Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи (1103845), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Произведем предварительное деформирование. То есть измельчим комплекс a в комплекс b так, чтобы возможна была следующая деформация. Близкосвязанно деформируем так, что сохранится граничный граф и степени всех точек, и при всем том для всякого двумерногосимплекса T из комплекса b, у которого одна и только одна вершинная точка v на L̃, если обозначитьT = {v} ∗ E, то точки r и v лежат по одну сторону прямой через E. См. рис.
3.15 .108/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петель/3.6.2 Стяжение петлиРис. 15. к стяжению (+1)–петли с ветвлением°Далее же как и в первом варианте, определим m̂ и m и b. Из построения следует, что degb r есть суммаlsignA L и всех степеней точек на петле L.С ТЯЖЕНИЕПЕТЛИ ЗНАКА(−1)°Рассмотрим некоторый петельный многоугольник–след A и некоторую петлю L знака −1 в границеMrg A (обозначим через D область, ограниченную множеством L).°Проведем деформационное слияние ветвлений на петле L (см.
Слияние в Разделе 3.3), и получим новый многоугольник–след, который также поименуем A, также оставим имена петли и области.˜ A с обра°Некоторым инъективным круговым отображением b, определенным на множестве conv imзом в Y и отображающим множество L в границу некоторого выпуклого многоугольника, отобразиммногоугольник–след A в новый многоугольник–след B, чьи отображения имеют вид b ◦ a, где a —отображение многоугольника–следа A; имена же петли и области сохраним.°Возьмем некоторый канонический представитель ha, rmrg dom ai этого многоугольника–следа B и◦некоторый комплекс a, относительно которого симплициально отображение a.
Обозначим L̃ := (mrg a)−1 (и r := rdx(L).°Из Утверждения 76 следует, что dega x > 0 для некоторой точки x из L.°Произведем предварительное деформирование. То есть измельчим комплекс a в комплекс b так, чтобы возможна была следующая деформация. Близкосвязанно деформируем так, что сохранится граничный граф и степени всех точек, и при всем том для всякого двумерного симплекса T из комплексаb, у которого одна и только одна вершинная точка v на L̃, если обозначить T = {v} ∗ E, то точки r и vлежат по одну сторону прямой через E. См.
рис. 3.16 .109/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петельРис. 16. к стяжению (−1)–петли°Произведем близкосвязанное деформационное стяжение, положив при τ ∈ [0, 1],a(w),w — вершинная точка из b, и w ∈/ L̃;m̂(τ, w) :=τ · r + (1 − τ) · a(w), w — вершинная точка из b, и w ∈ L̃.Затем аффинно на каждом симплексе из b продолжим при каждом τ из [0, 1] построенное отображениеm̂(τ, ·) до отображения m(τ, ·). Ясно, что m(0, ·) = a и m(1, ·)◦ (L̃) = {r}. Перейдем от отображенияm(1, ·) к некоторому его редукту (круговому отображению) b.°Таким образом, стянута деформационно петля L, а остальная часть граничного графа не изменена, истепени точек на той части не изменены. Еще заметим, что degb r есть сумма lsignA L и всех степенейточек на петле L.3.6.3 Натяжение петлиН АТЯЖЕНИЕПЕТЛИ ЗНАКА(−1)˜ Mrg A, число σ = −1.°Рассмотрим некоторый петельный многоугольник–след A, точку x ∈ im°Возьмем некоторый канонический представитель ha, rmrg dom ai этого многоугольника–следа A инекоторый комплекс a, относительно которого симплициально отображение a.
Обозначим x̂ единственную точку на rmrg dom a такую, что a(x̂) = x.°Обозначим точки x+ , x− так, что (x− , x̂), (x̂, x+ ) ∈ a, (x− , x̂), (x̂, x+ ) ⊂ rmrg dom a и точки x− , x̂, x+следуют по “обходу против часовой стрелки” кривой rmrg dom a.°Дополним комплекс a до некоторого полного симплициального комплекса b так, чтоb \ a = {{a}, {b}, {c}, {d},{x̂} ∗ {a}, {x̂} ∗ {d},{x− } ∗ {a}, {a} ∗ {b}, {b} ∗ {x̂}, {x̂} ∗ {c}, {c} ∗ {d}, {d} ∗ {x+ },{x− } ∗ {x̂} ∗ {a}, {a} ∗ {x̂} ∗ {b}, {c} ∗ {x̂} ∗ {d}, {x+} ∗ {x̂} ∗ {d}},где точки a, b, c, d выбраны так, что в stb {{x̂}} ребра {x̂} ∗ {a}, {x̂} ∗ {b}, {x̂} ∗ {c}, {x̂} ∗ {d} следуют вположительном обходе (“против часовой стрелки”) вокруг точки x̂.°Затем, определив круговую контракцию c как посимплексно–аффинное продолжение на симплексахкомплекса b отображенияv, если v ∈ ∪ vert◦ (a);v 7−→x̂, если v ∈ {a, b, c, d},110/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петель/3.6.3 Натяжение петлиопределим новый представитель b := a ◦ c нашего многоугольника–следа.°Выберем достаточно близко к точке x три точки p, q, y так, что ребра {x} ∗ {a(x+ )}, {x} ∗ {p}, {x} ∗ {y},{x} ∗ {q}, {x} ∗ {a(x− )} следуют в положительном обходе (“против часовой стрелки”) вокруг точки x.
См.рис. 3.17bx+dcbbx̂bbx−bpm(1, ·)yqbxbbbbaa(x+ )ba(x− )bbДиаг. 17. к натяжению (−1)–петли°И определим на вершинных точках комплекса b и числах τ из [0, 1] отображение m 0a(v),если v ∈ ∪ vert◦ (a), v 6= x̂;если v ∈ {a, d}; x,0(1 − τ) · x + τ · y, если v = x̂;m (τ, v) :=(1 − τ) · x + τ · p, если v = b;(1 − τ) · x + τ · q, если v = c.При каждом τ из [0, 1] посимплексно–аффинно продолжим на симплексы комплекса b отображениеm 0 (τ, ·) до отображения m(τ, ·).°Таким образом, построена близкосвязанная деформация, сохраняющая граничный граф кроме точкиx и порождающая с корнем в этой точке петлю знака −1.
Из построения следует, что degm(1,·) x̂ =degA x̂ + 1 = degA x̂ − σ.Н АТЯЖЕНИЕПЕТЛИ ЗНАКА(+1)˜ Mrg A, число σ = +1, причем°Рассмотрим некоторый петельный многоугольник–след A, точку x ∈ imdegA x > 0.°Возьмем некоторый канонический представитель ha, rmrg dom ai этого многоугольника–следа A инекоторый комплекс a, относительно которого симплициально отображение a. Обозначим x̂ единственную точку на rmrg dom a такую, что a(x̂) = x.°Подразделим комплекс a до некоторого полного симплициального комплекса b так, что если перену−−−−−→ −−−−→меровать v0 , .
. . , vω все точки из ∪ vert◦ (stb {{x̂}})\{x̂} так, что ](xa(vι−1 ), xa(vι )) > 0 при ι = 1, . . . , ω,то найдутся две вершинные точки vα и vβ такие, что (см. верх рис. 3.18 )• α > β;111/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петель/3.6.3 Натяжение петли• верно φ̃ < τ < υ̃ и ψ < χ̃, для чиселτ :=Pι=1,...,βυ :=P−−−−−→ −−−−→](xa(vι−1 ), xa(vι )),−−−−−→ −−−−→](xa(vι−1 ), xa(vι )),υ̃ := 2π−−−−−→ −−−−→](xa(vι−1 ), xa(vι )),φ̃ := 2πι=1,...,αφ :=Pι=1,...,ωχ :=P−−−−−→ −−−−→](xa(vι−1 ), xa(vι )),ι=β+1,...,ωψ :=P−−−−−→ −−−−→](xa(vι−1 ), xa(vι )).υ2π−φ2πχ̃ := 2π−χ2πυ2π, φ 2π−χ2π,,ι=α+1,...,ω°Выберем достаточно близко к точке x̂ на ребре (x̂, v0 ) некоторую точку a и на ребре (x̂, a) некоторуюточку b и на ребре (x̂, vω ) некоторую точку d и на ребре (x̂, d) некоторую точку c.
Определим новыйполный симплициальный комплекс cc := (b \ stb {{x̂}}) ∪ d,где d — совокупность всех подсимплексов каждого из симплексов совокупности {{a}∗{v0 }∗{v1 }, . . . , {a}∗{vβ−1 } ∗ {vβ }} ∪ {{a} ∗ {vβ} ∗ {b}, {b} ∗ {vβ} ∗ {x̂}} ∪ {{x̂} ∗ {vβ } ∗ {vβ+1 }, . . . , {x̂} ∗ {vα−1 } ∗ {vα }} ∪ {{x̂} ∗ {vα } ∗{c}, {c} ∗ {vα } ∗ {d}} ∪ {{d} ∗ {vα } ∗ {vα+1 }, .
. . , {d} ∗ {vω−1 } ∗ {vω }}.°Затем, определив круговую контракцию c как посимплексно–аффинное продолжение на симплексахкомплекса c отображенияv, если v ∈ ∪ vert◦ (c), v 6= a, b, c, d;v 7−→x̂, если v ∈ {a, b, c, d},определим новый представитель b := a ◦ c нашего многоугольника–следа.°Выберем достаточно близко к точке x три точки p, q, y так, что ребра {x} ∗ {a(x+ )}, {x} ∗ {p}, {x} ∗ {y},{x} ∗ {q}, {x} ∗ {a(x− )} следуют в отрицательном обходе (“по часовой стрелке”) вокруг точки x.°И определим на вершинных точках комплекса c и числах τ из [0, 1] отображение m 0a(v),если v ∈ ∪ vert◦ (b), v 6= x̂;если v ∈ {a, d}; x,0(1 − τ) · x + τ · y, если v = x̂;m (τ, v) :=(1− τ) · x + τ · p, если v = c;(1 − τ) · x + τ · q, если v = b.При каждом τ из [0, 1] посимплексно–аффинно продолжим на симплексы комплекса b отображениеm 0 (τ, ·) до отображения m(τ, ·).°Таким образом, построена близкосвязанная деформация, сохраняющая граничный граф кроме точкиx и порождающая с корнем в этой точке петлю знака +1.
Из построения следует, что degm(1,·) x̂ =degA x̂ − 1 = degA x̂ − σ.112/Полно/3 Многоугольники–следы/3.6 Стяжение и натяжение петельa(vα )a(v0 )v0vβax̂xvαa(vω )a(vβ )vωa(vω ), ·)m(1dcx̂qpa(vα )yvβvαvωa(vβ )a(v0 )xbav0Диаг. 18. к натяжению (+1)–петли3.6.4 Натуральная весовая функция и существованиеС ТЕПЕННАЯВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ°Df·Рассмотрим некоторый многоугольник–след A в общем положении, его некоторый каноническийпредставитель ha, rmrg dom ai и некоторую дугу A графа Gr(Mrg A).
Тогда определим числоXpenda0 (A) :=dega x.◦x:x∈((mrg a)−1 ) (A)°Df·Ясно, что не зависит от представителя ha, rmrg dom ai многоугольника–следа A следующее число:pendA (A) := penda0 (A).Эту функцию назовем степенною весовою функциею того многоугольника–следа A.С УЩЕСТВОВАНИЕ°Th·Если A — петельная ломаная–след и p — правильная весовая функция на A. То найдется петельный многоугольник–след B с границею A и pendB = p.Доказательство°Рассмотрим для ломаной–следа A и весовой функции p некоторую последовательность построенияllµ1.
. . 7−→ hfµ , qµ i = hA, pi.hf0 , q0 i 7−→°Заметим, что для hf0 , q0 i есть многоугольник–след y0 такой, что Mrg y0 = f0 и pendy0 = q0 .°Если уже построен многоугольник–след yι такой, что Mrg yι = fι и pendyι = qι и ι < µ, то поописанию в Разделе 3.6.3 построим деформационно многоугольник–след Z такой, что Mrg Z = fι ⊕ Q,где Q — некоторая петля в Mrg Z знака lsignfι+1 (lι+1 ) и с основанием rdx lι+1 и pendZ Q = qι+1 (lι+1 ) иpendZ A = qι+1 (A) при дугах A из графа Gr(fι+1 ) \ {lι+1 }.˜ Mrg yι круговой гомеоморфизм h такой, что°Заметим, что найдется некоторый неподвижный на im◦˜ Z и h (im˜ Mrg Z) = im˜ fι+1 . Таким образом, если скомпонировать отображение h и деdom h ⊃ imформационное построение петли Q, то будет деформационное построение петли lι+1 , и индуктивно законечное число шагов будет построен искомый многоугольник–след B.Q.E.D.Литература[1] Рурк К., Сандерсон Б.
Введение в кусочно линейную топологию.— М.: Мир, 1974.[2] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. Издательство“Наука”, Москва, 1977.[3] Шефер Х. Топологические векторные пространства.— .....[4] Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия минимальных сетей и одномерная проблемаПлато.— Успехи матем. наук, 47, № 2, C. 53–115, 1992.[5] Иванов А. О., Тужилин А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
