отображение a из некоторого компактного полиэдра — подмножества пространства Uni — в тоже пространство назовем аффинным относительно набора a выпуклых полиэдров, если оно непрерывно, ∪ a = dom a и отображение a аффинно на каждом полиэдре из набора a.°Df·Отображение a из некоторого подмножества пространства Uni в это же пространство назовем кусочно–аффинным (сокращенно будем писать “PA–отображение”), если оно аффинно относительнонекоторого набора выпуклых полиэдров.°В книге [1] предложен иной подход к кусочной аффинности, однако на компактных полиэдрах класскусочно–аффинных отображений тот же, что здесь.°Exp·Из книги [1] известно, что композиция f ◦ g двух кусочно–аффинных отображений f и g такжекусочно–аффинное отображение.°Df·Если a — некотрое PA–отображение, то• скажем, что a — смятие, если для всякого ребра A такого, что A ⊂ dom a, верно, что множествоa◦ (A) не одноточечно;• в противном предыдущему случае скажем, что отображение — консумпция;◦• скажем, что a — контракция, если для всякой точки x из im a верно, что множество (a−1 ) ({x})связно.К УСОЧНО – АФФИННЫЕОТОБРАЖЕНИЯ И КОМПЛЕКСЫ°Inf·Всякой точке x, лежащей в аффинной оболочке некоторого симплекса S, взаимнооднозначно соответствует система вещественных чисел (Svx , v ∈ vert S), называемая барицентрическими координатами точки x относительно симплекса S, по правилу(1) (Svx , v ∈ vert S) — аффинныйнабор весов на вершинных точкахP симплексаvS, то естьSx = 1;v:v∈vert SPSvx v = x. (2) а такжеv:v∈vert S21/Полно23°Exp·Заметим, что в каждом выпуклополиэдральном комплексе k у каждой точки a его тела существует единственный его элемент K =: Πk a, содержащий точку a.
В случае симплициального комплексаопределяются координаты точки a относительно комплекса, то есть система вещественных чисел0,если v ∈/ vert Πk a;◦∪v, v ∈ (vert (k)) .ka :=(Πk a)va , если v ∈ vert Πk a°Exp·Из книги [1] известно, что для всякого кусочно–аффинного отображения f и всякого полного симплициального комплекса k, относительно которого отображение f аффинно, верна следующаяформула:Xf(a) =kva f(v), ∀a ∈ dom f.v:v∈∪(vert◦ (k))Глава 1Кусочно–аффинные отображения имногогранники–следыПредисловиеХорошо известно, что кусочно–аффинные отображения вполне дискретизуются, то есть такое отображение может быть вполне описано конечным числовым набором. Также можно сказать, что эти отображения геометрически наглядны. Нами они избраны как простое средство конструировать обобщен”ные поверхности“, в которых возможны самопересечения и самоналожения.Важная цель — построить стандартное представление произвольного кусочно–аффинного отображения в виде композиции нескольких также кусочно–аффинных отображений, но выбранных из некоторых специальных классов их.
Потому в начале рассмотрены некоторые классы кусочно–аффинныхотображений, а затем обосновано искомое представление.И в конце описаны многогранники–следы, их деформации и объем в связи с деформациями.1∼ВведениеС ИМПЛИФИКАЦИЯ45°Заметка·У всякого конечного множества a выпуклых полиэдров существует симплициальный комплекс b, измельчающий множество a (b ≪ a).°Exp·У всякого выпуклополиэдрального комплекса p существует симплициальный комплекс k, диагонализующий комплекс p, то естьk≪pи(vert◦ (k)) = ∪(vert◦ (p)),∪при этом нет добавления новых вершин.С ИМПЛИЦИАЛЬНОСТЬИ ПРИМИТИВНОСТЬ°Df·Скажем, что тройка hk, f, li двух полных симплициальных комплексов k и l и отображения f, заданного на ∪ k, симплициальна, если отображение f аффинно относительно комплекса k, и для каждого симплекса K ∈ k его образ f◦ (K) ∈ l.Скажем, что отображение a симплициально относительно полного симплициального комплекса k,если найдется полный симплициальный комплекс l такой, что тройка hk, a, li симплициальна.2223/Полно/1 Многомерие6°Df·Последовательность hk, f0, .
. . , fνi, где ν ∈ N, k — полный симплициальный комплекс и отображения fι последовательно согласованы (то есть im fι−1 = dom fι , где ι = 1, . . . , ν), назовем примитивною и обозначим это свойство через hk, f0 , . . . , fνi ∈ Seq[ν], если отображение f0 симплициальноотносительно комплекса k, и для всякого ι = 1, .
. . , ν отображение fι симплициально относительно◦комплекса (fι−1 ◦ . . . ◦ f0 )◦ (k).И ЗМЕЛЬЧЕНИЕ7ПРООБРАЗА°Exp·Из книги [1] известно, что для всякого отображения f, аффинного относительно некоторого полного симплициального комплекса k, и всякого симплициального комплекса a, являющегося измельчением множества f◦ ◦ (k), верно, что множество frgak,f := b, определенное формулою◦b := {B : ∃A, K(A ∈ a, K ∈ k, K ∩ (f−1 ) (A) = B, f◦ (B) = A)},является полным выпуклополиэдральным комплексом, измельчающим комплекс k (так порождаетсяправильное измельчение прообраза по заданному измельчению образа).1.1Последовательная примитивизацияП РИМИТИВИЗУЮЩИЙКОМПЛЕКС°Нижеследующее Утверждение 8 является обобщением Теоремы 2.14 в [1], что кусочно–аффинноеотображение можно представить симплициальным отображением на некотором симплициальном комплексе.8°Th·Для произвольного конечного последовательно согласованного набора кусочно–аффинных отображений f0 , .
. . , fν (то есть ν ∈ N, im fι−1 = dom fι , ι = 1, . . . , ν) найдется полный симплициальныйкомплекс k, примитивизующий набор этих отображений, то есть k : hk, f0, . . . , fνi ∈ Seq[ν] (см. Определение 6).Доказательство°Возьмем некоторые комплексы aι , относительно которых аффинны соответственно отображения fιпри ι = 0, . . . , ν.°Далее определим индуктивно комплексы• b0 := a0 ;• при ι = 1, .
. . , ν если уже определен комплекс bι−1 , то по Замечанию 4 найдется полный сим◦плициальный комплекс bι такой, что bι ≪ aι ∪ (fι−1 )◦ (bι−1 );• аналогично найдется некоторый полный симплициальный комплекс bν+1 такой, что bν+1 ≪◦(fν )◦ (bν ).°Далее обратно-индуктивно определим выпуклополиэдральные и симплициальные комплексыb• cν := frgbνν+1,fν ,— выпуклополиэдральный комплекс по Утверждению 7, и по Замечанию 5 найдется некоторая диагонализация dν выпуклополиэдрального комплекса cν ;• при ι = ν, . . . , 1 если уже определен комплекс dι , то аналогично определим выпуклополиэдальιный комплекс cι−1 := frgdbι−1 ,fι−1 , и аналогично существует некоторая диагонализация dι−1 этогокомплекса cι−1 .°Итак, комплекс k := d0 — искомый.Q.E.D.24/Полно/1 Многомерие/1.1 Последовательная примитивизацияВ СПОМОГАТЕЛЬНЫЕ910СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ°Exp·Для всякого топологического векторного пространства A над R, всякого выпуклого открытогоподмножества B того пространства A и всякого линейного подпространства L того же пространства Aесли B ∩ L = ∅, то найдется непрерывный линейный функционал f на A такой, что ker f ⊃ L, и длявсякой точки x из B верно f(x) > 0.°Th·Для всякого выпуклого множества A и опорной к нему плоскости L верно, что1.
если L 0 — аффинное подпространство в Uni, L 0 ⊂ L, L 0 ∩ A = L ∩ A, то L 0 — опорная плоскостьк A;2. A ∩ aff(L ∩ A) = A ∩ L; aff(A ∩ L) — опорная плоскость к A.Доказательство°Возьмем некоторое выпуклое множество A и некоторую опорную к нему плоскость L.°Заметим, что из Определения 1 следует, что A 6= ∅.°Возьмем некоторую плоскость L 0 такую, что L 0 ⊂ L, L 0 ∩ A = L ∩ A.°Заметим, что L 0 ∩ A = L ∩ A 6= ∅.°Рассмотрим две точки a и b из A.°Если (a, b) ∩ L 0 6= ∅, то (a, b) ∩ L ⊃ (a, b) ∩ L 0 6= ∅.
Так как плоскость L опорная к A, заключим, что[a, b] ⊂ L.°Таким образом, [a, b] ⊂ A ∩ L = L 0 ∩ A, и первое заявленное свойство обосновано.°Заметим, что aff(L ∩ A) — аффинное подпространство в L, ибо L ∩ A 6= ∅.°Еще заметим, что aff(L ∩ A) ∩ A ⊃ (L ∩ A) ∩ A = L ∩ A, а также aff(L ∩ A) ⊂ aff L = L. Следовательно,L ∩ A ⊃ aff(L ∩ A) ∩ A. То есть A ∩ aff(L ∩ A) = A ∩ L.°Из уже доказанного следует, что aff(L ∩ A) — опорная плоскость к A, и второе заявление также обосновано.Q.E.D.11°Th·Для всякого выпуклого полиэдра A, всякой его точки m и всякой точки n из rmrg A если число положительно, то точка (1 + ) · n + (−) · m не принадлежит A.Доказательство°Возьмем некоторый выпуклый полиэдр A, некоторую его точку m, некоторую точку n из rmrg A инекоторое положительное число .°По Утверждению 9 найдется непрерывное аффинное отображение f из пространства aff A в R, отделяющее выпуклое множество A от аффинного подпространства {n}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
