Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Здесь размерность dim многогранника понимаетсякак максимум из всех значений размерности симплексов, включенных в многогранник тот.°Th10I. Пусть a — простая [аналитическая] элементарная деформация относительно некоторой четверкиhα, β, a, Ti;тогда отображение p, определенное формулою p(τ) = vol a(τ, ·) при τ ∈ [α, β], непрерывно, а прианалитичности C1 –гладко.II. Пусть n — [аналитическая] T–деформация на отрезке [α, β] с постоянною размерностью образа;тогда отображение w, действующее по формуле w(τ) = Vol nτ , τ ∈ [α, β], непрерывно, а при аналитичности кусочно–C1 –гладко.К Главе ВторойВступление°Возьмем некоторую конечномерную плоскость Y в пространстве Uni, на этой плоскости возьмем некоторое положительно–определенное скалярное произведение h·, ·i, и рассмотрим порожденные этимскалярным произведением меры (объемы) mes0 , .

. . mesdim Y соответствующих размерностей 0, . . . , dim Y.°Df·Скажем, что точка x — точка полуплоского типа в многогранном множестве P, если x ∈ P, инайдется симплекс A такой, что A — открытое множество в P, есть симплекс B такой, что dim B + 1 =dim A и B C A и x ∈ B и B ∪ A — открытое в P множество.°Df·Скажем при каком–либо ν из чисел 0, .

. . , dim Y, что множество A — ν–квазиповерхность, если• оно включено в плоскость Y, многогранно, компактно;• всякая неполуплоского типа в A точка x обладает множеством G, гомеоморфным Rν , и таким,что x ∈ G ⊂ A;• ν–мерно всякое множество, открытое в множестве A.Еще скажем, что множество A — квазиповерхность, если оно — ν–квазиповерхность для некоторого ν из 0, . . . , dim Y.°Df·Обозначим через F множество всех пар ha, Mi, у которых найдется представление вида a = b ◦ c,где b — PA–смятие; c — PA–контракция; M — аффиктура в PA–отображении a; im a и dom b = im c— квазиповерхности; и всякая точка x из (dom a) \ M не полуплоского типа в dom c.Из этого определения следует, что F — af-редуктивно содержательный класс.°Df·Скажем, что пара ha 0 , M 0 i из F проецируема в пару ha 00 , M 00 i из F, если найдется PA–контракцияc такая, что a 0 = a 00 ◦ c и c◦ (M 0 ) = M 00 .°Df·Скажем, что пара hA, xi — локальный конус, если x ∈ A, множество A многогранно, компактнои такое, что для всякой точки y из множества A верно, что [x, y] ⊂ A.°Df·Если hA, xi — некоторый локальный конус, то определим его естественный край fn(A, x) поформулеfn(A, x) := {z : для всякой точки w из множества A верно, что z ∈/ [x, w)}.°Df·Скажем, что тройка ha, M, xi — коническая, если• ha, Mi ∈ F;• hdom a, xi — локальный конус;• M = fn(dom a, x).°Df·Скажем, что коническая тройка ha, M, xi минимальна, если при всякой элементарной простойаналитической деформации m относительно некоторой пятерки h0, 1, a, P, Fi и такой, что пара hm(0, ·), Pi11проецируема в пару ha, Mi, верно, что найдется некоторое из (0, 1) такое, что при всяком τ из [0, )верно vol m(τ, ·) > vol m(0, ·) = vol a.°Df·Скажем, что пара ha, Mi из F локально–минимальна, если для всякой точки x из множества(dom a) \ M найдется локальный конус hC, xi такой, что C — замкнутая окрестность точки x во множестве dom a, C \ fn C ⊂ dom a \ M и коническая тройка h a|C , fn(C, x), xi минимальна.°Df·Скажем, что F–многогранник–след локально–минимален, если таков каждый его элемент.Многомерный случай°Th·Для всякой локально–минимальной пары ha, Mi (обозначим ν := dim im a) и всякого симплициального комплекса a если отображение a локально–инъективно на (dom a) \ M, а также симплициально относительно комплекса a, то• если точка x лежит в множестве (dom a) \ M, то не найдется (ν − 1)–мерного симплекса A вкомплексе a такого, что x ∈ A и симплекс A инцидентен только одному ν–мерному симплексукомплекса a;• для всякого (ν − 1)–мерного симплекса B 0 степени 2 в комплексе a, лежащего в (dom a) \ M,верно, что симплексы a◦ (A10 ) и a◦ (A20 ) лежат в одной ν–мерной плоскости, где A10 и A20 суть тедва симплекса комплекса a, которые инцидентны симплексу B 0 и имеют размерность ν;• для всякого (ν − 1)–мерного симплекса B 0 комплекса a, включеного в (dom a) \ M, и имеющегостепень в комплексе a не менее трех верно, что– для произвольных двух ν–мерных симплексов A10 и A20 , инцидентных симплексу B 0 , дву2πгранный угол между симплексами a◦ (A10 ) и a◦ (A20 ) не менее;32π.– в тех же условиях степень симплекса B 0 равна трем, и тот двугранный угол равен3Двумерный случай в трехмерном пространстве°Th·При условии dim Y = 3 рассмотрим ha, Mi — локально–минимальную пару из F такую, что отображение a локально инъективно на (dom a) \ M; будем считать, что dim im a = 2.

Еще рассмотримнекоторый полный симплициальный комплекс a, относительно которого симплициально отображениеa, и некоторую точку x такую, что {x} ∈ a и x ∈ (dom a) \ M. Тогда найдется локальный конус hC, xiтакой, что C — замкнутая окрестность точки x в dom a, отображение a инъективно на C, и a–образ Kмножества int(dom a)\M C имеет один из следующих трех видов:тип I: множество K лежит в некоторой плоскости;тип II: найдется симплициальный комплекс k такой, что тело комплекса k есть K, в k всего три двумерных симплекса, всего один одномерный симплекс, нет нульмерных симплексов, причем двумерные симплексы инцидентны одномерному, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами составляет 120◦ , и точка a(x) лежит в одномерном симплексе;тип III: найдется симплициальный комплекс k такой, что тело комплекса k есть K, в k всего шестьдвумерных симплексов, четыре одномерных и один нульмерный, причем каждый двумерный симплекс инцидентен двум и только двум одномерным, каждый одномерный симплекс инцидентентрем и только трем двумерным, нульмерный же симплекс инцидентен всем четырем одномернымсимплексам, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами, инцидентныминекоторому одномерному симплексу, составляет 120◦ , и нульмерный симплекс есть {a(x)}.12К Главе ТретьейВступление°Все построения проведем в некоторой двумерной плоскости Y с некоторым евклидовым скалярнымпроизведением и ориентациею на ней.°Df·Одномерные основные отображения• Назовем PA–контракцию a окружностною, если dom a и im a гомеоморфны окружности и лежат в плоскости Y.• Назовем PA–смятие a окружностным, если dom a гомеоморфно окружности, а dom a и im aлежат в плоскости Y.• Назовем PA–отображение a окружностным, если найдутся окружностное смятие b и окружностная контракция c такие, что a = b ◦ c.°Df·Двумерные основные отображения• Назовем PA–контракцию a круговою, если– dom a и im a гомеоморфны двумерному замкнутому диску и лежат в плоскости Y;– в каждой точке из rint dom a, в которой отображение a локально инъективно, отображениеa сохраняет ориентацию плоскости Y;– a◦ (rmrg dom a) ⊂ rmrg im a.• Назовем PA–смятие a круговым, если– dom a гомеоморфно двумерному замкнутому диску;– dom a, im a лежат в плоскости Y;– отображение a регулярно;– отображение a сохраняет ориентацию плоскости Y в каждой точке множества rint dom a.• Назовем PA–отображение a круговым, если найдутся круговое смятие b и круговая контракцияc такие, что a = b ◦ c.°Df·Назовем классом отмеченных окружностных отображений множество всех пар вида ha, ∅i,где a — окружностное отображение.Заметим, что ∅ — аффиктура в окружностном отображении.

Еще заметим, что этот класс по определению своему редуктивно содержателен.°Df·Назовем классом отмеченных круговых отображений множество всех пар вида ha, rmrg dom ai,где a — круговое отображение.Заметим, что rmrg dom a — аффиктура в круговом отображении a.°Еще заметим, что этот класс редуктивно содержателен.°Df·Для кругового отображения a определим F–границу mrg a его по формулеmrg a := armrg dom a .Для отмеченного кругового отображения ha, rmrg dom ai определим F–границу mrg(ha, rmrg dom ai)его по формулеmrg(ha, rmrg dom ai) := h armrg dom a , ∅i.13°Ясно, что для всякого отмеченного кругового отображения ha, rmrg dom ai его F–граница mrg(ha, rmrg dom aесть отмеченное окружностное отображение.°Df·Определим ломаные–следы как классы эквивалентных пар из класса отмеченных окружностныхотображений и определим многоугольники–следы как классы эквивалентных пар из класса отмеченных круговых отображений.Канонический представитель ломаной– или многоугольника–следа — пара из него такая, что отображение в ней — смятие.°Df·Для многоугольника–следа A определим его границу Mrg(A) как класс отмеченных окружностных отображений эквивалентных отмеченному окружностному отображению mrg(ha, rmrg dom ai), длянекоторого представителя ha, rmrg dom ai многоугольника–следа A.°Df·Если a — некоторое PA–отображение из Y в Y, то обозначим через C∞ (a) единственную неограниченную связную компоненту множества Y \ im a.Общее положение°Df·Скажем, что окружностное смятие a находится в общем положении, если1.

{a : ∃b(b 6= a, a(a) = a(b))} конечно;2. у каждой точки из im a не более двух a–прообразов;3. в каждой точке a, у которой два a–прообраза, найдется ее окрестность U в плоскости Y такая,что a–прообраз ее состоит из двух связных компонент A и B, на каждой из которых отображениеa инъективно, и при всяком достаточно малом непрерывном деформировании обоих отображений a|A и a|B их образы пересекаются.Скажем, что ломаная–след находится в общем положении, если отображение некоторого ее канонического представителя находится в общем положении.°Df·Скажем, что круговое смятие a находится в общем положении, если его F–граница mrg a находится в общем положении, а также верно, что a–образ каждой точки из rmrg dom a, в которой отображение a не локально инъективно, имеет только один a–прообраз на rmrg dom a.Скажем, что многоугольник–след находится в общем положении, если отображение некоторого егоканонического представителя находится в общем положении.°Df·Определим ориентированный граф Gr(A) ломаной–следа A в общем положении как совокупность всех одноточечных множеств (называемых вершинами) вида {a}, где точка a имеет два a–прообраза, для некоторого канонического представителя ha, ∅i ломаной–следа A, объединенную ссовокупностью всех связных компонент (называемых дугами) множества im a за вычетом всех точек, имеющих два a–прообраза, причем на дугах этих рассматривается ориентация от ориентации положительного обхода множества dom a.

При этом инцидентность вершины V дуге A понимается какV ⊂ A.°Df·Выберем также у каждой ломаной–следа A какой-нибудь ориентированный дуальный граф duGr(A).То есть образуем совокупность k всех связных компонент дополнения до Y тела графа Gr(A) и• выберем в каждой компоненте K из k по точке pK (при этом множества {pK } суть вершины дуального графа),• для всяких двух связных компонент K и L, обладающих общим одномерным фрагментом F границы, выберем некоторую простую ломаную M (при этом эта ломаная без двух ее крайних точекесть дуга дуального графа) так, что крайние точки ее суть две точки pK и pL , и лежит она вобъединении тех множеств K и L и их общего фрагмента границы, и пересекает этот фрагментединожды в точке x,14• на ломаной той выберем ориентацию такую, что если выбрать точку y на ломаной M и точку z натом фрагменте (так же ломаной) так, что [x, y] ⊂ M, [x, z] ⊂ F, пара hx, yi — из выбираемой ориентации, а пара hx, zi — из ориентации фрагмента F, порожденной ориентациею той дуги графа→ −→ — положительно ориентирована.Gr(A), в которую он включен, и пара h−xy,xziЕще, заметив, что в дуальном графе есть ровно одна вершина, соответствующая неограниченной связной компоненте C∞ (A) дополнения в плоскости Y множеству im a, определим конечную часть fdGr(A)дуального графа как дуальный граф за вычетом той самой вершины и дуг, ей инцидентных.°Df·Условие необходимостиПусть A — ломаная–след в общем положении.

Характеристики

Список файлов диссертации